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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Matrix Analysis Basics
As discussed in Chap. 1, the $\mathrm{PC}$ or $\mathrm{MC}$ can be obtained by the ED of the sample correlation matrix or the SVD of the data matrix, and ED and SVD are also primal analysis tools. The history of SVD can date back to the $1870 \mathrm{~s}$, and Beltrami and Jordan are acknowledged as the founder of SVD. In 1873, Beltrami [1] published the first paper on SVD, and one year later Jordan [2] published his independent reasoning about SVD. Now, SVD has become one of the most useful and most efficient modern numerical analysis tools, and it has been widely used in statistical analysis, signal and image processing, system theory and control, etc. SVD is also a fundamental tool for eigenvector extraction, subspace tracking, and total least squares problem, etc.
On the other hand, ED is important in both mathematical analysis and engineering applications. For example, in matrix algebra, ED is usually related to the spectral analysis, and the spectral of a linear arithmetic operator is defined as the set of eigenvalues of the matrix. In engineering applications, spectral analysis is connected to the Fourier analysis, and the frequency spectral of signals is defined as the Fourier spectral, and then the power spectral of signals is defined as the square of frequency spectral norm or Fourier transform of the autocorrelation functions.
Besides SVD and ED, gradient and matrix differential are also the important concepts of matrix analysis. In view of the use of them in latter chapters, we will provide detailed analysis of SVD, ED, matrix analysis, etc. in the following.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Singular Value Decomposition
As to the inventor history of SVD, see Stewart’s dissertation. Later, Autonne [3] extended SVD to complex square matrix in 1902, and Eckart and Young [4] further extended it to general rectangle matrix in 1939. Now, the theorem of SVD for rectangle matrix is usually called Eckart-Young Theorem.
SVD can be viewed as the extension of ED to the case of nonsquare matrices. It says that any real matrix can be diagonalized by using two orthogonal matrices. ED works only for square matrices and uses only one matrix (and its inverse) to achieve diagonalization. If the matrix is square and symmetric, then the two orthogonal matrices of SVD will be the same, and ED and SVD will also be the same and closely related to the matrix rank and reduced-rank least squares approximations.
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Theorem and Uniqueness of SVD
Theorem 2.1 For any $\mathbf{A} \in \Re^{m \times n}$ (or $\mathbb{C}^{m \times n}$ ), there exist two orthonormal (or unitary) matrices $U \in \Re^{m \times n}$ (or $\mathbb{C}^{m \times m}$ ) and $\mathbf{V} \in \mathfrak{R}^{m \times n}$ (or $\mathbb{C}^{n \times n}$ ), such that
$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U} \Sigma V^{\mathrm{T}}\left(\text { or } A=\boldsymbol{U} \Sigma V^{H}\right),
$$
where,
$$
\Sigma=\left[\begin{array}{cc}
\Sigma_{1} & 0 \
0 & 0
\end{array}\right]
$$
and $\boldsymbol{\Sigma}=\operatorname{diag}\left[\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots \sigma_{r}\right]$, its diagonal elements are arranged in the order:
$$
\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r} \geq 0, \quad t=\operatorname{rank}(A)
$$
The quantity $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots, \sigma_{r}$ together with $\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=\cdots=\sigma_{n}=0$ are called the singular values of matrix $\boldsymbol{A}$. The column vector $\boldsymbol{u}{i}$ of matrix $\boldsymbol{U}$ is called the left singular vector of $\boldsymbol{A}$, and the matrix $\boldsymbol{U}$ is called the left singular matrix. The column vector $v{i}$ of matrix $\boldsymbol{V}$ is called the right singular vector of $\boldsymbol{A}$, and the matrix $V$ is called the right singular matrix. The proof of Theorem $2.1$ can see $[4,5]$. The SVD of matrix $A$ can also be written as:
$$
\boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i} \boldsymbol{u}{i} v{i}^{H}
$$
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{H}=\boldsymbol{U} \Sigma^{2} \boldsymbol{U}^{H}
$$
which shows that the singular value $\sigma_{i}$ of the $m \times n$ matrix $\boldsymbol{A}$ is the positive square root of the eigenvalue (these eigenvalues are nonpositive) of the matrix product $A A^{\mathrm{H}}$.
The following theorem strictly narrates the singular property of a matrix $A$.
Theorem 2.2 Define the singular values of matrix $\mathbf{A} \in \AA^{\mathrm{m} \times n}(m>n)$ as $\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r} \geq 0 .$
Then
$$
\sigma_{k}=\min {E \in \mathbb{C}^{m x}}\left{|\boldsymbol{E}|{s p e c}: \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \leq(k-1)\right}, \quad k=1,2, \ldots n
$$
and there is an error matrix which meets $\left|\boldsymbol{E}{k}\right|{\text {spec }}=\sigma_{k}$, so that
$$
\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}{k}\right)=r-1, \quad k=1,2, \ldots, n . $$ Theorem $2.2$ shows that the singular value of a matrix is equal to the spectral norm of the error matrix $\boldsymbol{E}{k}$ which makes the rank of the original matrix reduce one. If the original $n \times n$ matrix $\boldsymbol{A}$ is square and it has a zero singular value, the spectral norm of error matrix whose rank reduces to one is equal to zero. That is to say, when the original $n \times n$ matrix $\boldsymbol{A}$ has a zero singular value, the rank of the matrix is $\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \leq n-1$ and the original matrix is not full-rank essentially. So, if a matrix has a zero singular value, the matrix must be singular matrix. Generally speaking, if a rectangle matrix has a zero singular value, then it must not be full column rank or full row rank. This case is called rank-deficient matrix, which is a singular phenomenon with regards to the full-rank matrix.
