机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|SCl 7314

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|SCl 7314

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Curves and Geodesics

If the Riemannian manifold $(\mathcal{M}, g)$ is connected, it is a metric space with an induced topology that coincides with the underlying manifold topology. We can, therefore, define a function $d^{\mathcal{M}}$ on $\mathcal{M}$ that calculates distances between points on $\mathcal{M}$ and determines its structure.

Let $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ be any two points on the Riemannian manifold $\mathcal{M}$. We first define the length of a (one-dimensional) curve in $\mathcal{M}$ that joins $\mathbf{p}$ to $\mathbf{q}$, and then the length of the shortest such curve.

A curve in $\mathcal{M}$ is defined as a smooth mapping from an open interval $\Lambda$ (which may have infinite length) in $\Re$ into $\mathcal{M}$. The point $\lambda \in \Lambda$ forms a parametrization of the curve. Let $c(\lambda)=\left(c_{1}(\lambda), \cdots, c_{d}(\lambda)\right)^{\top}$ be a curve in $\Re^{d}$ parametrized by $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. If we take the coordinate functions, $\left{c_{h}(\lambda)\right}$, of $c(\lambda)$ to be as smooth as needed (usually, $\mathcal{C}^{\infty}$, functions that have any number of continuous derivatives), then we say that $c$ is a smooth curve. If $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ for all $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, the curve $c$ is said to be closed. The velocity (or tangent) vector at the point $\lambda$ is given by
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_{1}^{\prime}(\lambda), \cdots, c_{d}^{\prime}(\lambda)\right)^{\tau},
$$
where $c_{j}^{\prime}(\lambda)=d c_{j}(\lambda) / d \lambda$, and the “speed” of the curve is
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^{d}\left[c_{j}^{\prime}(\lambda)\right]^{2}\right}^{1 / 2}
$$
Distance on a smooth curve $c$ is given by arc-length, which is measured from a fixed point $\lambda_{0}$ on that curve. Usually, the fixed point is taken to be the origin, $\lambda_{0}=0$, defined to be one of the two endpoints of the data. More generally, the arc-length $L(c)$ along the curve $c(\lambda)$ from point $\lambda_{0}$ to point $\lambda_{1}$ is defined as
$$
L(c)=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{1}}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda .
$$

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning

Most statistical theory and applications that deal with the problem of dimensionality reduction are focused on linear dimensionality reduction and, by extension, linear manifold learning. A linear manifold can be visualized as a line, a plane, or a hyperplane, depending upon the number of dimensions involved. Data are observed in some high-dimensional space and it is usually assumed that a lower-dimensional linear manifold would be the most appropriate summary of the relationship between the variables. Although data tend not to live on a linear manifold, we view the problem as having two kinds of motivations. The first such motivation is to assume that the data live close to a linear manifold, the distance off the manifold determined by a random error (or noise) component. A second way of thinking about linear manifold learning is that a linear manifold is really a simple linear approximation to a more complicated type of nonlinear manifold that would probably be a better fit to the data. In both scenarios, the intrinsic dimensionality of the linear manifold is taken to be much smaller than the dimensionality of the data.

Identifying a linear manifold embedded in a higher-dimensional space is closely related to the classical statistics problem of linear dimensionality reduction. The recommended way of accomplishing linear dimensionality reduction is to create a reduced set of linear transformations of the input variables. Linear transformations are projection methods, and so the problem is to derive a sequence of low-dimensional projections of the input data that possess some type of optimal properties.

There are many techniques that can be used for either linear dimensionality reduction or linear manifold learning. In this chapter, we describe only two linear methods, namely, principal component analysis and multidimensional scaling. The earliest projection method was principal component analysis (dating back to 1933), and this technique has become the most popular dimensionality-reducing technique in use today. A related method is that of multidimensional scaling (dating back to 1952), which has a very different motivation. An adaptation of multidimensional scaling provided the core element of the IsOMAP algorithm for nonlinear manifold learning.

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Curves and Geodesics

如果黎曼流形 $(\mathcal{M}, g)$ 是连通的,它是一个度量空间,其诱导拓扑与底层流形拓扑一致。因此,我们可以定义一 个函数 $d^{\mathcal{M}}$ 上 $\mathcal{M}$ 计算点之间的距离 $\mathcal{M}$ 并确定其结构。
让 $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ 是黎曼流形上的任意两点 $\mathcal{M}$. 我们首先定义一条 (一维) 曲线的长度 $\mathcal{M}$ 加入 $\mathbf{p}$ 至 $\mathbf{q}$, 然后是最短的 这种曲线的长度。
中的一条曲线 $\mathcal{M}$ 定义为开区间的平滑映射 $\Lambda$ (可能有无限长) 在 $\Re$ 进入 $\mathcal{M}$. 重点 $\lambda \in \Lambda$ 形成曲线的参数化。让 $c(\lambda)=\left(c_{1}(\lambda), \cdots, c_{d}(\lambda)\right)^{\top}$ 成为曲线 $\Re^{d}$ 参数化 $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. 如果我们取坐标函数,
lleft{c_{h}(Nambda)\right },的 $c(\lambda)$ 尽可能平滑(通常, $\mathcal{C}^{\infty}$ ,具有任意数量的连续导数的函数),那么我们说 $c$ 是 一条平滑曲线。如果 $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ 对所有人 $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, 曲线 $c$ 据说是关闭的。该点的速度 (或切线) 矢 量 $\lambda$ 是 (谁) 给的
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_{1}^{\prime}(\lambda), \cdots, c_{d}^{\prime}(\lambda)\right)^{\tau}
$$
在哪里 $c_{j}^{\prime}(\lambda)=d c_{j}(\lambda) / d \lambda$ ,曲线的“速度”为
平滑曲线上的距离 $c$ 由弧长给出,从一个固定点测量 $\lambda_{0}$ 在那条曲线上。通常,以不动点为原点, $\lambda_{0}=0$ ,定义为 数据的两个端点之一。更一般地,弧长 $L(c)$ 沿着曲线 $c(\lambda)$ 从点 $\lambda_{0}$ 指向 $\lambda_{1}$ 定义为
$$
L(c)=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{1}}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda .
$$

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning

大多数处理降维问题的统计理论和应用都集中在线性降维上,并通过扩展,线性流形学习。线性流形可以可视化为线、平面或超平面,具体取决于所涉及的维数。数据是在一些高维空间中观察到的,通常假设低维线性流形是变量之间关系的最合适的总结。尽管数据往往不存在于线性流形上,但我们认为这个问题有两种动机。第一个这样的动机是假设数据靠近线性流形,流形的距离由随机误差(或噪声)分量确定。关于线性流形学习的第二种思考方式是,线性流形实际上是对更复杂类型的非线性流形的简单线性近似,可能更适合数据。在这两种情况下,线性流形的内在维度都被认为远小于数据的维度。

识别嵌入在高维空间中的线性流形与线性降维的经典统计问题密切相关。完成线性降维的推荐方法是创建一组输入变量的简化线性变换。线性变换是投影方法,因此问题是推导出具有某种最佳属性的输入数据的一系列低维投影。

有许多技术可用于线性降维或线性流形学习。在本章中,我们只描述了两种线性方法,即主成分分析和多维缩放。最早的投影方法是主成分分析(可追溯到 1933 年),该技术已成为当今最流行的降维技术。一种相关的方法是多维缩放(可追溯到 1952 年),其动机非常不同。多维缩放的适应为非线性流形学习提供了 IsOMAP 算法的核心元素。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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