物理代写|光学代写Optics代考|UNITS 24

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支,包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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物理代写|光学代写Optics代考|UNITS 24

物理代写|光学代写Optics代考|Metalens with Optical Vortices

Ultrathin and flat metalenses, for diffraction-limited focusing of light, work in the visible spectrum and have been achieved based on metasurfaces [30], which are composed of sub-wavelength-spaced phase shifters at an interface, and allowing for unprecedented control over the properties of light $[31,51]$. Metalenses are less bulky than conventional lenses, and are more practical and less expensive to manufacture [51]. Their features permit potential applications in microscopes, telescopes, cameras, smartphones, and other devices.

The essence of a lens is to pointwise modify the phase of an incident plane wave to form a focus. There are generally three methods to introduce phase compensation mechanisms into a lens design: shaping the surface of a piece of homogenous

material, such as polishing a piece of glass to have a convex surface; use of diffractive structures to engineer the wavefront, as is done with a Fresnel zone plate [21]; using material inhomogeneities to modify the phase change in space, for instance, a gradient index (GRIN) lens [18]. A metalens applies similar phase compensation mechanisms to metamaterials to bring a plane wave to a focus.

Optical metalenses have been designed based on arrays of optical antennas [51], arrays of nanoholes [27], optical masks [15, 26, 43], and nanoslits [48]. Additionally, flat metamaterial-based hyperlenses and superlenses have been used to achieve sub-diffraction focusing $[8,34,39,46]$. These metalenses are designed based on the concept of an optical phase discontinuity, where the design of the metalens is obtained by imposing a spherical phase profile on the metasurface, and the control of wavefront is achieved via a phase shift experienced by the radiation as it scatters off the optically thin arrays of subwavelength-spaced resonators comprising the metasurface. As specified in [30], these techniques do not provide the ability for complete control of the optical wavefront. Recently, a dielectric nanofin array-based metalens has been proposed in [30], followed by a plasmonic nanoparticle-based metalens with a distribution of nanoparticles determined by an evolutionary approach [25]. These metalenses are composed of arrays of nanostructures (i.e., nanofins or nanoparticles) in large number, which potentially leads to manufacturing challenges.

This section shows that it is possible to predict a new type of convex-like metalens using the topology optimization method, which will achieve diffraction-limited focusing for the visible spectrum. Instead of imposing a phase profile on the metasurface, the inverse design method is used to find a geometrical configuration of the metalens with rotational symmetry, by maximizing the focused energy at the focal spot corresponding to a specified diameter and numerical aperture (NA) of the metalens. Topology optimization is utilized to implement an inverse design procedure. In the derived metalens, a titanium dioxide material distribution with concentric-nanoring configuration focuses the plane wave by modifying the phase of the incident wave to form a spherical wavefront, which converges to the desired focal spot. In this viewpoint, a topology optimization problem that maximizes the focused energy at the desired focal spot is equivalent to imposing a phase profile on the metasurface. By maximizing the localized energy deposition in a specified region, it is shown that the method can achieve compact axicon-like designs, with highly confined line-shaped foci.

