机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Feature Extraction

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Feature Extraction

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Feature Extraction

Pattern recognition and data compression are two applications that rely critically on efficient data representation [1]. The task of pattern recognition is to decide to which class of objects an observed pattern belonging to, and the compression of data is motivated by the need to save the number of bits to represent the data while incurring the smallest possible distortion [1]. In these applications, it is desirable to extract measurements that are invariant or insensitive to the variations within each class. The process of extracting such measurements is called feature extraction. It is also to say feature extraction is a data processing which maps a high-dimensional space to a low-dimensional space with minimum information loss.

Principal component analysis (PCA) is a well-known feature extraction method, while minor component analysis (MCA) and independent component analysis (ICA) can be regarded as variants or generalizations of the PCA. MCA is most useful for solving total least squares (TLS) problems, and ICA is usually used for blind signal separation (BSS).

In the following, we briefly review PCA, PCA neural networks, and extensions or generalizations of PCA.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|PCA and Subspace Tracking

The principal components $(\mathrm{PC})$ are the directions in which the data have the largest variances and capture most of the information contents of data. They correspond to the eigenvectors associated with the largest eigenvalues of the autocorrelation matrix of the data vectors. Expressing data vectors in terms of the $\mathrm{PC}$ is called PCA. On the contrary, the eigenvectors that correspond to the smallest eigenvalues of the autocorrelation matrix of the data vectors are defined as the minor components

$(\mathrm{MC})$, and $\mathrm{MC}$ are the directions in which the data have the smallest variances (they represent the noise in the data). Expressing data vectors in terms of the MC is called MCA. Now, PCA has been successfully applied in many data processing problems, such as high-resolution spectral estimation, system identification, image compression, and pattern recognition, and MCA is also applied in total least squares, moving target indication, clutter cancelation, curve and surface fitting, digital beamforming, and frequency estimation.

The PCA or MCA is usually one dimensional. However, in real applications, PCA or MCA is mainly multiple dimensional. The eigenvectors associated with the $r$ largest (or smallest) eigenvalues of the autocorrelation matrix of the data vectors is called principal (or minor) components, and $r$ is referred to as the number of the principal (or minor) components. The eigenvector associated with the largest (smallest) eigenvalue of the autocorrelation matrix of the data vectors is called largest (or smallest) component. The subspace spanned by the principal components is called principal subspace (PS), and the subspace spanned by the minor components is called minor subspace (MS). In some applications, we are only required to find the PS (or MS) spanned by $r$ orthonormal eigenvectors. The PS is sometimes called signal subspace, and the MS is called noise subspace. Principal and minor component analyzers of a symmetric matrix are matrix differential equations that converge on the PCs and MCs, respectively. Similarly, the principal (PSA) and minor (MSA) subspace analyzers of a symmetric matrix are matrix differential equations that converge on a matrix whose columns’ span is the PS and MS, respectively. PCA/PSA and MCA/MSA are powerful techniques in many information processing fields. For example, PCA/PSA is a useful tool in feature extraction, data compression, pattern recognition, and time series prediction [2, 3], and MCA/MSA has been widely applied in total least squares, moving target indication, clutter cancelation, curve and surface fitting, digital beamforming, and frequency estimation [4].

As discussed before, the $\mathrm{PC}$ is the direction which corresponds to the eigenvector associated with the largest eigenvalue of the autocorrelation matrix of the data vectors, and the $\mathrm{MC}$ is the direction which corresponds to the eigenvector associated with the smallest eigenvalue of the autocorrelation matrix of the data vectors. Thus, implementations of these techniques can be based on batch eigenvalue decomposition (ED) of the sample correlation matrix or on singular value decomposition (SVD) of the data matrix. This approach is unsuitable for adaptive processing because it requires repeated ED/SVD, which is a very time-consuming task [5]. Thus, the attempts to propose adaptive algorithms are still continuing even though the field has been active for three decades up to now.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|PCA Neural Networks

In order to overcome the difficulty faced by ED or SVD, a number of adaptive algorithms for subspace tracking were developed in the past. Most of these
techniques can be grouped into three classes [5]. In the first class, classical batch ED/SVD methods such as QR algorithm, Jacobi rotation, power iteration, and Lanczos method have been modified for the use in adaptive processing [6-10]. In the second class, variations in Bunch’s rank-one updating algorithm [11], such as subspace averaging $[12,13]$, have been proposed. The third class of algorithms considers the ED/SVD as a constrained or unconstrained optimization problem. Gradient-based methods [14-19], Gauss-Newton iterations [20, 21], and conjugate gradient techniques [22] can then be applied to seek the largest or smallest eigenvalues and their corresponding eigenvectors adaptively. Rank revealing URV decomposition [23] and rank revealing QR factorization [24] have been proposed to track the signal or noise subspace.

