机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Properties of SVD

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Properties of SVD

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Properties of SVD

Assume $\boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}, \quad \boldsymbol{B} \in \Re^{m \times n}$, and $r_{A}=\operatorname{rank}(A), \quad p=\min {m, n}$. The singular values of matrix $A$ can be arranged as follows: $\sigma_{\max }=\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots$ $\geq \sigma_{p-1} \geq \sigma_{p}=\sigma_{\min } \geq 0$, and denote by $\sigma_{i}(\boldsymbol{B})$ the $i$ th largest singular value of matrix B. A few properties of SVD can summarized as follows [6]:
(1) The relationship between the singular values of a matrix and the ones of its submatrix.

Theorem $2.3$ (interlacing theorem for singular values). Assume $A \in \Re^{m \times n}$, and its singular values satisfy $\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r}$, where $r=\min {m, n} .$ If $\boldsymbol{B} \in \mathbb{X}^{p \times q}$ is a submatrix of $\boldsymbol{A}$, and its singular values satisfy $\gamma_{1} \geq \gamma_{2} \geq \cdots \geq \gamma_{\min {p, q}}$, then it holds that
$$
\sigma_{i} \geq \gamma_{i}, \quad i=1,2, \ldots, \min {p, q}
$$
and
$$
\gamma_{i} \geq \sigma_{i+(m-p)+(n-q)}, \quad i \leq \min {p+q-m, p+q-n} .
$$
From Theorem 2.3, it holds that: If $\boldsymbol{B} \in \Re^{m \times(n-1)}$ is a submatrix of $\mathbf{A} \in \Re^{m \times n}$ by deleting any column of matrix $\boldsymbol{A}$, and their singular values are arranged in non-decreasing order, then it holds that
$$
\sigma_{1}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{1}(\boldsymbol{B}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{B}) \geq \cdots \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{B}) \geq 0
$$
where $h=\min {m, n-1}$.
If $\boldsymbol{B} \in \Re^{\Re^{(m-1) \times n}}$ is a submatrix of $\boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}$ by deleting any row of matrix $\boldsymbol{A}$, and their singular values are arranged as non-decreasing order, then it holds that
$$
\sigma_{1}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{1}(\boldsymbol{B}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{B}) \geq \cdots \sigma_{h}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{B}) \geq 0
$$
(2) The relationship between the singular values of a matrix and its norms. The spectral norm of a matrix $\boldsymbol{A}$ is equal to its largest singular value, namely,

According to the SVD theorem of matrix and the unitary invariability property of Frobenius norm $|\boldsymbol{A}|_{F}$ of matrix $\boldsymbol{A}$, namely $\left|\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{V}\right|_{F}=|\boldsymbol{A}|_{F}$, it holds that
$$
|\boldsymbol{A}|_{F}=\left[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}\right]^{1 / 2}=\left|\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{V}\right|_{F}=|\Sigma|_{F}=\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\cdots+\sigma_{F}^{2}}
$$
That is to say, the Frobenius norm of any matrix is equal to the square root of the sum of the squares of all nonzero singular values of this matrix. Consider the rank- $k$ approximation of matrix $A$ and denote it as $\boldsymbol{A}{k}$, in which $k{k}$ is defined as follows:
$$
A_{k}=\sum_{i=1}^{k} \sigma_{i} \boldsymbol{u}{i} v{i}^{H}, k<r
$$