物理代写|光学代写Optics代考|Analyzing and Solving

The topology optimization problem in Eq. $3.58$ is solved using a gradient-based iterative procedure, where the gradient of the inverse design objective is used to iteratively evolve the design variable. The variational problem is analyzed using the adjoint method [22], with the adjoint derivative of the electric field density at $\mathbf{p}{f}$ derived to be $$ \delta J=h \int{-r_{0}}^{r_{0}}-\tilde{\rho}^{a} \delta \rho \mathrm{d} r
$$
where $\bar{\rho}^{a}$ is the adjoint variable of $\bar{\rho} ; \delta \rho$ is the first-order variational of $\rho$. The following weak forms of adjoint equations are solved for the derivation of $\tilde{\rho}^{a}$
Find $H_{s}^{a}$ with $\operatorname{Re}\left(H_{s}^{a}\right) \in \mathscr{H}(\Omega)$ and $\operatorname{Im}\left(H_{s}^{a}\right) \in \mathscr{H}(\Omega)$, such that
$$
\begin{aligned}
&\int_{\Omega_{c}} \delta\left(\mathbf{p}-\mathbf{p}{f}\right) 2 \mathbf{E}^{} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial \nabla H{s}} \cdot \nabla \phi+\varepsilon_{r}^{-1} \nabla H_{s}^{a} \cdot \nabla \phi-k_{0}^{2} \mu_{r} H_{s}^{a} \phi \mathrm{d} v \
&+\int_{\Omega_{P M B}} \varepsilon_{r}^{-1}\left(\frac{\partial \mathbf{p}^{\prime}}{\partial \mathbf{p}} \nabla H_{s}^{a}\right) \cdot\left(\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \mathbf{p}} \nabla \phi\right)\left|\frac{\partial \mathbf{p}^{\prime}}{\partial \mathbf{p}}\right|^{-1} \
&-k_{0}^{2} \mu_{r} H_{s}^{a} \phi\left|\frac{\partial \mathbf{p}^{\prime}}{\partial \mathbf{p}}\right| \mathrm{d} v=0, \forall \phi \in \mathscr{H}(\Omega)
\end{aligned}
$$
Find $H_{s}^{a}$ with $\bar{\rho}^{a} \in \mathscr{H}\left(\Omega_{d}^{r}\right)$, such that
$$
\int_{-r_{0}}^{r_{0}}\left(r_{f}^{2} \frac{\mathrm{d} \bar{\rho}^{a}}{\mathrm{~d} r} \frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} r}+\bar{\rho}^{a} \psi+\frac{\psi}{h} \int_{-h}^{0} \sum_{n=1}^{N} S_{\hat{p}{u}} \mathrm{~d} z\right) \mathrm{d} r=0, \forall \psi \in \mathscr{H}\left(\Omega{d}^{r}\right)
$$
where $H_{s}^{a}$ is the adjoint variable of $H_{s} ; \mathscr{H}(\Omega)$ and $\mathscr{H}\left(\Omega_{d}^{r}\right)$ are respectively the first order Hilbert space defined on $\Omega$ and $\Omega_{d}^{r} ; \Omega_{d}^{r}=\left(-r_{0}, r_{0}\right)$ is the projection of $\Omega_{d}$ on the $r$-axis; $\Omega_{P M L s}$ is the union of the PMLs; $\operatorname{Re}()$ and Im (*) are the operators

used to extract the real and imaginary parts of a complex variable; and $S_{\hat{\rho}{n}}$ is defined to be $$ S{\hat{\rho}{u}}\left(\Omega{n}\right)=\left{\begin{array}{l}
\frac{1}{V_{\Omega_{n}}} \int_{\Omega_{n}} \operatorname{Re}\left(\frac{\partial \varepsilon_{r}^{-1}}{\partial \bar{\rho}} \frac{\partial \bar{\rho}}{\partial \hat{\rho}{n}} \nabla H\right) \cdot \operatorname{Re}\left(\nabla H{s}^{a}\right)- \
\operatorname{Im}\left(\frac{\partial \varepsilon_{r}^{-1}}{\partial \bar{\rho}} \frac{\partial \bar{\rho}}{\partial \hat{\rho}{n}} \nabla H\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\nabla H{s}^{a}\right) \mathrm{d} v, \text { in } \Omega_{n} \
0, \text { in } \Omega_{d} \backslash \Omega_{n}
\end{array}\right.
$$
After adjoint analysis, the inverse design problem is solved iteratively using a numerical method. In our setup, the equations and corresponding adjoint equations are solved using the finite element method. The design variable is evolved using the method of moving asymptotes [47].

