物理代写|光学代写Optics代考|UNITS 24

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光学是研究光的行为和属性的物理学分支,包括它与物质的相互作用以及使用或探测它的仪器的构造。光学通常描述可见光、紫外光和红外光的行为。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|光学代写Optics代考|UNITS 24

物理代写|光学代写Optics代考|Electric Field Formulation

In three-dimensional cases, electric field-based descriptions are preferred when the optical performance is evaluated based on values of the electric field. In this case, Maxwell’s equations can be reduced into the electric field-based wave equation
$$
\left{\begin{array}{l}
\nabla \times\left[\mu_{r}^{-1} \nabla \times\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right)\right]-k_{0}^{2} \varepsilon_{r}\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right)=\mathbf{0}, \text { in } \Omega \
\nabla \cdot\left[\varepsilon_{r}\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right)\right]=0, \text { in } \Omega
\end{array}\right.
$$
where the scattering field formulation is also used with the electric field $\mathbf{E}$ split into two parts, i.e., the incident wave $\mathbf{E}{i}$ and scattering field $\mathbf{E}{s}$; the second equation is the divergence-free condition of the electric displacement; the incident wave is the wave propagation in free space, satisfying the divergence-free condition $\nabla \cdot \mathbf{E}{i}=0$. The boundary conditions for Eq. $3.14$ include a first-order adsorbing condition, and perfect magnetic and electric conditions, which are respectively expressed as $$ \left{\begin{array}{l} \mathbf{n} \times\left(\mu{r}^{-1} \nabla \times \mathbf{E}{s}\right)-j k{0} \sqrt{\mu_{r}^{-1} \varepsilon_{r}} \mathbf{n} \times\left(\mathbf{E}{s} \times \mathbf{n}\right)=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma{a} \
\mathbf{n} \times\left[\mu_{r}^{-1} \nabla \times\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right)\right]=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma_{P M C} \
\mathbf{n} \times\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right)=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma_{P E C}
\end{array}\right.
$$
Being different from the magnetic field-based description case presented in Sect. 3.1.1, the divergence-free condition in Eq. $3.14$ must consider the gradient of the relative permittivity, because the permittivity gradient always arises in the topology optimization procedure. The permittivity gradient could result in the inapplicability of numerical solution methods, e.g., edge element-based finite element method,

which can otherwise fulfil the divergence-free condition of the field in piecewise homogeneous media [28].

To circumvent the above problem, the computational domain $\Omega$ is assumed to be piecewise homogeneous. Under the assumption of piecewise homogeneity, the relative permittivity is a constant distribution in every piecewise domain, i.e.,
$$
\varepsilon_{r}\left(\Omega_{n}\right)=\text { Const }(n=1,2 \ldots . N)
$$
where $\Omega_{n}$ is a homogeneous piece of the computational domain, satisfying
$$
\Omega=\bigcup_{n=1}^{N} \Omega_{n}, \Omega_{p} \bigcap \Omega_{q}=\emptyset(p \neq q, \text { and } p, q=1,2 \ldots N)
$$
with $N$ representing the number of homogeneous pieces included in the computational domain. Based on the assumed piecewise homogeneity, the divergence-free condition in Eq. $3.14$ can be transformed into
$$
\nabla \cdot \mathbf{E}_{s}=0, \text { in } \Omega
$$

物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint Analysis for Electric Field-Based Topology

The Lagrangian multiplier-based adjoint sensitivity analysis of variational problem in Eq. $3.23$ is implemented as follows. The functional space and trace operators of Eq. $3.14$ are similarly defined as that in Sect. 3.1.2, except that
$$
\mathscr{V}{\mathbf{E}}=\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}(\operatorname{curl} ; \Omega) \mid \nabla \cdot \mathbf{u}=0, \text { in } \Omega ; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text { on } \Gamma{P E C}\right}
$$
According to the Kurash-Kuhn-Tucker condition of the PDE constrained optimization problem [22], the adjoint equations can be obtained as