Neural network approaches on PCA or MCA pursue an effective “online” approach to update the eigen direction after each presentation of a data point, which possess many obvious advantages, such as lower computational complexity, compared with the traditional algebraic approaches such as SVD. Neural network methods are especially suited for high-dimensional data, since the computation of the large covariance matrix can be avoided, and for the tracking of nonstationary data, where the covariance matrix changes slowly over time. The attempts to improve the methods and to suggest new approaches are continuing even though the field has been active for two decades up to now.

In the last decades, many neural network learning algorithms were proposed to extract PS [25-31] or MS $[4,32-40]$. In the class of PS tracking, lots of learning algorithms such as Oja’s subspace algorithm [41], the symmetric error correction algorithm [42], and the symmetric version of the back propagation algorithm [43] were proposed based on some heuristic reasoning [44]. Afterward, some information criterions were proposed and the corresponding algorithms such as LMSER algorithm [31], the projection approximation subspace tracking (PAST) algorithm [5], the conjugate gradient method [45], the Gauss-Newton method [46], and the novel information criterion (NIC) algorithm were developed [44]. These gradient-type algorithms could be claimed to be globally convergent.

In the class of MS tracking, many algorithms [32-40] have been proposed on the basis of the feedforward neural network models. Mathew and Reddy proposed the MS algorithm based on a feedback neural network structure with sigmoid activation function [46]. Using the inflation method, Luo and Unbehauen proposed an MSA algorithm that does not need any normalization operation [36]. Douglas et al. presented a self-stabilizing minor subspace rule that does not need periodically normalization and matrix inverses [40]. Chiang and Chen showed that a learning algorithm can extract multiple MCs in parallel with the appropriate initialization instead of inflation method [47]. On the basis of an information criterion, Ouyang et al. developed an adaptive MC tracker that automatically finds the MS without using the inflation method [37]. Recently, Feng et al. proposed the OJAm algorithm and extended it for tracking multiple MCs or the MS, which makes the corresponding state matrix tend to a column orthonormal basis of the MS [35].

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主成分分析代写

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模式识别和数据压缩是两个严重依赖有效数据表示的应用程序 [1]。模式识别的任务是决定观察到的模式属于哪一类对象,并且数据压缩的动机是需要保存表示数据的位数,同时产生尽可能小的失真[1]。在这些应用程序中,希望提取对每个类别内的变化不变或不敏感的测量值。提取此类测量值的过程称为特征提取。也就是说,特征提取是一种将高维空间映射到低维空间的数据处理,信息损失最小。

主成分分析(PCA)是一种众所周知的特征提取方法,而次要成分分析(MCA)和独立成分分析(ICA)可以被视为PCA的变体或泛化。MCA 最适用于解决总最小二乘 (TLS) 问题,而 ICA 通常用于盲信号分离 (BSS)。

下面,我们简要回顾 PCA、PCA 神经网络以及 PCA 的扩展或概括。

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主要成分(磷C)是数据方差最大的方向,捕获了数据的大部分信息内容。它们对应于与数据向量的自相关矩阵的最大特征值相关联的特征向量。表示数据向量磷C称为 PCA。相反,对应于数据向量的自相关矩阵的最小特征值的特征向量被定义为次要分量

(米C), 和米C是数据具有最小方差的方向(它们代表数据中的噪声)。用 MC 表示数据向量称为 MCA。目前,PCA已成功应用于高分辨率光谱估计、系统识别、图像压缩、模式识别等诸多数据处理问题,MCA还应用于全最小二乘、运动目标指示、杂波消除、曲线和表面拟合、数字波束形成和频率估计。