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The same methodology can be used to predict lenses with other focal distributions. For example, instead of a spot, an extended beam focus of axicon lenses can be targeted. Typically, axicons are conically shaped lenses that can focus light and create hollow Bessel beams $[35,36,42]$. The inverse design objective for an axiconlike metalens is to maximize the minimal electric field density on the central line of the desired focal beam
$$
J(\mathbf{E})=\min {\mathbf{p} f \in I} \int{\Omega_{f}}|\mathbf{E}|^{2} \delta\left(\mathbf{p}-\mathbf{p}{f}\right) \mathrm{d} v $$ where $\mathbf{p}{f} \in \Omega_{f}$ is the point on the central line of the desired focal beam; $I$ is the central line segment of the desired focal beam. For an incident wavelength of $700 \mathrm{~nm}$ and a design domain radius of $9 \mu \mathrm{m}$, axicon-like metalenses are derived in Fig. 3.27ac with zoomed views shown in Fig. $3.27 \mathrm{~d}$, where the NA of the metalens was set to $0.7$ and the length of the desired focal beam was set to be a factor $0=, 4=$, and 8 -fold of the incident wavelength. The normalized electric field energy density in the focal plane localized at the center of the focal beam is plotted in Fig. $3.27 \mathrm{e}$. And the focusing efficiencies of the derived designs in Fig. 3.27a-c are respectively $37.2 \%, 32.8 \%$, and $26.6 \%$, where longer focal beam corresponds to larger FWHM and lower focusing efficiency. The corresponding electric field energy distribution and real part magnetic field distributions are shown in Fig.3.28, where the field phase of the propagating wave after the metalenses are indicated by the black curves in Fig.3.28d-f. In Fig.3.27, the metalens with focal length equal to 0-fold of the incident wavelength, is identical to a convex-like metalens with a focal spot. From the field distributions of the inversely designed metalenses, one can conclude that the focusing efficiency of the derived metalenses decrease along with an increase in focal length, and the parabolic phase distributions are shaped in the zone after the metalenes to achieve a focal beam.

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光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Metalens with Optical Vortices

超薄和平坦的超透镜,用于光的衍射限制聚焦,在可见光谱中工作,并且基于超表面 [30] 实现,超表面由界面处的亚波长间隔移相器组成,并允许前所未有的控制光的属性[31,51]. 超透镜比传统镜头体积更小,并且更实用且制造成本更低[51]。它们的特性允许在显微镜、望远镜、相机、智能手机和其他设备中的潜在应用。

透镜的本质是逐点修改入射平面波的相位以形成焦点。将相位补偿机制引入镜头设计中通常有三种方法:

材料,例如将一块玻璃抛光成凸面;使用衍射结构来设计波前,就像使用菲涅耳波带板 [21] 所做的那样;使用材料不均匀性来修改空间中的相变,例如,梯度折射率 (GRIN) 透镜 [18]。超透镜将类似的相位补偿机制应用于超材料以将平面波带到焦点。

光学元透镜的设计基于光学天线阵列 [51]、纳米孔阵列 [27]、光学掩模 [15、26、43] 和纳米狭缝 [48]。此外,基于平面超材料的超透镜和超透镜已被用于实现亚衍射聚焦[8,34,39,46]. 这些超透镜是基于光学相位不连续的概念设计的,其中超透镜的设计是通过在超表面上施加球形相位分布来获得的,并且波前的控制是通过辐射在散射时经历的相移来实现的离开构成超表面的亚波长间隔谐振器的光学薄阵列。如 [30] 中所述,这些技术不提供完全控制光波前的能力。最近,在 [30] 中提出了一种基于介电纳米鳍阵列的元透镜,然后是一种基于等离子体纳米粒子的元透镜,其纳米粒子的分布由进化方法确定 [25]。这些超透镜由大量纳米结构(即纳米鳍或纳米颗粒)阵列组成,

本节表明,使用拓扑优化方法可以预测一种新型的凸状元透镜,这将实现可见光谱的衍射极限聚焦。不是在超表面上施加相位轮廓,而是使用逆向设计方法通过最大化对应于指定直径和数值孔径(NA)的焦点处的聚焦能量来找到具有旋转对称性的元透镜的几何配置。元透镜。拓扑优化用于实现逆向设计过程。在衍生的超透镜中,具有同心纳米结构的二氧化钛材料分布通过改变入射波的相位来聚焦平面波以形成球面波前,该球面波前会聚到所需的焦点。在这个观点上,最大化所需焦点处的聚焦能量的拓扑优化问题等效于在超表面上施加相位分布。通过最大化特定区域的局部能量沉积,表明该方法可以实现紧凑的轴锥状设计,具有高度受限的线形焦点。