Find $\mathbf{E}{s a} \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}$ such that
$\int_{\Omega} \frac{\partial A}{\partial \mathbf{E}{s}} \cdot \phi+\frac{\partial A}{\partial \nabla \times \mathbf{E}{s}} \cdot(\nabla \times \phi)+\mu_{r}^{-1}\left(\nabla \times \overline{\mathbf{E}}{s a}\right) \cdot(\nabla \times \boldsymbol{\phi})-k{0}^{2} \varepsilon_{r} \overline{\mathbf{E}}{s a} \cdot \boldsymbol{\phi} \mathrm{d} \Omega$ $+\int{\Gamma_{a}} j k_{0} \sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}^{-1}}\left(\mathbf{n} \times \overline{\mathbf{E}}{s a} \times \mathbf{n}\right) \cdot(\mathbf{n} \times \phi \times \mathbf{n})+\frac{\partial B}{\partial \mathbf{E}{s}} \cdot \phi \mathrm{d} \Gamma$
$+\int_{\Gamma_{P M C}} \frac{\partial B}{\partial \mathbf{E}{s}} \cdot \phi \mathrm{d} \Gamma=0, \forall \phi \in \mathscr{V}{\mathbf{E}}$
$\int_{\Omega} r^{2} \nabla \gamma_{f a} \cdot \nabla \phi+\gamma_{f a} \phi+A_{\gamma_{\epsilon}} \phi-S_{\gamma_{c}} \phi \mathrm{d} \Omega=0, \forall \phi \in \mathscr{H}(\Omega)$,
where $A_{\gamma_{\epsilon}}(\Omega)$ is defined as
$$
A_{\gamma_{e}}=\sum_{n=1}^{N} A_{\gamma_{n e}}\left(\Omega_{n}\right)
$$
with
$$
A_{\gamma_{a e}}\left(\Omega_{n}\right)=\left{\begin{array}{l}
\frac{1}{V_{\Omega_{n}}} \int_{\Omega_{n}} \frac{\partial A}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}} \mathrm{~d} \Omega, \forall \mathbf{x} \in \Omega_{n} \
0, \forall \mathbf{x} \in \Omega \backslash \Omega_{n}
\end{array}\right.
$$
and $S_{\gamma_{c}}(\Omega)$ is defined to be
$$
S_{\gamma_{e}}=\sum_{n=1}^{N} S_{\gamma_{n, e}}\left(\Omega_{n}\right)
$$
with
$$
S_{\gamma_{s e}}\left(\Omega_{n}\right)=\left{\begin{array}{l}
\frac{1}{V_{\Omega_{n}}} \int_{\Omega_{n}} k_{0}^{2} \frac{\partial \varepsilon_{r}}{\partial \gamma_{p}} \frac{\partial \gamma_{p}}{\partial \gamma_{e}}\left(\mathbf{E}{s}+\mathbf{E}{i}\right) \cdot \overline{\mathbf{E}}{s a} \mathrm{~d} \Omega, \quad \forall \mathbf{x} \in \Omega{n} \
0, \forall \mathbf{x} \in \Omega \backslash \Omega_{n}
\end{array}\right.
$$
The adjoint derivative of the cost functional can be derived as
$$
\delta J=\int_{\Omega} \operatorname{Re}\left(\frac{\partial A}{\partial \gamma}-\bar{\gamma}_{f a}\right) \delta \gamma \mathrm{d} \Omega
$$

物理代写|光学代写Optics代考|Numerical implementation

In the wave equations and corresponding adjoint equations, a divergence-free condition needs to be satisfied for both the state variable and the adjoint variable. Therefore,

the edge element-based finite element method is utilized to solve the wave equations and adjoint equations, where brick elements are used to discretize the computational domain and simultaneously ensure the divergence-free condition [28]. For the Helmholtz filter, the filter Eq. $3.4$ and its adjoint equation are solved using the standard Galerkin finite element method.

The topology optimization method for three-dimensional optical waves is implemented by a gradient-based iterative procedure, where the gradient information is derived by sensitivity analysis as demonstrated in Sects. 3.1.2 and 3.1.4 respectively corresponding to the variational problems in Eqs. $3.7$ and 3.23. The flowcharts for iteratively solving the variational problems (Eqs.3.7 and 3.23) respectively corresponding to the magnetic field formulation and electric field formulation are respectively shown in Fig. 3.1a and b. The iterative procedure includes the following steps: (a) solve the wave equations with the current design variable; (b) solve the adjoint equations based on the solution of the wave equations; (c) compute the adjoint derivative of the design objective; and (d) update the design variable using the method of moving asymptotes [47].

During the solving procedure, the filter radius $r$ of the Helmholtz filter in Eq.3.4 is set to be the size of the finite elements used to discretize the computational domain; the threshold parameter $\xi$ in Eqs. $3.5$ and $3.21$ is set to be $0.5$; the initial value of the projection parameter $\beta$ is set to be 1 and it is doubled after every fixed number of iterations until the preset maximal value $2^{10}$ is reached (eleven cycles). The above steps are implemented iteratively until the stopping criterion is satisfied, specified to be the change of the objective values in five consecutive iterations satisfying
$$
\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{4}\left|J_{k-i}-J_{k-i-1}\right| /\left|J_{k}\right| \leq \varepsilon, \beta \geq 2^{10}
$$
in the $k$ th iteration, where $J_{k}$ is the objective value computed in the $k$ th iteration; $\varepsilon$ is the tolerance chosen to be $1 \times 10^{-3}$. Because the iteration number is set to be 40 before doubling the projection parameter, the maximal iterative number is set to be $440 .$

