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光学是研究光的行为和属性的物理学分支，包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。
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物理代写|光学代写Optics代考|Numerical Implementation
The topology optimization problems are solved by a gradient-based iterative procedure, where the gradient information is derived by the self-consistent adjoint sensitivity. The flowchart for iterative solution of the optimization problems is shown in Fig. 2.2. The iterative procedure includes the following steps: (1) initialize the design variable and optimization parameters; $(2)$ solve the wave equations with the current design variable and compute the value of the design objective; (3) solve the adjoint equations based on the solution of the wave equations; (4) compute the adjoint derivative of the design objective; (5) update the design variable using the method of moving asymptotes [20]; (6) do postprocessing, if the stopping criteria are satisfied, or else return to the step (2).
In this solution procedure, the filter radius $r$ of the PDE filter in Eq. $2.10$ is set to be $2 / 15$ of the incident wavelength; the threshold parameter $\xi$ in Eq. $2.12$ is set to be
$0.5$; the initial value of the projection parameter $\beta$ is set to be 1 and it is doubled after every fixed number of iterations until the preset maximal value of $2^{10}$ is reached. The above steps are implemented iteratively until the stopping criteria are satisfied, and the stopping criteria are specified to be the maximal iteration number and the change of the objective values in five consecutive iterations satisfying
$$
\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{4}\left|J_{k-i}-J_{k-i-1}\right| /\left|J_{k}\right| \leq \varepsilon, \beta \geq 2^{10}
$$
in the $k$ th iteration, where $J_{k}$ is the objective value computed in the $k$ th iteration; $\varepsilon$ is the tolerance chosen to be $1 \times 10^{-3}$.
In the iterative procedure, the numerical solution of PDEs are implemented based on finite element method $[10,13]$. The two-dimensional wave equation, the filter equation and the corresponding adjoint equations are solved using the standard Galerkin finite element method; the three-dimensional wave equation and the corresponding adjoint equation are solved using the edge element-based finite element method with linear edge elements $[14,15]$. It is noted that the original wave equations $2.1$ and $2.2$ are solved instead of the coupled equations for the split variables, because the sole destination of splitting operation is to derive the Fréchet differentiability during the adjoint analysis.
In the optimization procedures for the two-dimensional problems, the magnetic field, design variable and filtered design variable are interpolated using linear node elements (Fig. 2.3a); and the projected design variable is interpolated using zerothorder discontinuous elements (Fig. 2.3b). In the optimization procedure for the threedimensional problems, the electric field is interpolated using linear edge elements (Fig. 2.4a); the design variable and filtered design variable is interpolated using linear nodal elements (Fig. 2.4b); the filtered design variable is converted to piecewise form by interpolating the piecewise design variable using zeroth-order discontinuous elements (Fig. $2.4 \mathrm{c}$ ), where $P_{n}$ in Eq. $2.11$ is set to be the space taken up by the finite elements.
物理代写|光学代写Optics代考|Optical Cloak
Optical cloak has been investigated using topology optimization by minimizing the scattering field energy around the cloak $[1,2]$. In these researches, the sensitivity analysis is implemented based on the Gâteaux differentiability of the conjugate operator. The infinite space is truncated by the first-order scattering boundary condition. As specified in [10], the first-order scattering boundary condition has reflection, and this causes the relatively lower computational accuracy compared with truncating the infinite space by PMLs.
In this section, the optical cloak is investigated using the sensitivity analysis approach with Fréchet differentiability, and the PMLs are used to achieve the scattering boundary. The cloaked object is set to be a two-dimensional circular or threedimensional spherical conductor with high conductivity $\left(\varepsilon_{r}=-1 \times 10^{4} j\right.$ ). The incident wave is set to be the uniform plane wave in free space, with frequency $1 \times 10^{9} \mathrm{~Hz}$ $(\lambda=0.3 \mathrm{~m}$ ), wave vector in positive $x$-axis, and polarization in $z$-axis.
The computational domain is set to be square or cube with side length equal to 6 -fold of the incident wavelength respectively for the two- and three-dimensional cases; and it is enclosed by the PMLs with thickness equal to $1 / 3$-fold of the incident wavelength. The conductor is localized at the center of the computational domain, and its radius of the conductor is $3 / 4$-fold of the incident wavelength. The design domain is the two-dimensional ring or three-dimensional shell around the conductor, and the exterior radius of the design domain is $5 / 2$-fold of the incident wavelength. The material of the cloak is the dielectrics with relative permittivity $2.25$.
