物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — curvature

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宇宙学是天文学的一个分支,涉及宇宙的起源和演变,从大爆炸到今天,再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — curvature

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — curvature

Let us present some definitions and relations, important for the further content of the book.

To begin with, the contravariant components of the metric $g^{\mu \nu}$ form a matrix reciprocal to the matrix $g_{\mu \nu}$ :
$$
g_{\mu \alpha} g^{\alpha \nu}=\delta_{\mu}^{\nu},
$$

where $\delta_{\mu}^{\nu}$ is the Kronecker symbol, a tensor whose components form the unity matrix: they are equal to unity for coinciding values of the indices and to zero for noncoinciding ones. The tensors $g_{\mu \nu}$ and $g^{\mu \nu}$ are used for raising and lowering arbitrary tensor indices.

Partial derivatives of any scalar function (that is, a function whose values are the same in all coordinate systems) $f\left(x^{\mu}\right)$ with respect to the coordinates, $\partial_{\mu} f$, form a covariant vector called the gradient of $f$. Partial derivatives of the components of a vector $A_{\mu}$ or $A^{\mu}$, in general, do not form a tensor because coordinate transformations are, in general, nonlinear. To obtain a covariant form of physical equations and for many other purposes it is thus necessary to generalize the notion of a derivative, to make it a tensor. This goal is achieved by introducing the covariant derivatives
$$
\begin{aligned}
&\nabla_{\mu} A_{\nu}=\partial_{\mu} A_{\nu}-\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha} A_{\alpha} \
&\nabla_{\mu} A^{\nu}=\partial_{\mu} A^{\nu}+\Gamma_{\mu \alpha}^{\nu} A^{\alpha}
\end{aligned}
$$
where the quantities $\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}$ (they do not form a tensor!) are called the Christoffel symbols, or affine connection coefficients agreeing with the metric (the metric connection, or the metric affinity). They are expressed in terms of the metric tensor and its first-order partial derivatives:
$$
\Gamma_{\mu \nu}^{\sigma}=\frac{1}{2} g^{\sigma \alpha}\left(\partial_{\nu} g_{\alpha \mu}+\partial_{\mu} g_{\alpha \nu}-\partial_{\alpha} g_{\mu \nu}\right)
$$

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The Einstein equations

In GR, the dynamic variables characterizing the gravitational field are the metric tensor components $g_{\mu \nu}$. The dynamic equations of GR are derived from Hilbert’s variation principle
$$
\delta S=0, \quad S=\int \frac{R-2 \Lambda}{2 x} \sqrt{-g} d^{4} x+S_{m},
$$
where $S_{m}=\int L_{m} \sqrt{-g} d^{4} x$ is the action of matter, i.e., substance and all fields except the gravitational field, and $\Lambda$ is the cosmological constant, which is usually negligible when considering “local” configurations (up to the scale of a cluster of galaxies) but is manifestly important on the cosmological scale. The condition $\delta S=0$ leads to the Hilbert-Einstein equations (more frequently they are simply called the Einstein equations)
$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R+g_{\mu \nu} \Lambda=-\varkappa T_{\mu \nu} .
$$
Here, $\varkappa=8 \pi G / c^{4}$ is the Einstein gravitational constant ( $G$ is the Newtonian gravitational constant), and $T_{\mu \nu}$ is the (metric) stressenergy tensor (SET) of matter:
$$
T_{\mu \nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{m}}{\delta g^{\mu \nu}} .
$$
In (2.55), there are in general ten nonlinear partial differential equations. However, first, the freedom of choosing a coordinate system makes it possible to impose four arbitrary coordinate conditions which can be formulated as equalities involving the coefficients $g_{\mu \nu}$, and therefore remain only six independent equations. Second, among the remaining equations there are four differential dependences related to the identities (2.46), which results in only two real dynamic equations. The other four are constraint equations which do not contain second-order time derivatives. These circumstances are of importance for all dynamic processes in GR, and above all for gravitational waves, which can have only two independent polarizations.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Geodesic equations

The equations of motion for free particles in Riemannian space-times can be obtained by varying the action (2.21) (now written for a Riemannian linear element). The variation equation, as in Minkowski space, has the meaning of a trajectory (geodesic) equation, describing the extremum of the world line length between two given points. It can be written as
$$
\frac{d u^{\alpha}}{d s}+\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha} u^{\mu} u^{\nu}=0 .
$$
Here, $s$ is the interval which coincides with the proper time of an observer moving along the geodesic if it is timelike and the proper length along the geodesic if it is spacelike. In all cases $s$ is a canonical parameter. ${ }^{5}$

Let us derive Eq. (2.58) from the conservation law (2.57). It will be a good illustration of the possibility to derive the equations of motion for matter from the Einstein equations.