In the optimization procedure for magnetic field described optical waves, the magnetic field is interpolated using linear edge elements (Fig. 3.2a); the design variable and filtered design variable is interpolated using linear nodal element (Fig. 3.2b). In the optimization procedure for electric field described optical waves, the electric field is interpolated using linear edge elements (Fig. 3.2a); the design variable and filtered design variable is interpolated using linear nodal elements (Fig. 3.2b); the filtered design variable is converted to piecewise form by interpolating the piecewise design variable using zeroth-order discontinuous elements (Fig. 3.2c), where $\Omega_{n}$ in Eq. $3.20$ is set to be the space taken up by the brick elements.

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光学代考

物理代写|光学代写Optics代考|Electric Field Formulation

在三维情况下,当基于电场值评估光学性能时,优选基于电场的描述。在这种情况下,麦克斯韦方程可以简化为基于电场的波动方程
$$
\left{

∇×[μr−1∇×(和s+和一世)]−ķ02er(和s+和一世)=0, 在 Ω ∇⋅[er(和s+和一世)]=0, 在 Ω\正确的。

在H和r和吨H和sC一个吨吨和r一世nGF一世和ldF○r米在l一个吨一世○n一世s一个ls○在s和d在一世吨H吨H和和l和C吨r一世CF一世和ld$和$spl一世吨一世n吨○吨在○p一个r吨s,一世.和.,吨H和一世nC一世d和n吨在一个在和$和一世$一个ndsC一个吨吨和r一世nGF一世和ld$和s$;吨H和s和C○nd和q在一个吨一世○n一世s吨H和d一世在和rG和nC和−Fr和和C○nd一世吨一世○n○F吨H和和l和C吨r一世Cd一世spl一个C和米和n吨;吨H和一世nC一世d和n吨在一个在和一世s吨H和在一个在和pr○p一个G一个吨一世○n一世nFr和和sp一个C和,s一个吨一世sF是一世nG吨H和d一世在和rG和nC和−Fr和和C○nd一世吨一世○n$∇⋅和一世=0$.吨H和b○在nd一个r是C○nd一世吨一世○nsF○r和q.$3.14$一世nCl在d和一个F一世rs吨−○rd和r一个ds○rb一世nGC○nd一世吨一世○n,一个ndp和rF和C吨米一个Gn和吨一世C一个nd和l和C吨r一世CC○nd一世吨一世○ns,在H一世CH一个r和r和sp和C吨一世在和l是和Xpr和ss和d一个s\剩下{

n×(μr−1∇×和s)−jķ0μr−1ern×(和s×n)=0, 上 Γ一个 n×[μr−1∇×(和s+和一世)]=0, 上 Γ磷米C n×(和s+和一世)=0, 上 Γ磷和C\正确的。
$$
与 Sect 中基于磁场的描述案例不同。3.1.1,等式中的无散条件。3.14必须考虑相对介电常数的梯度,因为介电常数梯度总是出现在拓扑优化过程中。介电常数梯度可能导致数值求解方法的不适用,例如基于边缘单元的有限元方法,

否则可以满足分段均匀介质中场的无散度条件[28]。

为了规避上述问题,计算域Ω假设是分段齐次的。在分段同质性的假设下,相对介电常数在每个分段域中是一个常数分布,即

er(Ωn)= 常量 (n=1,2….ñ)
在哪里Ωn是计算域的同质部分,满足

Ω=⋃n=1ñΩn,Ωp⋂Ωq=∅(p≠q, 和 p,q=1,2…ñ)
和ñ表示计算域中包含的同质部分的数量。基于假设的分段同质性,等式中的无散条件。3.14可以转化为

∇⋅和s=0, 在 Ω

物理代写|光学代写Optics代考|Adjoint Analysis for Electric Field-Based Topology

方程中变分问题的基于拉格朗日乘数的伴随敏感性分析。3.23实现如下。方程的函数空间和迹算子。3.14与 Sect 中的定义类似。3.1.2,除了

\mathscr{V}{\mathbf{E}}=\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}(\operatorname{curl} ; \Omega) \mid \nabla \cdot \mathbf{u}= 0, \text { 在} \Omega ; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text {on} \Gamma{PEC}\right}\mathscr{V}{\mathbf{E}}=\left{\mathbf{u} \in \mathscr{H}(\operatorname{curl} ; \Omega) \mid \nabla \cdot \mathbf{u}= 0, \text { 在} \Omega ; \mathbf{n} \times \mathbf{u}=\mathbf{0}, \text {on} \Gamma{PEC}\right}
根据 PDE 约束优化问题 [22] 的 Kurash-Kuhn-Tucker 条件,可以得到伴随方程为