The objective is to minimize the normalized scattering electric field energy in the exterior of the cloak:
$$
J=\frac{1}{J_{0}} \int_{\Omega \backslash\left(\Omega_{d} \cup \Omega_{c}\right)} \mathbf{E}{s} \cdot \mathbf{E}{s}^{*} \mathrm{~d} \Omega
$$
where $J_{0}$ is the norm square of the scattering electric field in the exterior of the design domain fully filled by the dielectrics; $\Omega$ is the computational domain; $\Omega_{d}$ is the design domain; $\Omega_{c}$ is the cloaked conductor domain; $\mathbf{E}{s}$ is the scattering electric field, calculated to be $\frac{1}{j \varepsilon{r} \varepsilon_{0} \omega} \nabla \times\left(0,0, H_{s z}\right)$ in the two-dimensional cases.
The computational domains are discretized by $80 \times 80$ square elements and $80 \times 80 \times 80$ cube elements respectively for the two- and three-dimensional cases, where 5 layers of elements are used to discretize the PMLs. For the two-dimensional case, the topology optimization problem is sketched in Fig. 2.5a. By numerically implementing the topology optimization procedure with the derived self-consistent adjoint sensitivity, the two- and three-dimensional dielectric cloaks are derived as shown in Figs. $2.5 \mathrm{~b}$ and 2.6a. Convergent histories of the cost functions are plotted in Figs. $2.5 \mathrm{c}$ and $2.6 \mathrm{~b}$. Snapshots for the evolutionary progress of the structural topology are shown in Figs. $2.5 \mathrm{~d}$ and $2.6 \mathrm{c}$. From the convergent histories of the cost functions and snapshots for the evolutionary progress of the structural topology, one can confirm the robustness of the self-consistent adjoint sensitivity-based optimization procedure for dielectric material topology. In the initial of the numerical procedure, the design domains are fully filled by the used dielectrics; the conductor enclosed with the dielectrics scatters the incident field as shown in Fig. 2.7a with the corresponding scattering field energy shown in Fig. $2.7 \mathrm{c}$, for the two-dimensional case; and the scattering field and corresponding scattering field energy are shown in Fig. 2.8a and c, for the three-dimensional case.
物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint Analysis of Topology Optimization Problem
Based on the Lagrangian multiplier-based adjoint method, the augmented Lagrangian for the topology optimization problem in Eq. $2.21$ can be derived as
$$
\begin{aligned}
\hat{J}=& \int_{\Omega} A\left(H_{s z}^{R}, H_{s z}^{I}, \nabla H_{s z}^{R}, \nabla H_{s z}^{l}, \gamma_{p} ; \gamma\right)-\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R} \nabla\left(H_{s z}^{R}+H_{i z}^{R}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{R} \ &+\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{I} \nabla\left(H_{s z}^{l}+H_{i z}^{l}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{R}+k{0}^{2} \mu_{r}\left(H_{s z}^{R}+H_{i z}^{R}\right) \hat{H}{s z}^{R} \ &-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{I} \nabla\left(H_{s z}^{R}+H_{i z}^{R}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{I}-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{R} \nabla\left(H_{s z}^{I}+H_{i z}^{l}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{I} \ &+k{0}^{2} \mu_{r}\left(H_{s z}^{l}+H_{i z}^{I}\right) \hat{H}{s z}^{I} \mathrm{~d} \Omega-\int{\Omega_{p}}\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R}\left(\mathbf{T} \nabla H_{s z}^{R}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{R}\right)|\mathbf{T}|^{-1} \ &+\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{I}\left(\mathbf{T} \nabla H_{s z}^{R}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{I}\right)|\mathbf{T}|^{-1}-k{0}^{2} \mu_{r} H_{s z}^{R} \hat{H}{s z}^{R}|\mathbf{T}| \ &-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{I}\left(\mathbf{T} \nabla H_{s z}^{l}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{R}\right)|\mathbf{T}|^{-1}+\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{R}\left(\mathbf{T} \nabla H_{s z}^{I}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{I}\right)|\mathbf{T}|^{-1} \ &-k{0}^{2} \mu_{r} H_{s z}^{l} \hat{H}{s z}^{l}|\mathbf{T}| \mathrm{d} \Omega+\int{\Omega_{d}} r^{2} \nabla \gamma_{f} \cdot \nabla \hat{\gamma}{f}+\gamma{f} \hat{\gamma}{f}-\gamma \hat{\gamma}{f} \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$
