机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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Principal Component Analysis explained visually
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

We next discuss some algorithmic techniques that proved to be innovative in the study of nonlinear manifold learning: ISOMAP, LOCAL LINEAR EMBEDDING, LAPLACIAN EIGENMAPS, DIFFUSION MAPS, HESSIAN EIGENMAPS, and the many different versions of NONLINEAR PCA. The goal of each of these algorithms is to recover the full low-dimensional

representation of an unknown nonlinear manifold, $\mathcal{M}$, embedded in some high-dimensional space, where it is important to retain the neighborhood structure of $\mathcal{M}$. When $\mathcal{M}$ is highly nonlinear, such as the S-shaped manifold in the left panel of Figure $1.1$, these algorithms outperform the usual linear techniques. The nonlinear manifold-learning methods emphasize simplicity and avoid optimization problems that could produce local minima.

Assume that we have a finite random sample of data points, $\left{\mathbf{y}{i}\right}$, from a smooth $t$ dimensional manifold $\mathcal{M}$ with metric given by the geodesic distance $d^{\mathcal{M}} ;$ see Section $1.2 .4$. These points are then nonlinearly embedded by a smooth map $\psi$ into high-dimensional input space $\mathcal{X}=\Re^{r}(t \ll r)$ with Euclidean metric $|$. $| \mathcal{X}$. This embedding provides us with the input data $\left{\mathbf{x}{i}\right}$. For example, in the right panel of Figure $1.1$, we randomly generated 20,000 three-dimensional points to lie uniformly on the surface of the two-dimensional Sshaped curve displayed in the left panel. Thus, $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is the embedding map, and a point on the manifold, $\mathbf{y} \in \mathcal{M}$, can be expressed as $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$, where $\phi=\psi^{-1}$. The goal is to recover $\mathcal{M}$ and find an implicit representation of the map $\psi$ (and, hence, recover the $\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right)$, given only the input data points $\left{\mathbf{x}{i}\right}$ in $\mathcal{X}$.

Each algorithm computes $t^{\prime}$-dimensional estimates, $\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}$, of the $t$-dimensional manifold data, $\left{\mathbf{y}{i}\right}$, for some $t^{\prime}$. Such a reconstruction is deemed to be successful if $t^{\prime}=t$, the true (unknown) dimensionality of $\mathcal{M}$. In practice, $t^{\prime}$ will most likely be too large. Because we require a low-dimensional solution, we retain only the first two or three of the coordinate vectors and plot the corresponding elements of those vectors against each other to yield $n$ points in two- or three-dimensional space. For all practical purposes, such a display is usually sufficient to identify the underlying manifold.

Most of the nonlinear manifold-learning algorithms that we discuss here are based upon different philosophies regarding how one should recover unknown nonlinear manifolds. However, they each consist of a three-step approach (except NONLINEAR PCA). The first and third steps are common to all algorithms: the first step incorporates neighborhood information at each data point to construct a weighted graph having the data points as vertices, and the third step is a spectral embedding step that involves an $(n \times n)$-eigenequation computation. The second step is specific to the algorithm, taking the weighted neighborhood graph and transforming it into suitable input for the spectral embedding step.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Isomap

The isometric feature mapping (or IsOMAP) algorithm (Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000 ) assumes that the smooth manifold $\mathcal{M}$ is a convex region of $\Re^{t}(t \ll r)$ and that the embedding $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is an isometry. This assumption has two key ingredients:

  • Isometry: The geodesic distance is invariant under the map $\psi$. For any pair of points on the manifold, $\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$, the geodesic distance between those points equals the Euclidean distance between their corresponding coordinates, $\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$; i.e.,
    $$
    d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
    $$
    where $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$ and $\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$.
  • Convexity: The manifold $\mathcal{M}$ is a convex subset of $\Re^{t}$.
    IsomaP considers $\mathcal{M}$ to be a convex region possibly distorted in any of a number of ways (e.g., by folding or twisting). The so-called Swiss roll, ${ }^{2}$ which is a flat two-dimensional rectangular submanifold of $\Re^{3}$, is one such example; see Figure $1.2$. Empirical studies show that IsOMAP works well for intrinsically flat submanifolds of $\mathcal{X}=\Re^{r}$ that look like rolledup sheets of paper or “open” manifolds such as an open box or open cylinder. However, IsOMAP does not perform well if there are any holes in the roll, because this would violate the convexity assumption. The isometry assumption appears to be reasonable for certain types of situations, but, in many other instances, the convexity assumption may be too restrictive (Donoho and Grimes, 2003b).

