机器学习代写|决策树作业代写decision tree代考|Pruning

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Decision Trees - Mihail Eric
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机器学习代写|决策树作业代写decision tree代考|Reduced-Error Pruning

Reduced-error pruning is a conceptually simple strategy proposed by Quinlan [94]. It uses a pruning set (a part of the training set) to evaluate the goodness of a given subtree from $T$. The idea is to evaluate each non-terminal node $t \in \zeta_{T}$ with regard to the classification error in the pruning set. If such an error decreases when we replace the subtree $T^{(t)}$ by a leaf node, than $T^{(t)}$ must be pruned.

Quinlan imposes a constraint: a node $t$ cannot be pruned if it contains a subtree that yields a lower classification error in the pruning set. The practical consequence of this constraint is that REP should be performed in a bottom-up fashion. The REP pruned tree $T^{\prime}$ presents an interesting optimality property: it is the smallest most accurate tree resulting from pruning original tree $T$ [94]. Besides this optimality property, another advantage of REP is its linear complexity, since each node is visited only once in $T$. An obvious disadvantage is the need of using a pruning set, which means one has to divide the original training set, resulting in less instances to grow the tree. This disadvantage is particularly serious for small data sets.

机器学习代写|决策树作业代写decision tree代考|Pessimistic Error Pruning

Also proposed by Quinlan [94], the pessimistic error pruning uses the training set for both growing and pruning the tree. The apparent error rate, i.e., the error rate calculated over the training set, is optimistically biased and cannot be used to decide whether pruning should be performed or not. Quinlan thus proposes adjusting the apparent error according to the continuity correction for the binomial distribution (cc) in order to provide a more realistic error rate. Consider the apparent error of a pruned node $t$, and the error of its entire subtree $T^{(t)}$ before pruning is performed, respectively:
r^{(t)} &=\frac{E^{(t)}}{N_{x}^{(t)}} \
r^{T^{(t)}} &=\frac{\sum_{s \in \lambda_{T^{(t)}}} E^{(s)}}{\sum_{s \in \lambda_{T^{(t)}}} N_{x}^{(s)}} .
Modifying (2.33) and (2.34) according to $c c$ results in:
r_{c c}^{(t)}=\frac{E^{(t)}+1 / 2}{N_{x}^{(t)}} \
r_{c c}^{T^{(t)}}=\frac{\sum_{s \in \lambda_{T}(t)} E^{(s)}+1 / 2}{\sum_{s \in \lambda_{T}(t)} N_{x}^{(s)}}=\frac{\frac{\left|\lambda_{T(t)}\right|}{2} \sum_{s \in \lambda_{T(t)}} E^{(s)}}{\sum_{s \in \lambda_{T}(t)} N_{x}^{(s)}} .
For the sake of simplicity, we will refer to the adjusted number of errors rather than the adjusted error rate, i.e., $E_{c c}^{(t)}=E^{(t)}+1 / 2$ and $E_{c c}^{T^{(t)}}=\left(\left|\lambda_{T^{(t)}}\right| / 2\right) \sum_{s \in \lambda_{T^{(t)}}} E^{(s)}$. Ideally, pruning should occur if $E_{c c}^{(t)} \leq E_{c c}^{T^{(t)}}$, but note that this condition seldom holds, since the decision tree is usually grown up to the homogeneity stopping criterion (criterion 1 in Sect. 2.3.2), and thus $E_{c c}^{T^{(t)}}=\left|\lambda_{T^{(t)}}\right| / 2$ whereas $E_{c c}^{(t)}$ will very probably be a higher value. In fact, due to the homogeneity stopping criterion, $E_{c c}^{T^{(t)}}$ becomes simply a measure of complexity which associates each leaf node with a cost of $1 / 2$. Quinlan, aware of this situation, weakens the original condition a

E_{c c}^{(t)} \leq E_{c c}^{T^{(t)}}
E_{c c}^{(t)} \leq E_{c c}^{T^{(t)}}+S E\left(E_{c c}^{T^{(\mathrm{r})}}\right)
S E\left(E_{c c}^{T^{(t)}}\right)=\sqrt{\frac{E_{c c}^{T^{(t)}} *\left(N_{x}^{(t)}-E_{c c}^{T^{(t)}}\right)}{N_{x}^{(t)}}}
is the standard error for the subtree $T^{(t)}$, computed as if the distribution of errors were binomial.

PEP is computed in a top-down fashion, and if a given node $t$ is pruned, its descendants are not examined, which makes this pruning strategy quite efficient in terms of computational effort. As a point of criticism, Esposito et al. [32] point out that the introduction of the continuity correction in the estimation of the error rate has no theoretical justification, since it was never applied to correct over-optimistic estimates of error rates in statistics.

机器学习代写|决策树作业代写decision tree代考|Minimum Error Pruning

Originally proposed by Niblett and Bratko [82] and further extended by Cestnik and Bartko [19], minimum error pruning is a bottom-up approach that seeks to minimize the expected error rate for unseen cases. It estimates the expected error rate in node $t\left(E E^{(t)}\right)$ as follows:
E E^{(t)}=\min {\xi M}\left[\frac{N{x}^{(t)}-N_{\bullet, y y^{(t)}}^{(t)}+\left(1-p_{\bullet}^{(t)}\right) \times m}{N_{x}^{(t)}+m}\right] .
where $m$ is a parameter that determines the importance of the a priori probability on the estimation of the error. Eq. (2.39), presented in [19], is a generalisation of the expected error rate presented in [82] if we assume that $m=k$ and that $p_{\bullet}^{(t)}=$ $1 / k, \forall y_{n} \in Y$.

