机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|INFS6077

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Topological Spaces

Topological spaces were introduced by Maurice Fréchet (1906) (in the form of metric spaces), and the idea was developed and extended over the next few decades. Amongst those who contributed significantly to the subject was Felix Hausdorff, who in 1914 coined the phrase “topological space” using Johann Benedict Listing’s German word Topologie introduced in $1847 .$

A topological space $\mathcal{X}$ is a nonempty collection of subsets of $\mathcal{X}$ which contains the empty set, the space itself, and arbitrary unions and finite intersections of those sets. A topological space is often denoted by $(\mathcal{X}, \mathcal{T})$, where $\mathcal{T}$ represents the topology associated with $\mathcal{X}$. The elements of $\mathcal{T}$ are called the open sets of $\mathcal{X}$, and a set is closed if its complement is open. Topological spaces can also be characterized through the concept of neighborhood. If $\mathbf{x}$ is a point in a topological space $\mathcal{X}$, its neighborhood is a set that contains an open set that contains $\mathbf{x}$.
Let $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ be two topological spaces, and let $U \subset \mathcal{X}$ and $V \subset \mathcal{Y}$ be open subsets. Consider the family of all cartesian products of the form $U \times V$. The topology formed from these products of open subsets is called the product topology for $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$. If $W \subset \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$, then $W$ is open relative to the product topology iff for each point $(x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ there are open neighborhoods, $U$ of $x$ and $V$ of $y$, such that $U \times V \subset W$. For example, the usual topology for $d$-dimensional Euclidean space $\Re^{d}$ consists of all open sets of points in $\Re^{d}$, and this topology is equivalent to the product topology for the product of $d$ copies of $\Re$.

One of the core elements of manifold learning involves the idea of “embedding” one topological space inside another. Loosely speaking, the space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in the space $\mathcal{Y}$ if the topological properties of $\mathcal{Y}$ when restricted to $\mathcal{X}$ are identical to the topological properties of $\mathcal{X}$. To be more specific, we state the following definitions. A function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is said to be continuous if the inverse image of an open set in $\mathcal{Y}$ is an open set in $\mathcal{X}$. If $g$ is a bijective (i.e., one-to-one and onto) function such that $g$ and its inverse $g^{-1}$ are continuous, then $g$ is said to be a homeomorphism. Two topological spaces $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are said to be homeomorphic (or topologically equivalent) if there exists a homeomorphism from one space onto the other. A topological space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in a topological space $\mathcal{Y}$ if $\mathcal{X}$ is homeomorphic to a subspace of $\mathcal{Y}$.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Riemannian Manifolds

In the entire theory of topological manifolds, there is no mention of the use of calculus. However, in a prototypical application of a “manifold,” calculus enters in the form of a “smooth” (or differentiable) manifold $\mathcal{M}$, also known as a Riemannian manifold; it is usually defined in differential geometry as a submanifold of some ambient (or surrounding) Euclidean space, where the concepts of length, curvature, and angle are preserved, and where smoothness relates to differentiability. The word manifold (in German, Mannigfaltigkeit) was coined in an “intuitive” way and without any precise definition by Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) in his 1851 doctoral dissertation (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009); in 1854, Riemann introduced in his famous Habilitations lecture the idea of a topological manifold on which one could carry out differential and integral calculus.

A topological manifold $\mathcal{M}$ is called a smooth (or differentiable) manifold if $\mathcal{M}$ is continuously differentiable to any order. All smooth manifolds are topological manifolds, but the reverse is not necessarily true. (Note: Authors often differ on the precise definition of a “smooth” manifold.)

We now define the analogue of a homeomorphism for a differentiable manifold. Consider two open sets, $U \in \Re^{r}$ and $V \in \Re^{s}$, and let $g: U \rightarrow V$ so that for $\mathbf{x} \in U$ and $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y. If the function $g$ has finite first-order partial derivatives, $\partial y_{j} / \partial x_{i}$, for all $i=1,2, \ldots, r$, and all $j=1,2, \ldots, s$, then $g$ is said to be a smooth (or differentiable) mapping on $U$. We also say that $g$ is a $\mathcal{C}^{1}$-function on $U$ if all the first-order partial derivatives are continuous. More generally, if $g$ has continuous higher-order partial derivatives, $\partial^{k_{1}+\cdots+k_{r}} y_{j} / \partial x_{1}^{k_{1}} \cdots \partial x_{r}^{k_{r}}$, for all $j=1,2, \ldots, s$ and all nonnegative integers $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}$ such that $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r} \leq r$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\top}$-function, $r=1,2, \ldots$. If $g$ is a $\mathcal{C}^{r}$-function for all $r \geq 1$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\infty}$-function.

If $g$ is a homeomorphism from an open set $U$ to an open set $V$, then it is said to be a $\mathcal{C}^{r}$-diffeomorphism if $g$ and its inverse $g^{-1}$ are both $\mathcal{C}^{r}$-functions. A $\mathcal{C}^{\infty}$-diffeomorphism is simply referred to as a diffeomorphism. We say that $U$ and $V$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them. These definitions extend in a straightforward way to manifolds. For example, if $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are both smooth manifolds, the function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is a diffeomorphism if it is a homeomorphism from $\mathcal{X}$ to $\mathcal{Y}$ and both $g$ and $g^{-1}$ are smooth. Furthermore, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them, in which case, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are essentially indistinguishable from each other.