主成分分析代写
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Matrix Analysis Basics
如第 1 章所述。1、磷C或者米C可以通过样本相关矩阵的 ED 或数据矩阵的 SVD 得到，ED 和 SVD 也是主要的分析工具。SVD 的历史可以追溯到1870 s，而贝尔特拉米和乔丹被公认为SVD的创始人。1873 年，Beltrami [1] 发表了第一篇关于 SVD 的论文，一年后 Jordan [2] 发表了他关于 SVD 的独立推理。现在，SVD已成为最有用、最高效的现代数值分析工具之一，并被广泛应用于统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域。SVD也是特征向量提取的基础工具，子空间跟踪，总最小二乘问题等。
另一方面，ED 在数学分析和工程应用中都很重要。例如，在矩阵代数中，ED通常与谱分析有关，将线性算子的谱定义为矩阵的特征值集合。在工程应用中，频谱分析与傅里叶分析相联系，将信号的频谱定义为傅里叶谱，然后将信号的功率谱定义为频谱范数的平方或自相关函数的傅里叶变换。
除了 SVD 和 ED，梯度和矩阵微分也是矩阵分析的重要概念。鉴于后面章节对它们的使用，我们将在下文中对SVD、ED、矩阵分析等进行详细分析。
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Singular Value Decomposition
至于 SVD 的发明者历史，请参见 Stewart 的论文。后来，1902年Autonne[3]将SVD扩展到复方阵，1939年Eckart和Young[4]进一步将其扩展到一般矩形矩阵。现在，矩形矩阵的SVD定理通常称为Eckart-Young Theorem。
SVD 可以看作是 ED 对非方阵情况的扩展。它说任何实矩阵都可以通过使用两个正交矩阵进行对角化。ED 仅适用于方阵并且仅使用一个矩阵（及其逆矩阵）来实现对角化。如果矩阵是正方形且对称的，那么 SVD 的两个正交矩阵将是相同的，ED 和 SVD 也将是相同的，并且与矩阵秩和降秩最小二乘逼近密切相关。
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Theorem and Uniqueness of SVD
定理 2.1 对于任何一种∈ℜ米×n（或者C米×n)，存在两个正交（或酉）矩阵在∈ℜ米×n（或者C米×米） 和在∈R米×n（或者Cn×n)，这样
一种=在Σ在吨( 或者 一种=在Σ在H),
在哪里，
Σ=[Σ10 00]
和Σ=诊断[σ1,σ2,…σr]，其对角元素排列顺序为：
σ1≥σ2≥⋯≥σr≥0,吨=秩(一种)
数量σ1,σ2,…,σr和…一起σr+1=σr+2=⋯=σn=0称为矩阵的奇异值一种. 列向量在一世矩阵在称为左奇异向量一种, 和矩阵在称为左奇异矩阵。列向量在一世矩阵在称为右奇异向量一种, 和矩阵在称为右奇异矩阵。定理的证明2.1可以看到[4,5]. 矩阵的 SVD一种也可以写成：
一种=∑一世=1rσ一世在一世在一世H一种一种H=在Σ2在H
这表明奇异值σ一世的米×n矩阵一种是矩阵乘积的特征值的正平方根（这些特征值是非正的）一种一种H.
以下定理严格叙述了矩阵的奇异性质一种.
定理 2.2 定义矩阵的奇异值一种∈\AA米×n(米>n)作为σ1≥σ2≥⋯≥σr≥0.
然后
\sigma_{k}=\min {E \in \mathbb{C}^{m x}}\left{|\boldsymbol{E}|{s p e c}: \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol {E}) \leq(k-1)\right}, \quad k=1,2, \ldots n\sigma_{k}=\min {E \in \mathbb{C}^{m x}}\left{|\boldsymbol{E}|{s p e c}: \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol {E}) \leq(k-1)\right}, \quad k=1,2, \ldots n
并且有一个误差矩阵满足|和ķ|规格 =σķ， 以便
秩(一种+和ķ)=r−1,ķ=1,2,…,n.定理2.2表明矩阵的奇异值等于误差矩阵的谱范数和ķ这使得原始矩阵的秩减少了一个。如果是原n×n矩阵一种是平方的并且它有一个零奇异值，其秩降为一的误差矩阵的谱范数等于零。也就是说，当原来n×n矩阵一种具有零奇异值，矩阵的秩为秩(一种)≤n−1并且原始矩阵本质上不是满秩的。因此，如果矩阵的奇异值为零，则该矩阵必须是奇异矩阵。一般来说，如果矩形矩阵的奇异值为零，那么它一定不是全列秩或全行秩。这种情况称为缺秩矩阵，是满秩矩阵的奇异现象。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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