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Problem and Eigen Equation

The basic problem of the eigenvalue can be stated as follows. Given an $n \times n$ matrix $\boldsymbol{A}$, determine a scalar $\lambda$ such that the following algebra equation
$$
A u=\lambda u, \quad u \neq 0
$$
has an $n \times 1$ nonzero solution. The scalar $\lambda$ is called as an eigenvalue of matrix $A$, and the vector $\boldsymbol{u}$ is called as the eigenvector associated with $\lambda$. Since the eigenvalue
$\lambda$ and eigenvector $\boldsymbol{u}$ appear in couples, $(\lambda, \boldsymbol{u})$ is usually called as an eigen pair of matrix $\boldsymbol{A}$. Although the eigenvalues can be zeros, the eigenvectors cannot be zero. In order to determine a nonzero vector $\boldsymbol{u}, \mathrm{Eq} .$ (2.17) can be modified as
$$
(A-\lambda I) u=0
$$
The above equation should come into existence for any vector $\boldsymbol{u}$, so the unique condition under which Eq. $(2.18)$ has a nonzero solution $\boldsymbol{u}=0$ is that the determinant of matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ is equal to zero, namely
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0 .
$$
Thus, the solution of the eigenvalue problem consists of the following two steps:
(1) Solve all scalar $\lambda$ (eigenvalues) which make the matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ singular.
(2) Given an eigenvalue $\lambda$ which makes $\boldsymbol{A}=\lambda \boldsymbol{I}$ singular, and to solve all nonzero vectors which meets $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$, i.e., the eigenvectors corresponding to $\lambda$.
According to the relationship between the singular values of a matrix and its determinant, a matrix is singular if and only if $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0}{,}$, namely $$ (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) x \text { singular } \Leftrightarrow \operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0} $$ The matrix $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is called as the eigen matrix of $\boldsymbol{A}$. When $\boldsymbol{A}$ is an $n \times n$ matrix, spreading the left side determinant of Eq. (2.20) can obtain a polynomial equation (power- $n$ ), namely $$ \alpha{0}+\alpha_{1} \lambda+\cdots+\alpha_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^{n} \lambda^{n}=0,
$$
which is called as the eigen equation of matrix $\boldsymbol{A}$. The polynomial $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is called as the eigen polynomial.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue and Eigenvector

In the following, we list some major properties about the eigenvalues and eigenvector of a matrix $A$.
Several important terms about the eigenvalues and eigenvectors [6]:
(1) The eigenvalue $\lambda$ of a matrix $A$ is called as having algebraic multiplicity $\mu$, if $\lambda$ is a $\mu$-repeated root of the eigen equation $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0}$.
(2) If the algebraic multiplicity of eigenvalue $\lambda$ is equal to one, the eigenvalue is called as single eigenvalue. Non-single eigenvalues are called as multiple eigenvalues.
(3) The eigenvalue $\lambda$ of a matrix $\boldsymbol{A}$ is called as having geometric multiplicity $\gamma$, if the number of linear independent eigenvectors associated with $\lambda$ is equal to $\gamma$.
(4) An eigenvalue is called half-single eigenvalue if its algebraic multiplicity is equal to geometric multiplicity. Not half-single eigenvalues are called as wane eigenvalues.
(5) If matrix $\boldsymbol{A}{n \times n}$ is a general complex matrix and $\lambda$ is its eigenvalue, the vector $v$ which meets $A v=\lambda v$ is called as the right eigenvector associated with the eigenvalue $\lambda$, and the eigenvector $\boldsymbol{u}$ which meets $\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{A}=\lambda \boldsymbol{u}^{H}$ is called as the left eigenvector associated with the eigenvalue $\lambda$. If $A$ is Hermitian matrix and all its eigenvalues are real number, then it holds that $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$, that is to say, the left and right eigenvectors of a Hermitian matrix are the same. Some important properties can be summarized as follows: (1) Matrix $A\left(\in \Re^{n \times n}\right)$ has $n$ eigenvalues, of which the multiple eigenvalues are computed according to their multiplicity. (2) If $\boldsymbol{A}$ is a real symmetrical matrix or Hermitian matrix, all its eigenvalues are real numbers. (3) If $\boldsymbol{A}=\operatorname{diag}\left(a{11}, a_{22}, \ldots, a_{\mathrm{nn}}\right)$, its eigenvalues are $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{\mathrm{nn}}$; If $\boldsymbol{A}$ is a trigonal matrix, its diagonal elements are all its eigenvalues.
(4) For $\boldsymbol{A}\left(\in \Re^{n \times n}\right)$, if $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}, \lambda$ is also the eigenvalue of matrix $A^{\mathrm{T}}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $A, \lambda^{*}$ is the eigenvalue of matrix $A^{H}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $A, \lambda+\sigma^{2}$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}+\sigma^{2} \boldsymbol{I}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}, 1 / \lambda$ is the eigenvalue of matrix $A^{-1}$.
(5) All eigenvalues of matrix $A^{2}=A$ are either 0 or 1 .
(6) If $A$ is a real orthogonal matrix, all its eigenvalues are on the unit circle.
(7) If a matrix is singular, at least one of its eigenvalues is equal to zero.
(8) The sum of all the eigenvalues is equal to its trace, namely $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})$.
(9) The nonzero eigenvectors $\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{n}$ associated with different eigenvalues $\lambda{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ are linearly independent.
(10) If matrix $A\left(\in \mathcal{H}^{\mathrm{n} \times n}\right)$ has $r$ nonzero eigenvalues, then it holds that $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}) \geq r$; If zero is a non-multiple eigenvalue, then $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}) \geq n-1$; If $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \geq n-1$, then $\lambda$ is an eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}$.
(11) The product of all eigenvalues of matrix $A$ is equal to the determinant of matrix $\boldsymbol{A}$, namely $\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=|\boldsymbol{A}|$.
(12) A Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$ is positive definite (or positive semi-definite), if and only if all its eigenvalues are positive (or non-negative).