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Topological Spaces

Maurice Fréchet (1906) 引入了拓扑空间(以度量空间的形式),这个想法在接下来的几十年中得到发展和扩 展。对这个主题做出重大贡献的人中有 Felix Hausdorff,他在 1914 年使用 Johann Benedict Listing 的德语单词 Topologie 创造了“拓扑空间”一词。1847.
拓扑空间 $\mathcal{X}$ 是子集的非空集合 $\mathcal{X}$ 它包含空集、空间本身以及这些集合的任意并集和有限交集。拓扑空间通常表示 为 $(\mathcal{X}, \mathcal{T})$ ,在哪里 $\mathcal{T}$ 表示与相关的拓扑 $\mathcal{X}$. 的元素 $\mathcal{T}$ 被称为开集 $\mathcal{X}$ ,如果它的补集是开集,则它是闭集。拓扑空 间也可以通过邻域的概念来表征。如果 $\mathbf{x}$ 是拓扑空间中的一个点 $\mathcal{X}$ ,它的邻域是一个包含一个开集的集合,其中 包含 $\mathbf{x}$.
让 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 是两个拓扑空间,令 $U \subset \mathcal{X}$ 和 $V \subset \mathcal{Y}$ 是开放子集。考虑以下形式的所有笛卡尔积的族 $U \times V$. 由这些 开放子集的乘积形成的拓扑称为乘积拓扑 $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$. 如果 $W \subset \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ ,然后 $W$ 对于每个点相对于产品拓扑是开 放的 $(x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ 有开放的社区, $U$ 的 $x$ 和 $V$ 的 $y$ ,这样 $U \times V \subset W$. 例如,通常的拓扑 $d$ 维欧几里得空间 $\Re^{d}$ 由所有开集的点组成 $\Re^{d}$, 这个拓扑等价于 的乘积的乘积拓扑 $d$ 的副本 $\Re$.
流形学习的核心要素之一涉及将一个拓扑空间“嵌入“另一个拓扑空间的想法。说白了就是空间 $\mathcal{X}$ 据说嵌入空间 $\mathcal{Y}$ 如果拓扑性质Y)当限制在 $\mathcal{X}$ 与拓扑性质相同 $\mathcal{X}$. 更具体地说,我们陈述以下定义。一个函数 $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ 如果一个 开集的逆像在 $\mathcal{Y}$ 是一个开集 $\mathcal{X}$. 如果 $g$ 是一个双射(即,一对一和上)函数,使得 $g$ 和它的逆 $g^{-1}$ 是连续的,那么 $g$ 据说是同胚。两个拓扑空间 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 如果存在从一个空间到另一个空间的同胚,则称其是同胚的(或拓扑等价 的)。拓扑空间 $\mathcal{X}$ 据说嵌入在拓扑空间中 $\mathcal{Y}$ 如果 $\mathcal{X}$ 同胚于一个子空间 $\mathcal{Y}$.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Riemannian Manifolds

在拓扑流形的整个理论中,没有提到微积分的使用。然而,在“流形”的原型应用中,微积分以“平滑” (或可微分) 流形的形式出现 $\mathcal{M}$ ,也称为黎曼流形;它通常在微分几何中定义为一些周围 (或周围) 欧几里得空间的子流形, 其中保留了长度、曲率和角度的概念,并且平滑度与可微性相关。Georg Friedrich Bernhard Riemann (18261866) 在他 1851 年的博士论文 (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009) 中以“直观”的方式创造了流形这个词 (德 语,Mannigfaltigkeit),没有任何精确的定义;1854 年,黎曼在他著名的 Habilitations 演讲中介绍了拓扑流形 的概念,人们可以在该流形上进行微分和积分。
拓扑流形 $\mathcal{M}$ 称为光滑(或可微) 流形,如果 $\mathcal{M}$ 连续可微分到任意阶。所有光滑流形都是拓扑流形,但反过来不 一定正确。(注:作者经常对“平滑”流形的精确定义存在分歧。)
我们现在为可微流形定义同胚的类比。考虑两个开集, $U \in \Re^{r}$ 和 $V \in \Re^{s}$ ,然后让 $g: U \rightarrow V$ 所以对于 $\mathbf{x} \in U$ 和 $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ 是的。如果函数 $g$ 具有有限的一阶偏导数, $\partial y_{j} / \partial x_{i}$ ,对所有人 $i=1,2, \ldots, r$ ,和 所有 $j=1,2, \ldots, s$ ,然后 $g$ 据说是一个平滑的 (或可微的) 映射 $U$. 我们也说 $g$ 是一个 $\mathcal{C}^{1}$ – 功能开启 $U$ 如果所有 一阶偏导数都是连续的。更一般地说,如果 $g$ 具有连续的高阶偏导数, $\partial^{k_{1}+\cdots+k_{r}} y_{j} / \partial x_{1}^{k_{1}} \cdots \partial x_{r}^{k_{r}}$ ,对所有人 $j=1,2, \ldots, s$ 和所有非负整数 $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}$ 这样 $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r} \leq r$ ,那么我们说 $g$ 是一个 $\mathcal{C}^{\top}$-功能,
如果 $g$ 是开集的同胚 $U$ 对开集 $V$ ,则称其为 $\mathcal{C}^{r}$-微分同胚如果 $g$ 和它的逆 $g^{-1}$ 都是 $\mathcal{C}^{r}$-功能。一个 $-$ 溦分同胚简称 为微分同胚。我们说 $U$ 和 $V$ 如果它们之间存在微分同胚,则它们是微分同胚的。这些定义以直接的方式扩展到流 形。例如,如果 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 都是光滑流形,函数 $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ 如果它是同胚,则它是微分同胚 $\mathcal{X}$ 至 $\mathcal{Y}$ 和两者 $g$ 和 $g^{-1}$ 光 滑。此外, $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 如果它们之间存在微分同胚,则它们是微分同胚的,在这种情况下, $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 本质上是无法区分 的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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