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方程中的拓扑优化问题。3.58使用基于梯度的迭代过程求​​解,其中逆向设计目标的梯度用于迭代演化设计变量。使用伴随方法[22]分析变分问题,其中电场密度的伴随导数为pF导出为

dĴ=H∫−r0r0−ρ~一个dρdr
在哪里ρ¯一个是的伴随变量ρ¯;dρ是的一阶变分ρ. 求解下列弱形式的伴随方程以推导ρ~一个
寻找Hs一个和回覆⁡(Hs一个)∈H(Ω)和在里面⁡(Hs一个)∈H(Ω), 这样

∫ΩCd(p−pF)2和⋅∂和∂∇Hs⋅∇φ+er−1∇Hs一个⋅∇φ−ķ02μrHs一个φd在 +∫Ω磷米乙er−1(∂p′∂p∇Hs一个)⋅(∂p∂p∇φ)|∂p′∂p|−1 −ķ02μrHs一个φ|∂p′∂p|d在=0,∀φ∈H(Ω)
寻找Hs一个和ρ¯一个∈H(Ωdr), 这样

∫−r0r0(rF2dρ¯一个 drdψdr+ρ¯一个ψ+ψH∫−H0∑n=1ñ小号p^在 d和)dr=0,∀ψ∈H(Ωdr)
在哪里Hs一个是的伴随变量Hs;H(Ω)和H(Ωdr)分别是定义在上的一阶希尔伯特空间Ω和Ωdr;Ωdr=(−r0,r0)是的投影Ωd在r-轴;Ω磷米大号s是 PML 的联合体;回覆⁡()和 Im (*) 是运算符

用于提取复变量的实部和虚部;和小号ρ^n定义为 $$ S{\hat{\rho}{u}}\left(\Omega{n}\right)=\left{

1在Ωn∫Ωn回覆⁡(∂er−1∂ρ¯∂ρ¯∂ρ^n∇H)⋅回覆⁡(∇Hs一个)− 在里面⁡(∂er−1∂ρ¯∂ρ¯∂ρ^n∇H)⋅在里面⁡(∇Hs一个)d在, 在 Ωn 0, 在 Ωd∖Ωn\正确的。
$$
经过伴随分析,逆设计问题使用数值方法迭代求解。在我们的设置中,方程和相应的伴随方程是使用有限元法求解的。设计变量是使用移动渐近线的方法演化的[47]。

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相同的方法可用于预测具有其他焦点分布的镜片。例如,可以瞄准轴锥透镜的扩展光束焦点,而不是光点。通常,轴棱镜是锥形透镜,可以聚焦光线并产生空心贝塞尔光束[35,36,42]. 轴锥超透镜的逆设计目标是最大化所需聚焦光束中心线上的最小电场密度

Ĵ(和)=分钟pF∈我∫ΩF|和|2d(p−pF)d在在哪里pF∈ΩF是所需焦点光束中心线上的点;我是所需焦点光束的中心线段。对于入射波长700 n米和设计域半径9μ米,轴锥状超透镜在图 3.27ac 中得到,放大视图如图 3.27ac 所示。3.27 d,其中元透镜的 NA 设置为0.7并且所需焦束的长度被设置为一个因素0=,4=, 和 8 倍的入射波长。位于焦束中心的焦平面中的归一化电场能量密度绘制在图 3 中。3.27和. 图 3.27ac 中派生设计的聚焦效率分别为37.2%,32.8%, 和26.6%,其中较长的焦束对应于较大的 FWHM 和较低的聚焦效率。相应的电场能量分布和实部磁场分布如图3.28所示,其中超透镜后传播波的场相位由图3.28df中的黑色曲线表示。在图 3.27 中,焦距等于入射波长 0 倍的元透镜与具有焦斑的凸面元透镜相同。从逆向设计的超透镜的场分布可以得出结论,衍生超透镜的聚焦效率随着焦距的增加而降低,并且在超透镜之后的区域中形成抛物线相位分布以实现聚焦光束。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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