物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH4105

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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH4105

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|A Special Coordinate System

Recall that in Chap. 4 we stated the Signature Theorem, that at any point $P$ there exists a special coordinate system in which the metric is diagonal and has diagonal elements equal to 1 or $-1$ or 0 . The special system may be reached by a linear transformation. This form of the metric is called the Cayley-Sylvester canonical form. We proved the theorem for the case of two dimensions in Appendix 4.1 (Perlis 1952).

In this chapter we obtained another special coordinate system, the geodesic system, in which the affine connections vanish at any given point $P$. If the connections are zero, then from the definition of the Christoffel connections (5.19) this clearly means that the first derivatives of the metric must also be zero. We can in fact combine these transformations and for any given point $P$ find a coordinate system in which the metric has the Cayley-Sylvester canonical form and also has vanishing first derivatives and thus vanishing connections. To do this we merely apply the two transformations together with the point $P$ taken to be the origin,
$$
\bar{x}^{j}=L_{k}^{j} x^{k}+\frac{1}{2} A_{j l}^{i}\left(L_{n}^{j} x^{n}\right)\left(L_{m}^{l} x^{m}\right) \text {. }
$$
The $L$ array makes the transformation to the system in which the metric has the Cayley-Sylvester canonical form, and the $A$ array specifies the transformation to the geodesic system. The coordinate system thus obtained is very special: the axes are orthogonal, the metric is Lorentz, and the connections vanish, so physics is locally much like that of special relativity, but of course only in a vanishingly small region near $P$.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Extremum Problem

For completeness we briefly review one of the most important problems in the calculus of variations, one which is familiar to most physicists from the Lagrangian formulation of classical mechanics (Goldstein 1980). The Lagrangian is assumed to be a given function of the coordinates and generalized velocities, $L\left(x^{\lambda}, \dot{x}^{\alpha}\right)$. A quantity $S$ called the action is then defined as the integral of the Lagrangian along some curve from a fixed initial point $i$ to a fixed final point $f$,
$$
S=\int_{i}^{f} L\left(x^{\lambda}, \dot{x}^{\alpha}\right) \mathrm{d} p, \dot{x}^{\alpha} \equiv \frac{\mathrm{d} x^{\alpha}}{\mathrm{d} p}
$$
That is, the action is a functional of the Lagrangian. The Euler-Lagrange method of extremizing the action is to calculate the variation in $S$ as the path $x^{\mu}(p)$ is varied by a small amount $\delta x^{\mu}(p)$ as shown in Fig. $5.5$; the extremum path is characterized by the vanishing of the variation, precisely analogous to the vanishing of a derivative of a function at its extremum. The variation in $S$ is calculated in a straight-forward way as follows,
$$
\begin{aligned}
\delta S &=\int_{i}^{f}\left[\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}} \delta x^{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}} \delta \dot{x}^{\alpha}\right] \mathrm{d} p \
&=\int_{i}^{f}\left[\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}} \delta x^{\alpha}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} p}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}} \delta x^{\alpha}\right)-\delta x^{\alpha} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} p}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}}\right)\right] \mathrm{d} p \
&=\int_{i}^{f}\left[\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} p}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}}\right)\right] \delta x^{\alpha} \mathrm{d} p+\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}} \delta \dot{x}^{\alpha}\right)_{i}^{f}
\end{aligned}
$$
where we have integrated by parts and used $\delta \dot{x}^{\propto}=\mathrm{d}\left(\delta x^{\alpha}\right) / \mathrm{d} p$. Since we consider only paths between fixed endpoints the last term in the last line above is zero. Since we consider any small variation $\delta x^{\alpha}$ the bracket in the integral must be identically zero, so we conclude
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} p}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}}=0
$$
These differential equations are called the Euler-Lagrange equations, and yield a curve for which the action is extremum.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Christoffel Connections as Fictitious Forces

The Christoffel connections are actually familiar objects in classical mechanics, but they are seldom identified as such explicitly or seen from the geometrical point of view. They give rise to the well-known fictitious forces encountered in non-cartesian coordinate systems, rotating systems being a favorite example. To illustrate how this works we will study the motion of a particle in a potential in 3 -dimensional space with a general coordinate system using the Lagrangian formulation of classical mechanics. The manipulations are similar to those used in the preceding appendix and for discussing geodesics in the text.

Let the particle have a trajectory in three dimensions, with the position is given as a function of absolute (invariant) time by $x^{j}(t)$ in some coordinate system. Along this trajectory the line element represents the Euclidean distance
$$
\mathrm{ds}{ }^{2}=g_{i j} \mathrm{~d} x^{i} \mathrm{~d} x^{j} .
$$
Thus we may write the square of the velocity as
$$
v^{2}=g_{i j} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j}, \quad \dot{x}^{i} \equiv \frac{\mathrm{d} x^{i}}{\mathrm{~d} t} .
$$
For a particle moving in a potential field the Lagrangian is generally taken to be the kinetic energy minus the potential energy,
$$
L=\frac{m}{2} v^{2}-V\left(x^{k}\right)=\frac{m}{2} g_{i j} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j}-V\left(x^{k}\right) .
$$
Note the similarity of this to the function $T$ which we used in discussing geodesics. Lagrangian mechanics is based on the postulate that the action, the integral of $L$, is extremized for the correct trajectory. That is
$$
\delta S=0, \quad S=\int_{i}^{f} L \mathrm{~d} t=\int_{i}^{f}\left[\frac{m}{2} g_{i j} \dot{x}^{i} \dot{x}^{j}-V\left(x^{k}\right)\right] \mathrm{d} t .
$$
Extremizing the action we are led to the Euler-Lagrange equations as in our derivation of the geodesic equation, but now we also have a potential energy term. The EulerLagrange equations are obtained as usual, and are,