Let us begin with the expression for the SET of a perfect fluid, which can be obtained as a natural extension of the corresponding expression from SR [366] to Riemannian spaces:
$$
T_{\mu \nu}=(\varepsilon+p) u_{\mu} u_{\nu}-p g_{\mu \nu},
$$

where $u_{\mu}$ is the 4 -velocity of particles of the fluid, $\varepsilon=\rho c^{2}$ is its energy density, and $p$ its pressure. In particular, for dustlike matter, consisting of noninteracting particles,
$$
p=0, \quad T_{\mu \nu}=\varepsilon u_{\mu} u_{\nu}
$$

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宇宙学代考

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Riemannian space–time — curvature

让我们提出一些定义和关系,这对本书的进一步内容很重要。

首先,度量的逆变分量gμν形成矩阵的倒数矩阵gμν :

gμαgαν=δμν,

在哪里δμν是克罗内克符号,一个张量,其分量构成单位矩阵:对于一致的索引值,它们等于单位,对于不重合的值,它们等于零。张量gμν和gμν用于提高和降低任意张量指数。

任何标量函数的偏导数(即在所有坐标系中值都相同的函数)f(xμ)关于坐标,∂μf,形成一个协变向量,称为梯度f. 向量分量的偏导数Aμ或者Aμ,通常不会形成张量,因为坐标变换通常是非线性的。为了获得物理方程的协变形式和许多其他目的,因此有必要推广导数的概念,使其成为张量。这个目标是通过引入协变导数来实现的

∇μAν=∂μAν−ΓμναAα ∇μAν=∂μAν+ΓμανAα
数量在哪里Γμνα(它们不形成张量!)被称为 Christoffel 符号,或与度量一致的仿射连接系数(度量连接,或度量亲和力)。它们用度量张量及其一阶偏导数表示:

Γμνσ=12gσα(∂νgαμ+∂μgαν−∂αgμν)

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The Einstein equations

在 GR 中,表征引力场的动态变量是度量张量分量gμν. GR的动力学方程来源于希尔伯特变分原理

δS=0,S=∫R−2Λ2x−gd4x+Sm,
在哪里Sm=∫Lm−gd4x是物质的作用,即物质和除引力场之外的所有场,并且Λ是宇宙学常数,在考虑“局部”配置时通常可以忽略不计(高达星系团的规模),但在宇宙学规模上显然很重要。条件δS=0导致希尔伯特-爱因斯坦方程(更常见的是它们被简称为爱因斯坦方程)

Rμν−12gμνR+gμνΛ=−ϰTμν.
这里,ϰ=8πG/c4是爱因斯坦引力常数(G是牛顿引力常数),和Tμν是物质的(公制)应力能量张量(SET):

Tμν=2−gδSmδgμν.
在 (2.55) 中,一般有十个非线性偏微分方程。然而,首先,选择坐标系的自由度使得可以强加四个任意坐标条件,这些条件可以表示为涉及系数的等式gμν,因此只剩下六个独立的方程。其次,在剩下的方程中,有四个与恒等式相关的微分依赖(2.46),这导致只有两个实动力方程。其他四个是不包含二阶时间导数的约束方程。这些情况对于 GR 中的所有动态过程都很重要,尤其是对于只能有两个独立极化的引力波。

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Geodesic equations

自由粒子在黎曼时空中的运动方程可以通过改变作用(2.21)(现在写成黎曼线性元)来获得。与 Minkowski 空间中的变化方程一样,具有轨迹(测地线)方程的含义,描述了两个给定点之间的世界线长度的极值。它可以写成

duαds+Γμναuμuν=0.
这里,s是与观察者沿测地线移动的适当时间(如果它是类时的)和沿测地线移动的适当长度(如果它是类空间的)重合的间隔。在所有情况下s是规范参数。5

让我们推导出方程。(2.58)来自守恒定律(2.57)。这将很好地说明从爱因斯坦方程推导出物质运动方程的可能性。

让我们从完美流体的 SET 表达式开始,它可以作为从 SR [366] 到黎曼空间的相应表达式的自然扩展获得:

Tμν=(ε+p)uμuν−pgμν,

在哪里uμ是流体粒子的 4 速度,ε=ρc2是它的能量密度,并且p它的压力。特别是,对于由非相互作用粒子组成的尘埃状物质,

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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