寻找和s一个∈在和这样
∫Ω∂一个∂和s⋅φ+∂一个∂∇×和s⋅(∇×φ)+μr−1(∇×和¯s一个)⋅(∇×φ)−ķ02er和¯s一个⋅φdΩ +∫Γ一个jķ0erμr−1(n×和¯s一个×n)⋅(n×φ×n)+∂乙∂和s⋅φdΓ
+∫Γ磷米C∂乙∂和s⋅φdΓ=0,∀φ∈在和
∫Ωr2∇CF一个⋅∇φ+CF一个φ+一个Cεφ−小号CCφdΩ=0,∀φ∈H(Ω),
其中一个Cε(Ω)定义为

一个C和=∑n=1ñ一个Cn和(Ωn)

$$ A_{\ gamma_
{ae}}\left(\Omega_{n}\right)=\left{

1在Ωn∫Ωn∂一个∂Cp∂Cp∂C和 dΩ,∀X∈Ωn 0,∀X∈Ω∖Ωn\正确的。

一个nd$小号CC(Ω)$一世sd和F一世n和d吨○b和
S_{\gamma_{e}}=\sum_{n=1}^{N} S_{\gamma_{n, e}}\left(\Omega_{n}\right)

在一世吨H
S_{\gamma_{se}}\left(\Omega_{n}\right)=\left{

1在Ωn∫Ωnķ02∂er∂Cp∂Cp∂C和(和s+和一世)⋅和¯s一个 dΩ,∀X∈Ωn 0,∀X∈Ω∖Ωn\正确的。

吨H和一个dj○一世n吨d和r一世在一个吨一世在和○F吨H和C○s吨F在nC吨一世○n一个lC一个nb和d和r一世在和d一个s
\delta J=\int_{\Omega} \operatorname{Re}\left(\frac{\partial A}{\partial \gamma}-\bar{\gamma}_{fa}\right) \delta \gamma \数学{d} \欧米茄
$$

物理代写|光学代写Optics代考|Numerical implementation

在波动方程和相应的伴随方程中,状态变量和伴随变量都需要满足无散条件。所以,

基于边缘元的有限元方法用于求解波动方程和伴随方程,其中砖元用于离散计算域并同时确保无散度条件[28]。对于亥姆霍兹滤波器,滤波器方程。3.4及其伴随方程使用标准 Galerkin 有限元方法求解。

三维光波的拓扑优化方法是通过基于梯度的迭代过程实现的,其中梯度信息是通过灵敏度分析得出的,如 Sects 所示。3.1.2 和 3.1.4 分别对应方程中的变分问题。3.7和 3.23。分别对应于磁场公式和电场公式的变分问题(方程 3.7 和 3.23)的迭代求解流程图分别如图 3.1a 和 b 所示。迭代过程包括以下步骤: (a) 用当前设计变量求解波动方程;(b) 在求解波动方程的基础上求解伴随方程;(c) 计算设计目标的伴随导数;(d) 使用移动渐近线的方法更新设计变量[47]。

在求解过程中,滤波器半径rEq.3.4 中的亥姆霍兹滤波器的大小被设置为用于离散计算域的有限元的大小;阈值参数X在方程式中。3.5和3.21设置为0.5; 投影参数的初始值b设置为1,每固定迭代次数加倍,直到预设最大值210达到(十一个周期)。上述步骤迭代执行,直到满足停止准则,指定为连续五次迭代中目标值的变化满足

15∑一世=14|Ĵķ−一世−Ĵķ−一世−1|/|Ĵķ|≤e,b≥210
在里面ķ第一次迭代,其中Ĵķ是计算的目标值ķ第一次迭代;e是选择的公差1×10−3. 因为在投影参数加倍之前迭代次数设置为40,所以最大迭代次数设置为440.

在描述光波的磁场的优化过程中,使用线性边缘元素对磁场进行插值(图 3.2a);设计变量和过滤设计变量使用线性节点元素进行插值(图 3.2b)。在电场描述光波的优化过程中,使用线性边缘元素对电场进行插值(图 3.2a);设计变量和过滤设计变量使用线性节点元素进行插值(图 3.2b);通过使用零阶不连续元素对分段设计变量进行插值,将过滤后的设计变量转换为分段形式(图 3.2c),其中Ωn在等式。3.20设置为砖元素占用的空间。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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