PCA 或 MCA 通常是一维的。然而,在实际应用中,PCA 或 MCA 主要是多维的。与相关的特征向量r数据向量的自相关矩阵的最大(或最小)特征值称为主(或次要)分量,并且r被称为主要(或次要)组件的数量。与数据向量的自相关矩阵的最大(最小)特征值相关的特征向量称为最大(或最小)分量。由主成分跨越的子空间称为主子空间(PS),由次要成分跨越的子空间称为次要子空间(MS)。在某些应用中,我们只需要找到由r正交特征向量。PS有时被称为信号子空间,而MS被称为噪声子空间。对称矩阵的主成分分析器和次要成分分析器是分别收敛于 PC 和 MC 的矩阵微分方程。类似地,对称矩阵的主要 (PSA) 和次要 (MSA) 子空间分析器是矩阵微分方程,它们收敛于列跨度分别为 PS 和 MS 的矩阵上。PCA/PSA 和 MCA/MSA 是许多信息处理领域的强大技术。例如,PCA/PSA 是特征提取、数据压缩、模式识别和时间序列预测的有用工具 [2, 3],而 MCA/MSA 已广泛应用于全最小二乘法、移动目标指示、杂波消除、曲线和曲面拟合、数字波束形成和频率估计 [4]。

如前所述,磷C是对应于与数据向量的自相关矩阵的最大特征值相关联的特征向量的方向,并且米C是对应于与数据向量的自相关矩阵的最小特征值相关联的特征向量的方向。因此,这些技术的实现可以基于样本相关矩阵的批量特征值分解 (ED) 或数据矩阵的奇异值分解 (SVD)。这种方法不适合自适应处理,因为它需要重复的 ED/SVD,这是一项非常耗时的任务 [5]。因此,提出自适应算法的尝试仍在继续,尽管到目前为止该领域已经活跃了 30 年。

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为了克服ED或SVD所面临的困难,过去开发了许多用于子空间跟踪的自适应算法。大多数这些
技术可以分为三类[5]。在第一类中,经典的批量 ED/SVD 方法,例如 QR 算法、Jacobi 旋转、幂迭代和 Lanczos 方法已被修改以用于自适应处理 [6-10]。在第二类中,Bunch 的 rank-one 更新算法 [11] 的变化,例如子空间平均[12,13], 已提出。第三类算法将 ED/SVD 视为有约束或无约束的优化问题。然后可以应用基于梯度的方法 [14-19]、高斯-牛顿迭代 [20, 21] 和共轭梯度技术 [22] 来自适应地寻找最大或最小特征值及其对应的特征向量。秩揭示URV分解[23]和秩揭示QR分解[24]已被提出来跟踪信号或噪声子空间。

PCA 或 MCA 上的神经网络方法追求一种有效的“在线”方法,在每次呈现数据点后更新特征方向,与传统的代数方法(如 SVD)相比,具有许多明显的优势,例如计算复杂度较低。神经网络方法特别适用于高维数据,因为可以避免大协方差矩阵的计算,也适用于协方差矩阵随时间缓慢变化的非平稳数据的跟踪。尽管到目前为止该领域已经活跃了二十年,但改进方法和提出新方法的尝试仍在继续。

在过去的几十年中,提出了许多神经网络学习算法来提取 PS [25-31] 或 MS[4,32−40]. 在PS跟踪类中,基于一些启发式推理[44]提出了许多学习算法,如Oja的子空间算法[41]、对称纠错算法[42]和反向传播算法的对称版本[43]。 ]。随后,提出了一些信息准则和相应的算法,如LMSER算法[31]、投影逼近子空间跟踪(PAST)算法[5]、共轭梯度法[45]、高斯-牛顿法[46]和开发了新的信息标准(NIC)算法[44]。这些梯度类型的算法可以说是全局收敛的。

在 MS 跟踪类中,许多算法 [32-40] 已经在前馈神经网络模型的基础上提出。Mathew 和 Reddy 提出了基于具有 sigmoid 激活函数的反馈神经网络结构的 MS 算法 [46]。使用膨胀方法,Luo 和 Unbehauen 提出了一种不需要任何归一化操作的 MSA 算法 [36]。道格拉斯等人。提出了一个自稳定的次要子空间规则,不需要定期归一化和矩阵求逆[40]。蒋和陈表明,学习算法可以通过适当的初始化而不是膨胀方法并行提取多个 MC [47]。基于信息准则,欧阳等人。开发了一种自适应 MC 跟踪器,可以在不使用膨胀方法的情况下自动找到 MS [37]。最近,冯等人。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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