IsomAP uses the isometry and convexity assumptions to form a nonlinear generalization of multidimensional scaling (MDS). Recall that MDS looks for a low-dimensional subspace in which to embed input data while preserving the Euclidean interpoint distances (see Section 1.3.2). Unfortunately, working with Euclidean distances in MDS when dealing with curved regions tends to give poor results. IsOMAP follows the general MDS philosophy by attempting to preserve the global geometric properties of the underlying nonlinear manifold, and it does this by approximating all pairwise geodesic distances (i.e., lengths of the shortest paths between two points) on the manifold. In this sense, IsOMAP provides a global approach to manifold learning.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Laplacian Eigenmaps

The Laplacian eigenmap algorithm (Belkin and Niyogi, 2002) also consists of three steps. The first and third steps of the Laplacian eigenmap algorithm are very similar to the first and third steps, respectively, of the LLE algorithm.

  1. Nearest-neighbor search. Fix an integer $K$ or an $\epsilon>0$. The neighborhoods of each data point are symmetrically defined: for a $K$-neighborhood $N_{i}^{K}$ of the point $\mathbf{x}{i}$, let $\mathbf{x}{j} \in N_{i}^{K}$ iff $\mathbf{x}{i} \in N{j}^{K}$; similarly, for an $\epsilon$-neighborhood $N_{i}^{\epsilon}$, let $\mathbf{x}{j} \in N{i}^{e}$ iff $\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|<\epsilon$, where the norm is Euclidean norm. In general, let $N_{i}$ denote the neighborhood of $\mathbf{x}_{i}$.
  2. Weighted adjacency matrix. Let $\mathbf{W}=\left(w_{i j}\right)$ be a symmetric $(n \times n)$ weighted adjacency matrix defined as follows:
    $$
    w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \in N{i} \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
    $$

These weights are determined by the isotropic Gaussian kernel (also known as the heat kernel), with scale parameter $\sigma$. Denote the resulting weighted graph by $\mathcal{G}$. If $\mathcal{G}$ is not connected, apply step 3 to each connected subgraph.

  1. Spectral embedding. Let $\mathbf{D}=\left(d_{i j}\right)$ be an $(n \times n)$ diagonal matrix with diagonal elements $d_{i i}=\sum_{j \in N_{i}} w_{i j}=\left(\mathbf{W} 1_{n}\right){i}, i=1,2, \ldots, n$. The $(n \times n)$ symmetric matrix $\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{W}$ is known as the graph Laplacian for the graph $\mathcal{G}$. Let $\mathbf{y}=\left(y{i}\right)$ be an $n$-vector. Then, $\mathbf{y}^{\tau} \mathbf{L} \mathbf{y}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{i j}\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}$, so that $\mathbf{L}$ is nonnegative definite.

When data are uniformly sampled from a low-dimensional manifold $\mathcal{M}$ of $\Re^{r}$, the graph Laplacian $\mathbf{L}=\mathbf{L}{n, \sigma}$ (considered as a function of $n$ and $\sigma$ ) can be regarded as a discrete approximation to the continuous Laplace-Beltrami operator $\Delta{\mathcal{M}}$ defined on the manifold $\mathcal{M}$, and converges to $\Delta_{\mathcal{M}}$ as $\sigma \rightarrow 0$ and $n \rightarrow \infty$. Furthermore, when the data are sampled from an arbitrary probability distribution $P$ on the manifold $\mathcal{M}$, then, under certain conditions on $\mathcal{M}$ and $P$, the graph Laplacian converges to a weighted version of $\Delta_{\mathcal{M}}$ (Belkin and Niyogi, 2008).