MEP is performed by comparing $E E^{(t)}$ with the weighted sum of the expected error rate of all children nodes from $t$. Each weight is given by $p_{y_{j}, \boldsymbol{e}}$, assuming $v_{j}$ is the partition corresponding to the $j$ th child of $t$. A disadvantage of MEP is the need of setting the ad-hoc parameter $m$. Usually, the higher the value of $m$, the more severe the pruning. Cestnik and Bratko [19] suggest that a domain expert should set $m$ according to the level of noise in the data. Alternatively, a set of trees pruned with different values of $m$ could be offered to the domain expert, so he/she can choose the best one according to his/her experience.

SAS Help Center: Pruning
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机器学习代写|决策树作业代写decision tree代考|Reduced-Error Pruning

减少错误修剪是 Quinlan [94] 提出的概念上简单的策略。它使用修剪集(训练集的一部分)来评估给定子树的优度吨. 这个想法是评估每个非终端节点吨∈G吨关于剪枝集中的分类误差。如果我们替换子树时这样的错误减少了吨(吨)通过一个叶节点,比吨(吨)必须修剪。

Quinlan 施加了一个约束:一个节点吨如果它包含在修剪集中产生较低分类错误的子树,则无法修剪。这种约束的实际结果是 REP 应该以自下而上的方式执行。REP 修剪树吨′提出了一个有趣的最优性:它是修剪原始树得到的最小最准确的树吨[94]。除了这个最优性之外,REP 的另一个优点是它的线性复杂性,因为每个节点只被访问一次吨. 一个明显的缺点是需要使用剪枝集,这意味着必须分割原始训练集,导致生成树的实例更少。这个缺点对于小数据集尤其严重。

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Quinlan [94] 也提出,悲观错误修剪使用训练集来生长和修剪树。表观错误率,即在训练集上计算的错误率,具有乐观偏差,不能用于决定是否应该进行剪枝。因此,Quinlan 建议根据二项式分布 (cc) 的连续性校正来调整表观误差,以提供更真实的错误率。考虑修剪节点的明显错误吨, 及其整个子树的误差吨(吨)在进行剪枝之前,分别为:
r(吨)=和(吨)ñX(吨) r吨(吨)=∑s∈λ吨(吨)和(s)∑s∈λ吨(吨)ñX(s).
修改 (2.33) 和 (2.34) 根据CC结果是:
rCC(吨)=和(吨)+1/2ñX(吨) rCC吨(吨)=∑s∈λ吨(吨)和(s)+1/2∑s∈λ吨(吨)ñX(s)=|λ吨(吨)|2∑s∈λ吨(吨)和(s)∑s∈λ吨(吨)ñX(s).
为简单起见,我们将参考调整后的错误数而不是调整后的错误率,即和CC(吨)=和(吨)+1/2和和CC吨(吨)=(|λ吨(吨)|/2)∑s∈λ吨(吨)和(s). 理想情况下,修剪应该发生在和CC(吨)≤和CC吨(吨),但请注意,这种情况很少成立,因为决策树通常会长大到同质性停止标准(第 2.3.2 节中的标准 1),因此和CC吨(吨)=|λ吨(吨)|/2然而和CC(吨)很可能会是一个更高的价值。事实上,由于同质性停止准则,和CC吨(吨)成为简单的复杂性度量,它将每个叶节点与成本相关联1/2. 昆兰意识到这种情况,削弱了原有的条件和CC(吨)≤和CC吨(吨)

是子树的标准误差吨(吨), 计算得好像误差分布是二项式的。

PEP 以自上而下的方式计算,如果给定节点吨被修剪,它的后代没有被检查,这使得这种修剪策略在计算工作方面非常有效。作为一个批评点,Esposito 等人。[32] 指出,在错误率估计中引入连续性校正没有理论依据,因为它从未应用于纠正统计中错误率的过度乐观估计。

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最初由 Niblett 和 Bratko [82] 提出,并由 Cestnik 和 Bartko [19] 进一步扩展,最小错误修剪是一种自下而上的方法,旨在最小化未见案例的预期错误率。它估计节点中的预期错误率吨(和和(吨))如下:
在哪里米是一个参数,它决定了先验概率对误差估计的重要性。方程。[19] 中提出的 (2.39) 是 [82] 中提出的预期错误率的概括,如果我们假设米=ķ然后p∙(吨)= 1/ķ,∀是n∈是.

MEP 通过比较来执行和和(吨)与所有子节点的预期错误率的加权和吨. 每个权重由下式给出p是j,和, 假设在j是对应的分区j的第一个孩子吨. MEP 的一个缺点是需要设置 ad-hoc 参数米. 通常,值越高米,剪枝越严重。Cestnik 和 Bratko [19] 建议领域专家应该设置米根据数据中的噪声水平。或者,用不同的值修剪一组树米可以提供给领域专家,因此他/她可以根据自己的经验选择最好的。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


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