物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Elements of relativistic point mechanics

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宇宙学是天文学的一个分支,涉及宇宙的起源和演变,从大爆炸到今天,再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Elements of relativistic point mechanics

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Elements of relativistic point mechanics

In the formulation of SR in terms of the Minkowski geometry, the three-dimensional quantities appearing in nonrelativistic mechanics are replaced by their four-dimensional counterparts, which leads to a more elegant, economic and transparent form of many equations. In particular, for the motion of a material point or an element of a medium, the 4-velocity is introduced
$$
u^{\mu}=\frac{d x^{\mu}}{d s}=\left(\gamma, \frac{\gamma v^{i}}{c}\right), \quad \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}
$$
Here, $d s=c d t \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ is an element of the interval along the particle trajectory. It is easy to verify that the vector defined in this way is normalized
$$
u_{\mu} u^{\mu}=1 .
$$

The 4 -acceleration of a material point or an element of a medium is
$$
a^{\mu}=\frac{d u^{\mu}}{d s}=\frac{\gamma}{c} \frac{d u^{\mu}}{d t} .
$$
Due to the normalization condition (2.15), the 4-velocity and 4-acceleration are mutually orthogonal: $a_{\mu} u^{\mu}=0$.

The 4-momentum of a material point (particle) is, by definition,
$$
p^{\mu}=m u^{\mu}=(E / c, \vec{p}), \quad m=\text { const },
$$
where $m$ is the particle rest mass, characterizing its inertial properties, $\vec{p}=\left(p^{i}\right)$ is the spatial momentum, and $E=\gamma m c^{2}$ is the particle energy in a given IRF. By definition, the squared momentum is $p^{2}=p_{\mu} p^{\mu}=m^{2} c^{2}$.

At small velocities, $v \ll c$, expanding the expression for the energy in powers of $v / c$, we obtain
$$
E \approx m c^{2}+\frac{m v^{2}}{2}+O\left(v^{2} / c^{2}\right) .
$$
From this relation follows a conclusion of utmost importance: that the total energy of a particle includes, in addition to the classical kinetic energy, the rest energy $m c^{2}$.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — coordinate

So far we have been using Minkowski coordinates in Minkowski space-time, where the metric has the form (2.2), and the inertial reference frames (IRFs) connected with these coordinates. However, nothing prevents us from describing physical processes in the framework of SR with the aid of other coordinate systems, even remaining in a fixed RF in Minkowski space. For example, one can introduce spherical or cylindrical coordinates.

In the most general cases, both in Minkowski space-time and in any Riemannian space-time, and wider, in any differentiable manifold, arbitrary coordinate transformations $x^{\mu} \mapsto y^{\mu}$ are possible, with arbitrary functions
$$
x^{\mu}=x^{\mu}\left(y^{0}, y^{1}, y^{2}, y^{3}\right)
$$

In the physical space-time, the coordinate transformations (2.24) lead in general to changes in the reference frame.

One should note that a relationship between the notions of coordinate systems and reference frames is rather a subtle question which sometimes leads to confusions and misconceptions. It is therefore reasonable to explain in which sense we shall use these notions.
In this discussion, we will mostly follow the books $[542,578,579]$. To begin with, omitting a number of mathematical details, we can say that a Riemannian space (or space-time) is a differentiable manifold of arbitrary dimension $D$ equipped with a metric $g_{\mu \nu}$ of arbitrary signature. If it is positive-definite [the signature $(++\cdots+)]$, the space is called proper Riemannian, in other cases it is called pseudo-Riemannian, but the prefix “pseudo” is often omitted.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Covariance, maps and atlases

Let us present the general definition of a coordinate system in a differentiable manifold. The definitions of all the corresponding notions and their detailed and rigorous discussions can be found in textbooks and monographs on global differential geometry, such as, e.g., $[285,375,461]$.

A coordinate system in a certain region $U$ of a differentiable manifold of class $k$ and dimension $D$ (or, which is the same, a map of the region $U$ ) is a one-to-one map of the region $U$ to a certain region of the arithmetic space $\mathbb{R}^{D}$. The region $U$ itself is then called the range of the map or the range of the coordinate system.

Thus each point $x$ of the region $U$ is put into correspondence with an ordered set of $D$ real numbers, which numbers are called the coordinates of this point. Moreover, if $U_{1}$ and $U_{2}$ are ranges of two maps and $x \in U_{1} \cap U_{2}$, then the coordinates of the point $x$ in one of these maps are functions of class $C^{k}$ of the coordinates of the point $x$ in the other map, with a nonzero Jacobian of the transformation. Most frequently, manifolds of the class $C^{\infty}$ are considered, with infinitely differentiable transformation functions.