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主成分分析代写

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认为一种∈ℜ米×n,乙∈ℜ米×n, 和r一种=秩⁡(一种),p=分钟米,n. 矩阵的奇异值一种可以安排如下:σ最大限度=σ1≥σ2≥⋯ ≥σp−1≥σp=σ分钟≥0,并表示为σ一世(乙)这一世矩阵B的最大奇异值。SVD的一些性质可以总结如下[6]:
(1)矩阵的奇异值与其子矩阵的奇异值之间的关系。

定理2.3(奇异值的交错定理)。认为一种∈ℜ米×n, 其奇异值满足σ1≥σ2≥⋯≥σr, 在哪里r=分钟米,n.如果乙∈Xp×q是一个子矩阵一种, 其奇异值满足C1≥C2≥⋯≥C分钟p,q,那么它认为
σ一世≥C一世,一世=1,2,…,分钟p,q

C一世≥σ一世+(米−p)+(n−q),一世≤分钟p+q−米,p+q−n.
从定理 2.3,它认为:如果乙∈ℜ米×(n−1)是一个子矩阵一种∈ℜ米×n通过删除矩阵的任何列一种,并且它们的奇异值以非递减的顺序排列,那么它认为
σ1(一种)≥σ1(乙)≥σ2(一种)≥σ2(乙)≥⋯≥σH(一种)≥σH(乙)≥0
在哪里H=分钟米,n−1.
如果乙∈ℜℜ(米−1)×n是一个子矩阵一种∈ℜ米×n通过删除矩阵的任何行一种,并且它们的奇异值按非递减顺序排列,则它认为
σ1(一种)≥σ1(乙)≥σ2(一种)≥σ2(乙)≥⋯σH(一种)≥σH(乙)≥0
(2) 矩阵的奇异值与其范数之间的关系。矩阵的谱范数一种等于它的最大奇异值,即

根据矩阵的SVD定理和Frobenius范数的酉不变性|一种|F矩阵一种,即|在H一种在|F=|一种|F, 它认为
|一种|F=[∑一世=1米∑j=1n|一种一世j|2]1/2=|在H一种在|F=|Σ|F=σ12+σ22+⋯+σF2
也就是说,任何矩阵的 Frobenius 范数都等于该矩阵所有非零奇异值的平方和的平方根。考虑排名-ķ矩阵的近似一种并将其表示为一种ķ, 其中ķķ定义如下:
一种ķ=∑一世=1ķσ一世在一世在一世H,ķ<r