where $\hat{H}{s z}^{R} \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega{P}\right)$ with $\hat{H}{s z}^{R}=0$ on $\Gamma{D}, \hat{H}{s z}^{l} \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega{P}\right)$ with $\hat{H}{s z}^{I}=0$ on $\Gamma{D}$, and $\hat{\gamma}{f} \in \mathscr{H}\left(\Omega{d}\right)$ are the adjoint variables of $H_{s z}^{R} \in \mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right), H_{s z}^{I} \in$ $\mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right)$, and $\gamma_{f} \in \mathscr{H}\left(\Omega_{d}\right)$ respectively; $\mathscr{H}\left(\Omega \cup \Omega_{P}\right)$ and $\mathscr{H}\left(\Omega_{d}\right)$ are the first-order Hilbert spaces for the real functions defined on $\Omega \cup \Omega_{P}$ and $\Omega_{d}$ respectively; $\mathbf{T}$ is the transformation matrix in Eq. 2.6. The first-order variational of the augmented Lagrangian to the field variables and design variable is
$$
\begin{aligned}
\delta \hat{J}=& \int_{\Omega} \frac{\partial A}{\partial H_{s z}^{R}} \delta H_{s z}^{R}+\frac{\partial A}{\partial H_{s z}^{I}} \delta H_{s z}^{I}+\frac{\partial A}{\partial \nabla H_{s z}^{R}} \cdot \nabla \delta H_{s z}^{R}+\frac{\partial A}{\partial \nabla H_{s z}^{l}} \cdot \nabla \delta H_{s z}^{I} \mathrm{~d} \Omega \
&+\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{V_{n}} \int_{P_{n}} \frac{\partial A}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{c}} \delta \gamma_{f} \mathrm{~d} \Omega+\int_{\Omega_{d}} \frac{\partial A}{\partial \gamma} \delta \gamma \mathrm{d} \Omega+\int_{\Omega}-\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R} \nabla \delta H_{s z}^{R} \cdot \nabla \hat{H}_{s z}^{R}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&+\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{l} \nabla \delta H_{s z}^{I} \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{R}+k{0}^{2} \mu_{r} \delta H_{s z}^{R} \hat{H}{s z}^{R}-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{l} \nabla \delta H_{s z}^{R} \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{I}-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{R} \nabla \delta H_{s z}^{I} \
&\cdot \nabla \hat{H}{s z}^{l}+k{0}^{2} \mu_{r} \delta H_{s z}^{l} \hat{H}{s z}^{l} \mathrm{~d} \Omega-\int{\Omega_{p}}\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R}\left[\mathbf{T}\left(\nabla \delta H_{s z}^{R}\right)\right] \cdot\left[\mathbf{T}\left(\nabla \hat{H}{s z}^{R}\right)\right]|\mathbf{T}|^{-1} \ &+\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{l}\left[\mathbf{T}\left(\nabla \delta H_{s z}^{R}\right)\right] \cdot\left[\mathbf{T}\left(\nabla \hat{H}{s z}^{l}\right)\right]|\mathbf{T}|^{-1}-k{0}^{2} \mu_{r} \delta H_{s z}^{R} \hat{H}{s z}^{R}|\mathbf{T}| \ &-\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{l}\left(\mathbf{T} \nabla \delta H_{s z}^{l}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{R}\right)|\mathbf{T}|^{-1}+\left(\varepsilon{r}^{-1}\right)^{R}\left(\mathbf{T} \nabla \delta H_{s z}^{l}\right) \cdot\left(\mathbf{T} \nabla \hat{H}{s z}^{l}\right)|\mathbf{T}|^{-1} \ &-k{0}^{2} \mu_{r} \delta H_{s z}^{l} \hat{H}{s z}^{l}|\mathbf{T}| \mathrm{d} \Omega+\int{\Omega_{d}} r^{2} \nabla \delta \gamma_{f} \cdot \nabla \hat{\gamma}{f}+\delta \gamma{f} \hat{\gamma}{f}-\delta \gamma \hat{\gamma}{f} \mathrm{~d} \Omega \
&+\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{V_{n}} \int_{P_{n}}-\frac{\partial\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R}}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \nabla\left(H_{s z}^{R}+H_{i z}^{R}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{R} \delta \gamma{f} \
&+\frac{\partial\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{I}}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \nabla\left(H_{s z}^{l}+H_{i z}^{l}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{R} \delta \gamma{f}-\frac{\partial\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{l}}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \nabla\left(H_{s z}^{R}+H_{i z}^{R}\right) \
&\cdot \nabla \hat{H}{s z}^{l} \delta \gamma{f}-\frac{\partial\left(\varepsilon_{r}^{-1}\right)^{R}}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \nabla\left(H_{s z}^{l}+H_{i z}^{l}\right) \cdot \nabla \hat{H}{s z}^{l} \delta \gamma{f} \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$
where $\delta H_{s z}^{R}, \delta H_{s z}^{1}, \delta \gamma_{f}$ and $\delta \gamma$ are the first-order variational of $H_{s z}^{R}, H_{s z}^{l}, \gamma_{f}$ and $\gamma$ respectively.
