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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。
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- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Data on Manifolds
All the manifold-learning algorithms that we will describe in this chapter assume that finitely many data points, $\left{\mathbf{y}{i}\right}$, are randomly drawn from a smooth $t$-dimensional manifold $\mathcal{M}$ with a metric given by geodesic distance $d^{\mathcal{M}}$. These data points are (linearly or nonlinearly) embedded by a smooth map $\psi$ into high-dimensional input space $\mathcal{X}=\Re^{r}$, where $t \ll r$, with Euclidean metric $|$. $|{\mathcal{X}}$. This embedding results in the input data points $\left{\mathbf{x}{i}\right}$. In other words, the embedding map is $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$, and a point on the manifold, $\mathbf{y}{i} \in \mathcal{M}$, can be expressed as $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$, where $\phi=\psi^{-1}$.
The goal is to recover $\mathcal{M}$ and find an explicit representation of the map $\psi$ (and recover the ${\mathbf{y}}$ ), given either the input data points $\left{\mathbf{x}{i}\right}$ in $\mathcal{X}$, or the proximity matrix of distances between all pairs of those points. When we apply these algorithms, we obtain estimates $\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right} \subset \Re^{t^{\prime}}$ that provide reconstructions of the manifold data $\left{\mathbf{y}_{i}\right} \subset \Re^{t}$, for some $t^{\prime}$. Clearly, if $t^{\prime}=t$, we have been successful. In general, we expect $t^{\prime}>3$, and so the results will be impractical for visualization purposes. To overcome this difficulty, while still providing a low-dimensional representation, we take only the points of the first two or three of the coordinate vectors of the reconstruction and plot them in a two-or three-dimensional space.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning
Most statistical theory and applications that deal with the problem of dimensionality reduction are focused on linear dimensionality reduction and, by extension, linear manifold learning. A linear manifold can be visualized as a line, a plane, or a hyperplane, depending upon the number of dimensions involved. Data are observed in some high-dimensional space and it is usually assumed that a lower-dimensional linear manifold would be the most appropriate summary of the relationship between the variables. Although data tend not to live on a linear manifold, we view the problem as having two kinds of motivations. The first such motivation is to assume that the data live close to a linear manifold, the distance off the manifold determined by a random error (or noise) component. A second way of thinking about linear manifold learning is that a linear manifold is really a simple linear approximation to a more complicated type of nonlinear manifold that would probably be a better fit to the data. In both scenarios, the intrinsic dimensionality of the linear manifold is taken to be much smaller than the dimensionality of the data.
Identifying a linear manifold embedded in a higher-dimensional space is closely related to the classical statistics problem of linear dimensionality reduction. The recommended way of accomplishing linear dimensionality reduction is to create a reduced set of linear transformations of the input variables. Linear transformations are projection methods, and so the problem is to derive a sequence of low-dimensional projections of the input data that possess some type of optimal properties. There are many techniques that can be used for either linear dimensionality reduction or linear manifold learning. In this chapter, we describe only two linear methods, namely, principal component analysis and multidimensional scaling. The earliest projection method was principal component analysis (dating back to 1933), and this technique has become the most popular dimensionality-reducing technique in use today. A related method is that of multidimensional scaling (dating back to 1952), which has a very different motivation. An adaptation of multidimensional scaling provided the core element of the IsOMAP algorithm for nonlinear manifold learning.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Principal Component Analysis
PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (PCA) (Hotelling, 1933) was introduced as a technique for deriving a reduced set of orthogonal linear projections of a single collection of correlated variables, $\mathbf{X}=\left(X_{1}, \cdots, X_{r}\right)^{\tau}$, where the projections are ordered by decreasing variances. The amount of information in a random variable can be measured by its variance, which is a second-order property. PCA has also been referred to as a method for “decorrelating” $\mathbf{X}$, and so several researchers in different fields have independently discovered this technique. For example, PCA is also called the Karhunen-Loève transform in communications theory and empirical orthogonal functions in atmospheric science. As a technique for dimensionality reduction, PCA has been used in lossy data compression, pattern recognition, and image analysis. In chemometrics, PCA is used as a preliminary step for constructing derived variables in biased regression situations, leading to principal component regression.
PCA is also used as a means of discovering unusual facets of a data set. This can be accomplished by plotting the top few pairs of principal component scores (those having largest variances) in a scatterplot. Such a scatterplot can identify whether $\mathbf{X}$ actually lives on a low-dimensional linear manifold of $\Re^{r}$, as well as provide help identifying multivariate outliers, distributional peculiarities, and clusters of points. If the bottom set of principal components each have near-zero variance, then this implies that those principal components are essentially constant and, hence, can be used to identify the presence of collinearity and possibly outliers that might distort the intrinsic dimensionality of the vector $\mathbf{X}$.
Population Principal Components
Suppose that the input variables are the components of a random $r$-vector,
$$
\mathbf{X}=\left(X_{1}, \cdots, X_{r}\right)^{\top}
$$
where $\mathbf{A}^{\tau}$ denotes the transpose of the matrix $\mathbf{A}$. In this chapter, all vectors will be column vectors. Further, assume that $\mathbf{X}$ has mean vector $\mathrm{E}{\mathbf{X}}=\boldsymbol{\mu}{X}$ and $(r \times r)$ covariance matrix $\mathrm{E}\left{\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right)\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right)^{\tau}\right}=\mathbf{\Sigma}{X X}$. PCA replaces the input variables $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{r}$ by a new set of derived variables, $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{t}, t \leq r$, where
$$
\xi_{j}=\mathbf{b}{j}^{\tau} \mathbf{X}=b{j 1} X_{1}+\cdots+b_{j r} X_{r}, \quad j=1,2, \ldots, r .