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Problem and Eigen Equation

特征值的基本问题可以表述如下。给定一个n×n矩阵一种, 确定一个标量λ使得以下代数方程
一种在=λ在,在≠0
有一个n×1非零解。标量λ称为矩阵的特征值一种, 和向量在被称为与相关的特征向量λ. 由于特征值
λ和特征向量在出现在情侣中,(λ,在)通常称为矩阵的特征对一种. 虽然特征值可以为零,但特征向量不能为零。为了确定一个非零向量在,和q.(2.17) 可以修改为
(一种−λ一世)在=0
对于任何向量,上述方程都应该存在在,所以方程的唯一条件。(2.18)有一个非零解在=0是矩阵的行列式吗一种−λ一世等于零,即
这⁡(一种−λ一世)=0.
因此,特征值问题的求解包括以下两个步骤:
(1) 求解所有标量λ(特征值)构成矩阵一种−λ一世单数。
(2) 给定一个特征值λ这使得一种=λ一世奇异的,并求解所有满足的非零向量(一种−λ一世)X=0,即对应的特征向量λ.
根据矩阵的奇异值与其行列式的关系,矩阵是奇异的当且仅当这⁡(一种−λ一世)=0,,即(一种−λ一世)X 单数 ⇔这⁡(一种−λ一世)=0矩阵(一种−λ一世)被称为特征矩阵一种. 什么时候一种是一个n×n矩阵,扩展等式的左侧行列式。(2.20)可以得到一个多项式方程(幂-n),即一种0+一种1λ+⋯+一种n−1λn−1+(−1)nλn=0,
称为矩阵的特征方程一种. 多项式这⁡(一种−λ一世)称为本征多项式。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue and Eigenvector

下面,我们列出关于矩阵的特征值和特征向量的一些主要性质一种.
关于特征值和特征向量的几个重要术语[6]:(
1)特征值λ矩阵的一种被称为具有代数多重性μ, 如果λ是一个μ-特征方程的重复根这⁡(一种−λ一世)=0.
(2) 若特征值的代数重数λ等于一,则该特征值称为单一特征值。非单一特征值称为多重特征值。
(3) 特征值λ矩阵的一种被称为具有几何多重性C,如果与相关的线性独立特征向量的数量λ等于C.
(4) 如果一个特征值的代数重数等于几何重数,则称其为半单特征值。非半单特征值称为衰减特征值。
(5) 如果矩阵一种n×n是一个一般的复矩阵,并且λ是它的特征值,向量在满足一种在=λ在被称为与特征值相关的右特征向量λ, 和特征向量在满足在H一种=λ在H被称为与特征值相关的左特征向量λ. 如果一种是 Hermitian 矩阵并且它的所有特征值都是实数,那么它认为在=在,也就是说,一个厄密矩阵的左右特征向量是相同的。一些重要的性质可以概括如下: (1) 矩阵一种(∈ℜn×n)拥有n特征值,其中的多个特征值是根据它们的多重性计算的。(2) 如果一种是一个实对称矩阵或 Hermitian 矩阵,它的所有特征值都是实数。(3) 如果一种=诊断⁡(一种11,一种22,…,一种nn),其特征值为一种11,一种22,…,一种nn; 如果一种是一个三角矩阵,它的对角元素都是它的特征值。
(4) 为一种(∈ℜn×n), 如果λ是矩阵的特征值一种,λ也是矩阵的特征值一种吨. 如果λ是矩阵的特征值一种,λ∗是矩阵的特征值一种H. 如果λ是矩阵的特征值一种,λ+σ2是矩阵的特征值一种+σ2一世. 如果λ是矩阵的特征值一种,1/λ是矩阵的特征值一种−1.
(5) 矩阵的所有特征值一种2=一种是 0 或 1 。
(6) 如果一种是一个实正交矩阵,它的所有特征值都在单位圆上。
(7) 如果一个矩阵是奇异的,至少它的一个特征值等于 0。
(8) 所有特征值之和等于它的迹,即∑一世=1nλ一世=tr⁡(一种).
(9) 非零特征向量在1,在2,…,在n与不同的特征值相关联λ1,λ2,…λn是线性独立的。
(10) 如果矩阵一种(∈Hn×n)拥有r非零特征值,那么它认为秩⁡(一种)≥r; 如果零是非多重特征值,则秩⁡(一种)≥n−1; 如果秩⁡(一种−λ一世)≥n−1, 然后λ是矩阵的特征值一种.
(11) 矩阵所有特征值的乘积一种等于矩阵的行列式一种,即∏一世=1nλ一世=这⁡(一种)=|一种|.
(12) Hermitian 矩阵一种是正定的(或半正定的),当且仅当它的所有特征值都是正的(或非负的)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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