光学代考
物理代写|光学代写Optics代考|Numerical Implementation
拓扑优化问题通过基于梯度的迭代过程来解决，其中梯度信息由自洽的伴随灵敏度导出。优化问题的迭代求解流程图如图 2.2 所示。迭代过程包括以下步骤： (1) 初始化设计变量和优化参数；(2)用当前设计变量求解波动方程，计算设计目标值；(3) 基于波动方程的解解伴随方程；(4) 计算设计目标的伴随导数；(5) 使用移动渐近线的方法更新设计变量[20]；(6)如果满足停止条件，则进行后处理，否则返回步骤(2)。
在这个求解过程中，过滤器半径r方程中的 PDE 滤波器。2.10设置为2/15入射波长；阈值参数X在等式。2.12设置为
0.5; 投影参数的初始值b设置为1，每固定迭代次数加倍，直到达到预设的最大值210到达了。上述步骤迭代执行直到满足停止条件，停止条件指定为最大迭代次数和连续五次迭代中目标值的变化满足
15∑一世=14|Ĵķ−一世−Ĵķ−一世−1|/|Ĵķ|≤e,b≥210
在里面ķ第一次迭代，其中Ĵķ是计算的目标值ķ第一次迭代；e是选择的公差1×10−3.
在迭代过程中，偏微分方程的数值求解是基于有限元法实现的[10,13]. 采用标准Galerkin有限元法求解二维波动方程、滤波方程及相应的伴随方程；三维波动方程和相应的伴随方程是使用基于边缘元的有限元法求解线性边缘元[14,15]. 注意到原始波动方程2.1和2.2求解，而不是拆分变量的耦合方程，因为拆分操作的唯一目的是在伴随分析期间导出 Fréchet 可微性。
在二维问题的优化程序中，磁场、设计变量和滤波设计变量使用线性节点元素进行插值（图 2.3a）；并且使用零阶不连续元素对投影设计变量进行插值（图 2.3b）。在三维问题的优化过程中，使用线性边缘元素对电场进行插值（图 2.4a）；设计变量和过滤设计变量使用线性节点元素进行插值（图 2.4b）；通过使用零阶不连续元素对分段设计变量进行插值，将过滤后的设计变量转换为分段形式（图 3）。2.4C）， 在哪里磷n在等式。2.11设置为有限元占据的空间。
物理代写|光学代写Optics代考|Optical Cloak
通过最小化斗篷周围的散射场能量，使用拓扑优化研究了光学斗篷[1,2]. 在这些研究中，灵敏度分析是基于共轭算子的 Gâteaux 可微性进行的。无限空间被一阶散射边界条件截断。如 [10] 中所述，一阶散射边界条件具有反射，与 PML 截断无限空间相比，这导致计算精度相对较低。
在本节中，使用具有 Fréchet 可微性的灵敏度分析方法研究光学斗篷，并使用 PML 来实现散射边界。隐身物体设置为二维圆形或三维球形导体，具有高导电性(er=−1×104j）。入射波设为自由空间中的均匀平面波，频率为1×109 H和 (λ=0.3 米)，正波向量X轴和极化和-轴。
对于二维和三维情况，计算域设置为正方形或立方体，边长分别等于入射波长的 6 倍；它被厚度等于的 PML 包围1/3- 入射波长的倍数。导体位于计算域的中心，其导体半径为3/4- 入射波长的倍数。设计域为导体周围的二维环或三维壳，设计域的外半径为5/2- 入射波长的倍数。斗篷的材料是具有相对介电常数的电介质2.25.