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{i}}=m g_{i j} \dot{x}^{j}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{i}}=m\left(g_{i j} \ddot{x}^{j}+g_{i j, k} \dot{x}^{j} \dot{x}^{k}\right)$
$\frac{\partial L}{\partial x^{i}}=\frac{m}{2} g_{i j, k} \dot{x}^{j} \dot{x}^{k}-\frac{\partial V}{\partial x^{i}}$
$m\left(g_{i j} \ddot{x}^{j}+g_{i j, k} \dot{x}^{j} \dot{x}^{k}-\frac{1}{2} g_{j k, i} \dot{x}^{j} \dot{x}^{k}\right)+\frac{\partial V}{\partial x^{i}}=0$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH4105

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|A Special Coordinate System

回想一下,在第一章。4 我们陈述了签名定理,即在任何时候磷存在一个特殊的坐标系,其中度量是对角的并且对角元素等于 1 或−1或 0 。特殊系统可以通过线性变换得到。这种度量形式称为 Cayley-Sylvester 规范形式。我们在附录 4.1(Perlis 1952)中证明了二维情况下的定理。

在本章中,我们获得了另一个特殊的坐标系,测地线系统,其中仿射连接在任何给定点都消失了磷. 如果连接为零,那么根据 Christoffel 连接 (5.19) 的定义,这显然意味着度量的一阶导数也必须为零。事实上,我们可以将这些变换结合起来,对于任何给定的点磷找到一个坐标系,其中度量具有 Cayley-Sylvester 规范形式,并且一阶导数消失,因此连接消失。为此,我们只需将两个变换与点一起应用磷被认为是起源,

X¯j=大号ķjXķ+12一个jl一世(大号njXn)(大号米lX米). 
这大号array 对度量具有 Cayley-Sylvester 规范形式的系统进行转换,并且一个数组指定到测地线系统的转换。这样得到的坐标系非常特殊:轴是正交的,度量是洛伦兹,连接消失了,所以物理学在局部很像狭义相对论,但当然只是在附近的一个很小的区域内磷.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Extremum Problem

为了完整起见,我们简要回顾了变分法中最重要的问题之一,大多数物理学家都熟悉经典力学的拉格朗日公式(Goldstein 1980)。拉格朗日被假定为坐标和广义速度的给定函数,大号(Xλ,X˙一个). 数量小号称为动作然后定义为从固定初始点沿某条曲线的拉格朗日积分一世到一个固定的终点F,

小号=∫一世F大号(Xλ,X˙一个)dp,X˙一个≡dX一个dp
也就是说,动作是拉格朗日函数的。Euler-Lagrange 对动作进行极值化的方法是计算小号作为路径Xμ(p)有少量变化dXμ(p)如图所示。5.5; 极值路径的特征在于变化的消失,这与函数的导数在其极值处的消失非常相似。的变化小号以直接的方式计算如下,

d小号=∫一世F[∂大号∂X一个dX一个+∂大号∂X˙一个dX˙一个]dp =∫一世F[∂大号∂X一个dX一个+ddp(∂大号∂X˙一个dX一个)−dX一个ddp(∂大号∂X˙一个)]dp =∫一世F[∂大号∂X一个−ddp(∂大号∂X˙一个)]dX一个dp+(∂大号∂X˙一个dX˙一个)一世F
我们按零件集成并使用的地方dX˙∝=d(dX一个)/dp. 由于我们只考虑固定端点之间的路径,因此上面最后一行中的最后一项为零。因为我们考虑任何小的变化dX一个积分中的括号必须相同为零,所以我们得出结论

ddp(∂大号∂X˙一个)−∂大号∂X一个=0
这些微分方程称为欧拉-拉格朗日方程,并产生一条作用为极值的曲线。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Christoffel Connections as Fictitious Forces

Christoffel 连接实际上是经典力学中熟悉的对象,但它们很少被明确地识别为此类对象或从几何角度来看。它们产生了在非笛卡尔坐标系中遇到的众所周知的虚拟力,旋转系统是一个最喜欢的例子。为了说明这是如何工作的,我们将使用经典力学的拉格朗日公式来研究粒子在具有一般坐标系的 3 维空间中的势能运动。操作类似于前面附录中使用的操作以及用于讨论文本中的测地线。

让粒子在三个维度上具有轨迹,位置是绝对(不变)时间的函数Xj(吨)在某个坐标系中。沿着这条轨迹线元素代表欧几里得距离

ds2=G一世j dX一世 dXj.
因此,我们可以将速度的平方写为

在2=G一世jX˙一世X˙j,X˙一世≡dX一世 d吨.
对于在势场中运动的粒子,拉格朗日通常被认为是动能减去势能,

大号=米2在2−在(Xķ)=米2G一世jX˙一世X˙j−在(Xķ).
注意 this 与函数的相似性吨我们在讨论测地线时使用了它。拉格朗日力学基于以下假设:作用,积分大号, 为正确的轨迹而极端化。那是

d小号=0,小号=∫一世F大号 d吨=∫一世F[米2G一世jX˙一世X˙j−在(Xķ)]d吨.
极端化我们得到欧拉-拉格朗日方程的作用,就像我们推导测地线方程一样,但现在我们还有一个势能项。EulerLagrange 方程是照常获得的,并且是,

∂大号∂X˙一世=米G一世jX˙j,dd吨∂大号∂X˙一世=米(G一世jX¨j+G一世j,ķX˙jX˙ķ)
∂大号∂X一世=米2G一世j,ķX˙jX˙ķ−∂在∂X一世
米(G一世jX¨j+G一世j,ķX˙jX˙ķ−12Gjķ,一世X˙jX˙ķ)+∂在∂X一世=0

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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