The global properties of a manifold are described by sets of maps whose union of ranges covers the whole manifold (atlases). In other words, a union of ranges of maps belonging to a certain atlas is identical to the whole manifold.

Thus a coordinate system in a manifold and, in particular, in a four-dimensional Lorentzian space-time is simply a way to supply each point (event) with a certain “address” or label in the form of a set of numbers, and different ways of addressing must be related to each other by smooth transformations.

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宇宙学代考

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Elements of relativistic point mechanics

在根据 Minkowski 几何的 SR 公式中,出现在非相对论力学中的 3 维量被它们的 4 维对应物取代,这导致许多方程的形式更加优雅、经济和透明。特别地,对于质点或介质元素的运动,引入了 4 速度

在μ=dXμds=(C,C在一世C),C≡11−在2/C2
这里,ds=Cd吨1−在2/C2是沿粒子轨迹的区间的一个元素。很容易验证这样定义的向量是归一化的

在μ在μ=1.

质点或介质元素的 4 加速度为

一个μ=d在μds=CCd在μd吨.
由于归一化条件 (2.15),4-速度和 4-加速度相互正交:一个μ在μ=0.

根据定义,质点(粒子)的 4 动量为

pμ=米在μ=(和/C,p→),米= 常量 ,
在哪里米是粒子静止质量,表征其惯性特性,p→=(p一世)是空间动量,并且和=C米C2是给定 IRF 中的粒子能量。根据定义,平方动量是p2=pμpμ=米2C2.

在小速度下,在≪C,扩展能量的表达式在/C, 我们获得

和≈米C2+米在22+○(在2/C2).
从这个关系得出一个极其重要的结论:粒子的总能量除了经典动能外,还包括其余能量米C2.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — coordinate

到目前为止,我们一直在使用闵可夫斯基时空中的闵可夫斯基坐标,其中度量的形式为 (2.2),以及与这些坐标相连的惯性参考系 (IRF)。然而,没有什么能阻止我们借助其他坐标系在 SR 框架中描述物理过程,即使保留在 Minkowski 空间中的固定 RF 中。例如,可以引入球坐标或柱坐标。

在最一般的情况下,无论是在闵可夫斯基时空还是任何黎曼时空,以及更广泛的、任何可微流形中,任意坐标变换Xμ↦是μ是可能的,具有任意功能

Xμ=Xμ(是0,是1,是2,是3)

在物理时空中,坐标变换(2.24)通常会导致参考系的变化。

应该注意,坐标系和参考系的概念之间的关系是一个相当微妙的问题,有时会导致混淆和误解。因此,解释我们将在何种意义上使用这些概念是合理的。
在这个讨论中,我们将主要遵循书籍[542,578,579]. 首先,省略一些数学细节,我们可以说黎曼空间(或时空)是任意维数的可微流形D配备公制Gμν任意签名。如果它是正定的[签名(++⋯+)],该空间称为真黎曼,在其他情况下称为伪黎曼,但通常省略前缀“伪”。

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Covariance, maps and atlases

让我们介绍可微流形中坐标系的一般定义。所有相应概念的定义及其详细而严谨的讨论都可以在有关全局微分几何的教科书和专着中找到,例如,[285,375,461].

某个区域的坐标系在类的可微流形ķ和尺寸D(或者,相同的是,该地区的地图在) 是该地区的一对一地图在到算术空间的某个区域RD. 该区域在本身则称为地图的范围或坐标系的范围。

因此,每个点X该地区的在与一个有序的集合对应D实数,这些数字称为该点的坐标。此外,如果在1和在2是两个地图的范围和X∈在1∩在2, 那么该点的坐标X在这些地图之一中是类的功能Cķ点的坐标X在另一张地图中,变换的非零雅可比行列式。最常见的是类的流形C∞被认为具有无限可微的变换函数。

流形的全局属性由其范围联合覆盖整个流形(图集)的映射集来描述。换句话说,属于某个图集的地图范围的联合等同于整个流形。

因此,流形中的坐标系,特别是四维洛伦兹时空中的坐标系,只是一种以一组数字的形式为每个点(事件)提供特定“地址”或标签的方法,并且不同的寻址方式必须通过平滑的转换相互关联。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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