目标是最小化斗篷外部的归一化散射电场能量：
Ĵ=1Ĵ0∫Ω∖(Ωd∪ΩC)和s⋅和s∗ dΩ
在哪里Ĵ0是完全被电介质填充的设计域外部散射电场的范数平方；Ω是计算域；Ωd是设计域；ΩC是隐形导体域；和s是散射电场，计算为1jere0ω∇×(0,0,Hs和)在二维情况下。
计算域被离散化为80×80方形元素和80×80×80立方体元素分别用于二维和三维情况，其中 5 层元素用于离散化 PML。对于二维情况，拓扑优化问题如图 2.5a 所示。通过用导出的自洽伴随灵敏度数值实现拓扑优化过程，得到二维和三维介电斗篷，如图 1 和图 2 所示。2.5 b和 2.6a。成本函数的收敛历史绘制在图 1 和图 2 中。2.5C和2.6 b. 结构拓扑进化过程的快照如图 1 和图 2 所示。2.5 d和2.6C. 从成本函数的收敛历史和结构拓扑演化进程的快照中，可以确认介电材料拓扑的自洽伴随灵敏度优化过程的稳健性。在数值程序的初始阶段，设计域被使用的电介质完全填充；被电介质包围的导体会散射入射场，如图 2.7a 所示，相应的散射场能量如图 2.7a 所示。2.7C, 对于二维情况；对于三维情况，散射场和相应的散射场能量如图 2.8a 和 c 所示。
物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint Analysis of Topology Optimization Problem
基于拉格朗日乘子的伴随方法，增广拉格朗日用于等式中的拓扑优化问题。2.21可以导出为
Ĵ^=∫Ω一个(Hs和R,Hs和我,∇Hs和R,∇Hs和l,Cp;C)−(er−1)R∇(Hs和R+H一世和R)⋅∇H^s和R +(er−1)我∇(Hs和l+H一世和l)⋅∇H^s和R+ķ02μr(Hs和R+H一世和R)H^s和R −(er−1)我∇(Hs和R+H一世和R)⋅∇H^s和我−(er−1)R∇(Hs和我+H一世和l)⋅∇H^s和我 +ķ02μr(Hs和l+H一世和我)H^s和我 dΩ−∫Ωp(er−1)R(吨∇Hs和R)⋅(吨∇H^s和R)|吨|−1 +(er−1)我(吨∇Hs和R)⋅(吨∇H^s和我)|吨|−1−ķ02μrHs和RH^s和R|吨| −(er−1)我(吨∇Hs和l)⋅(吨∇H^s和R)|吨|−1+(er−1)R(吨∇Hs和我)⋅(吨∇H^s和我)|吨|−1 −ķ02μrHs和lH^s和l|吨|dΩ+∫Ωdr2∇CF⋅∇C^F+CFC^F−CC^F dΩ
在哪里H^s和R∈H(Ω∪Ω磷)和H^s和R=0上ΓD,H^s和l∈H(Ω∪Ω磷)和H^s和我=0上ΓD， 和C^F∈H(Ωd)是伴随变量Hs和R∈H(Ω∪Ω磷),Hs和我∈ H(Ω∪Ω磷)， 和CF∈H(Ωd)分别;H(Ω∪Ω磷)和H(Ωd)是定义的实函数的一阶希尔伯特空间Ω∪Ω磷和Ωd分别;吨是方程中的变换矩阵。2.6. 增广拉格朗日对场变量和设计变量的一阶变分是
dĴ^=∫Ω∂一个∂Hs和RdHs和R+∂一个∂Hs和我dHs和我+∂一个∂∇Hs和R⋅∇dHs和R+∂一个∂∇Hs和l⋅∇dHs和我 dΩ +∑n=1ñ1在n∫磷n∂一个∂Cp∂Cp∂CCdCF dΩ+∫Ωd∂一个∂CdCdΩ+∫Ω−(er−1)R∇dHs和R⋅∇H^s和R
+(er−1)l∇dHs和我⋅∇H^s和R+ķ02μrdHs和RH^s和R−(er−1)l∇dHs和R⋅∇H^s和我−(er−1)R∇dHs和我 ⋅∇H^s和l+ķ02μrdHs和lH^s和l dΩ−∫Ωp(er−1)R[吨(∇dHs和R)]⋅[吨(∇H^s和R)]|吨|−1 +(er−1)l[吨(∇dHs和R)]⋅[吨(∇H^s和l)]|吨|−1−ķ02μrdHs和RH^s和R|吨| −(er−1)l(吨∇dHs和l)⋅(吨∇H^s和R)|吨|−1+(er−1)R(吨∇dHs和l)⋅(吨∇H^s和l)|吨|−1 −ķ02μrdHs和lH^s和l|吨|dΩ+∫Ωdr2∇dCF⋅∇C^F+dCFC^F−dCC^F dΩ +∑n=1ñ1在n∫磷n−∂(er−1)R∂Cp∂Cp∂C和∇(Hs和R+H一世和R)⋅∇H^s和RdCF +∂(er−1)我∂Cp∂Cp∂C和∇(Hs和l+H一世和l)⋅∇H^s和RdCF−∂(er−1)l∂Cp∂Cp∂C和∇(Hs和R+H一世和R) ⋅∇H^s和ldCF−∂(er−1)R∂Cp∂Cp∂C和∇(Hs和l+H一世和l)⋅∇H^s和ldCF dΩ
在哪里dHs和R,dHs和1,dCF和dC是的一阶变分Hs和R,Hs和l,CF和C分别。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。