The $(t \times n)$-matrix $\mathbf{Y}=\left(\mathbf{y}{1}, \cdots, \mathbf{y}{n}\right)$, which is used to embed the graph $\mathcal{G}$ into the low-dimensional space $\Re^{t}$, where $\mathbf{y}{i}$ yields the embedding coordinates of the $i$ th point, is determined by minimizing the objective function, $$ \sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{\mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}
$$
In other words, we seek the solution,
$$
\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr}\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.
$$
where we restrict $\mathbf{Y}$ such that $\mathbf{Y D Y} \mathbf{Y}^{\tau}=\mathbf{I}{t}$ to prevent a collapse onto a subspace of fewer than $t-1$ dimensions. The solution is given by the generalized eigenequation, $\mathbf{L v}=\lambda \mathbf{D v}$, or, equivalently, by finding the eigenvalues and eigenvectors of the matrix $\widehat{\mathbf{W}}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W D} \mathbf{D}^{-1 / 2}$. The smallest eigenvalue, $\lambda{n}$, of $\widehat{\mathbf{W}}$ is zero. If we ignore the smallest eigenvalue (and its corresponding constant eigenvector $\mathbf{v}{n}=1{n}$ ), then the best embedding solution in $\Re^{t}$ is similar to that given by LLE; that is, the rows of $\widehat{\mathbf{Y}}$ are the eigenvectors,
$$
\widehat{\mathbf{Y}}=\left(\widehat{\mathbf{y}}{1}, \cdots, \widehat{\mathbf{y}}{n}\right)=\left(\mathbf{v}{n-1}, \cdots, \mathbf{v}{n-t}\right)^{\tau},
$$
corresponding to the next $t$ smallest eigenvalues, $\lambda_{n-1} \leq \cdots \leq \lambda_{n-t}$, of $\widehat{\mathbf{W}}$.

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流形学习代写

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我们接下来讨论一些在非线性流形学习研究中被证明具有创新性的算法技术:ISOMAP、局部线性嵌入、拉普拉斯特征图、扩散图、黑森特征图以及许多不同版本的非线性 PCA。这些算法中的每一个的目标都是恢复完整的低维

未知非线性流形的表示,米,嵌入在一些高维空间中,其中保留邻域结构很重要米. 什么时候米是高度非线性的,例如图左面板中的 S 形流形1.1,这些算法优于通常的线性技术。非线性流形学习方法强调简单性并避免可能产生局部最小值的优化问题。

假设我们有一个有限的随机数据点样本,\left{\mathbf{y}{i}\right}\left{\mathbf{y}{i}\right},从平滑吨多维流形米由测地距离给出的度量d米;见部分1.2.4. 然后这些点被平滑的地图非线性嵌入ψ进入高维输入空间X=ℜr(吨≪r)欧几里得度量|. |X. 这种嵌入为我们提供了输入数据\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}. 例如,在图的右侧面板中1.1,我们随机生成了 20,000 个三维点,均匀地分布在左侧面板中显示的二维 S 形曲线的表面上。因此,ψ:米→X是嵌入图,是流形上的一个点,是∈米, 可以表示为是=φ(X),X∈X, 在哪里φ=ψ−1. 目标是恢复米并找到地图的隐式表示ψ(因此,恢复\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right)\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right),仅给定输入数据点\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}在X.

每个算法计算吨′维估计,\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}, 的吨维流形数据,\left{\mathbf{y}{i}\right}\left{\mathbf{y}{i}\right}, 对于一些吨′. 这种重建被认为是成功的,如果吨′=吨, 的真实(未知)维度米. 在实践中,吨′很可能会太大。因为我们需要一个低维解,我们只保留前两个或三个坐标向量,并将这些向量的对应元素相互绘制以产生n二维或三维空间中的点。出于所有实际目的,这种显示通常足以识别下面的歧管。

我们在这里讨论的大多数非线性流形学习算法都基于关于如何恢复未知非线性流形的不同哲学。但是,它们每个都包含一个三步方法(NONLINEAR PCA 除外)。第一步和第三步对所有算法都是通用的:第一步结合每个数据点的邻域信息,构建以数据点为顶点的加权图,第三步是谱嵌入步骤,涉及(n×n)-特征方程计算。第二步是特定于算法的,采用加权邻域图并将其转换为适合谱嵌入步骤的输入。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Isomap

等距特征映射(或 IsOMAP)算法(Tenenbaum、de Silva 和 Langford,2000 年)假设平滑流形米是一个凸区域ℜ吨(吨≪r)并且嵌入ψ:米→X是等距。这个假设有两个关键因素:

  • 等距:测地线距离在地图下是不变的ψ. 对于流形上的任意一对点,是,是′∈米,这些点之间的测地线距离等于它们对应坐标之间的欧几里得距离,X,X′∈X; IE,
    d米(是,是′)=|X−X′|X
    在哪里是=φ(X)和是′=φ(X′).
  • 凸性:流形米是一个凸子集ℜ吨.
    IsomaP 认为米成为可能以多种方式(例如,通过折叠或扭曲)中的任何一种方式扭曲的凸面区域。所谓的瑞士卷,2它是一个平面二维矩形子流形ℜ3, 就是这样一个例子;见图1.2. 实证研究表明,IsOMAP 适用于本质平坦的子流形X=ℜr看起来像卷起的纸或“打开”的歧管,例如打开的盒子或打开的圆柱体。但是,如果卷中有任何孔洞,IsOMAP 的性能就不会很好,因为这会违反凸性假设。对于某些类型的情况,等距假设似乎是合理的,但在许多其他情况下,凸性假设可能过于严格(Donoho 和 Grimes,2003b)。

IsomAP 使用等距和凸性假设来形成多维尺度 (MDS) 的非线性泛化。回想一下,MDS 寻找一个低维子空间,在其中嵌入输入数据,同时保留欧几里德点间距离(参见第 1.3.2 节)。不幸的是,在处理弯曲区域时,在 MDS 中使用欧几里德距离往往会产生较差的结果。IsOMAP 遵循一般 MDS 哲学,试图保留底层非线性流形的全局几何特性,它通过近似流形上的所有成对测地线距离(即两点之间的最短路径的长度)来做到这一点。从这个意义上说,IsOMAP 为流形学习提供了一种全局方法。

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拉普拉斯特征图算法(Belkin 和 Niyogi,2002)也包括三个步骤。Laplacian eigenmap 算法的第一步和第三步分别与 LLE 算法的第一步和第三步非常相似。

  1. 最近邻搜索。修复一个整数ķ或一个ε>0. 每个数据点的邻域是对称定义的:对于ķ-邻里ñ一世ķ点的X一世, 让Xj∈ñ一世ķ当且当X一世∈ñjķ; 同样,对于一个ε-邻里ñ一世ε, 让Xj∈ñ一世和当且当|X一世−Xj|<ε,其中范数是欧几里得范数。一般来说,让ñ一世表示邻域X一世.
  2. 加权邻接矩阵。让在=(在一世j)是对称的(n×n)加权邻接矩阵定义如下:
    w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{ x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \在 N{i} \ 0, & \text { 否则 }\end{cases}w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{ x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \在 N{i} \ 0, & \text { 否则 }\end{cases}

这些权重由各向同性高斯核(也称为热核)确定,具有尺度参数σ. 将生成的加权图表示为G. 如果G未连接,将步骤 3 应用于每个连接的子图。

  1. 光谱嵌入。让D=(d一世j)豆(n×n)具有对角元素的对角矩阵d一世一世=∑j∈ñ一世在一世j=(在1n)一世,一世=1,2,…,n. 这(n×n)对称矩阵大号=D−在被称为图 Laplacian for the graphG. 让是=(是一世)豆n-向量。然后,是τ大号是=12∑一世=1n∑j=1n在一世j(是一世−是j)2, 以便大号是非负定的。

当数据从低维流形中均匀采样时米的ℜr, 图拉普拉斯算子大号=大号n,σ(被认为是n和σ) 可以看作是连续 Laplace-Beltrami 算子的离散近似Δ米在歧管上定义米, 并收敛到Δ米作为σ→0和n→∞. 此外,当从任意概率分布中采样数据时磷在歧管上米, 那么, 在特定条件下米和磷,图拉普拉斯收敛到加权版本Δ米(贝尔金和 Niyogi,2008 年)。

这(吨×n)-矩阵是=(是1,⋯,是n),用于嵌入图G进入低维空间ℜ吨, 在哪里是一世产生嵌入坐标一世第一点,通过最小化目标函数来确定,\sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{ \mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}\sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{ \mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}
换句话说,我们寻求解决方案,
\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr }\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr }\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.
我们限制的地方是这样是D是是τ=一世吨以防止崩溃到小于的子空间吨−1方面。解由广义特征方程给出,大号在=λD在,或者,等价地,通过找到矩阵的特征值和特征向量在^=D−1/2在DD−1/2. 最小的特征值,λn, 的在^为零。如果我们忽略最小的特征值(及其对应的常数特征向量在n=1n),那么最好的嵌入解决方案ℜ吨与 LLE 给出的相似;也就是说,行是^是特征向量,
是^=(是^1,⋯,是^n)=(在n−1,⋯,在n−吨)τ,
对应下一个吨最小特征值,λn−1≤⋯≤λn−吨, 的在^.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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