$$
The derived variables are constructed so as to be uncorrelated with each other and ordered by the decreasing values of their variances. To obtain the vectors $\mathbf{b}{j}, j=1,2, \ldots, r$, which define the principal components, we minimize the loss of information due to replacement. In $\mathrm{PCA}$, “information” is interpreted as the “total variation” of the original input variables, $$ \sum{j=1}^{r} \operatorname{var}\left(X_{j}\right)=\operatorname{tr}\left(\Sigma_{X X}\right)
$$
流形学习代写
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Data on Manifolds
我们将在本章中描述的所有流形学习算法都假设有限多个数据点，\left{\mathbf{y}{i}\right}\left{\mathbf{y}{i}\right}, 是从一个光滑的吨维流形米具有由测地距离给出的度量d米. 这些数据点（线性或非线性）由平滑图嵌入ψ进入高维输入空间X=ℜr， 在哪里吨≪r, 使用欧几里得度量|. |X. 这种嵌入导致输入数据点\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}. 换句话说，嵌入图是ψ:米→X，以及流形上的一个点，是一世∈米, 可以表示为是=φ(X),X∈X， 在哪里φ=ψ−1.
目标是恢复米并找到地图的明确表示ψ（并恢复是)，给定输入数据点\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}在X，或所有这些点对之间的距离的邻近矩阵。当我们应用这些算法时，我们会得到估计\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right} \subset \Re^{t^{\prime}}\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right} \subset \Re^{t^{\prime}}提供流形数据的重建\left{\mathbf{y}_{i}\right} \subset \Re^{t}\left{\mathbf{y}_{i}\right} \subset \Re^{t}， 对于一些吨′. 显然，如果吨′=吨，我们已经成功了。一般来说，我们预计吨′>3，因此结果对于可视化目的是不切实际的。为了克服这个困难，在仍然提供低维表示的同时，我们只取重建的前两个或三个坐标向量的点，并将它们绘制在二维或三维空间中。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning
处理降维问题的大多数统计理论和应用都集中在线性降维上，进而延伸到线性流形学习。线性流形可以可视化为线、平面或超平面，具体取决于所涉及的维数。数据是在一些高维空间中观察到的，通常假设低维线性流形是变量之间关系的最合适的总结。尽管数据往往不存在于线性流形上，但我们认为这个问题有两种动机。第一个这样的动机是假设数据接近线性流形，流形的距离由随机误差（或噪声）分量确定。关于线性流形学习的第二种思考方式是，线性流形实际上是对更复杂类型的非线性流形的简单线性近似，可能更适合数据。在这两种情况下，线性流形的内在维度都被认为远小于数据的维度。
识别嵌入在高维空间中的线性流形与线性降维的经典统计问题密切相关。完成线性降维的推荐方法是创建一组输入变量的简化线性变换。线性变换是投影方法，因此问题是推导出具有某种最佳属性的输入数据的一系列低维投影。有许多技术可用于线性降维或线性流形学习。在本章中，我们只描述了两种线性方法，即主成分分析和多维缩放。最早的投影方法是主成分分析（可追溯到 1933 年），这种技术已经成为当今最流行的降维技术。一种相关的方法是多维缩放（可追溯到 1952 年），其动机非常不同。多维缩放的适应为非线性流形学习提供了 IsOMAP 算法的核心元素。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Principal Component Analysis
主成分分析 (PCA) (Hotelling, 1933) 被引入作为一种技术，用于推导单个相关变量集合的一组简化正交线性投影，X=(X1,⋯,Xr)τ，其中投影按递减方差排序。随机变量中的信息量可以通过其方差来衡量，这是一个二阶属性。PCA 也被称为“去相关”的方法X，因此不同领域的几位研究人员独立发现了这种技术。例如，PCA 在通信理论中也称为 Karhunen-Loève 变换，在大气科学中也称为经验正交函数。作为一种降维技术，PCA 已被用于有损数据压缩、模式识别和图像分析。在化学计量学中，PCA 被用作在有偏回归情况下构建派生变量的初步步骤，从而导致主成分回归。
PCA 也被用作发现数据集异常方面的一种手段。这可以通过在散点图中绘制前几对主成分分数（具有最大方差的分数）来完成。这样的散点图可以识别是否X实际上生活在一个低维线性流形上ℜr，并提供帮助识别多元异常值、分布特性和点簇。如果底部的主成分集每个都具有接近零的方差，则这意味着这些主成分基本上是恒定的，因此可用于识别共线性的存在以及可能扭曲向量固有维度的可能异常值X.
总体主成分
假设输入变量是随机数的成分r-向量，
X=(X1,⋯,Xr)⊤
在哪里一种τ表示矩阵的转置一种. 在本章中，所有向量都是列向量。此外，假设X有平均向量和X=μX和(r×r)协方差矩阵\mathrm{E}\left{\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right)\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right) ^{\tau}\right}=\mathbf{\Sigma}{X X}\mathrm{E}\left{\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right)\left(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}{X}\right) ^{\tau}\right}=\mathbf{\Sigma}{X X}. PCA 替换输入变量X1,X2,…,Xr通过一组新的派生变量，X1,X2,…,X吨,吨≤r， 在哪里
Xj=bjτX=bj1X1+⋯+bjrXr,j=1,2,…,r.
派生变量被构造为彼此不相关，并按其方差的递减值排序。获取向量bj,j=1,2,…,r，它定义了主成分，我们最大限度地减少了由于替换引起的信息损失。在磷C一种，“信息”被解释为原始输入变量的“总变异”，∑j=1r曾是(Xj)=tr(ΣXX)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。