物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH7105

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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH7105

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Lorentz Group

We have obtained the Lorentz transformation for motion in the $x$ direction and discussed some elementary applications. Now we are going to look at such transformations from a more sophisticated mathematical viewpoint, and with a more elegant notation (Schutz 2009). This chapter is intended to orient you towards the geometric viewpoint of general relativity, and to show that the notation can do much of the algebraic work for you. Only cartesian coordinates will be used in this chapter.
We will first derive a more general definition of a Lorentz transformation. Recall that special relativity is based on the following principles (Schwartz 1968).

I. The analytical form of physical laws is the same in all inertial reference frames as described by systems of Cartesian coordinates.
II. The speed of light in vacuum is a universal constant.
A more sophisticated way to state principle II is that we wish to make the equation of an expanding spherical wave front of light invariant under the relevant transformation of the space and time coordinates. We write the wave front as
$$
c^{2} t^{2}-\vec{x}^{2}=0
$$
and show a picture in Fig. $2.1$ with the $z$ coordinate suppressed. Because of the shape of the surface in this picture it is called a light cone. Events in an inertial system are points in four-dimensional spacetime or Minkowski space. They are labeled by $x^{\mu}=(c t, x, y, z)$, with $c t$ taken as the zeroth coordinate. The set of coordinates is also called the position 4-vector. We wish to find a transformation between such coordinates in two systems, with the linear form

$$
x^{\prime \mu}=\sum_{0}^{3} a_{v}^{\mu} x^{\nu}=a_{v}^{\mu} x^{v}
$$
Notice that in (2.2) we simply omitted the summation sign with the understanding that repeated indices are to be summed over. This is the famous Einstein summation comvention which we will use henceforth; it makes the equations look much simpler. The light cone equation (2.1) may be written in matrix notation as.
$$
(c t, x, y, z)\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
c t \
x \
y \
z
\end{array}\right)=0
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Four-Vectors and Tensors

We have called the set of coordinates of an event in spacetime the position 4-vector; the position 4 -vector is the archetype of a contravariant 4 -vector, which we now define in general as any set of 4 quantities which transform under a Lorentz transformation as
$$
\bar{V}^{\alpha}=a^{\alpha}{ }_{\tau} V^{\tau}
$$
That is, a contravariant 4 -vector is a set of quantities that transforms like the coordinates. We will often refer to a contravariant 4 -vector as simply a 4 -vector.

We define another 4-component object with a lower index using the Lorentz metric,
$$
V_{\alpha}=g_{\mu v} V^{v},
$$
which we call a covariant 4 -vector. For example, the covariant position 4-vector is.
$$
x_{\mu}=(c t,-x,-y,-z)
$$
The operation in $(2.10)$ is called lowering an index. An index may be raised similarly with the inverse of the Lorentz metric, which we denote as $g^{\mu v}$,
$$
V^{\alpha}=g^{\alpha v} V_{v}, \quad g^{\alpha \lambda} g_{\lambda \omega}=\delta_{\alpha v^{*}}^{\alpha}
$$
You may easily verify that $(2.10)$ and $(2.11)$ are consistent. From the specific form of the Lorentz metric it is easy to see that the inverse of the Lorentz metric is simply the Lorentz metric itself, which is a convenient fact,
$$
g^{\alpha \lambda}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right)
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Energy and Momentum

The previous chapter contained a lot of formalism and little discussion of the physical world. Now it is time to see that the formalism we have developed can make physics more clear and easier (Schwartz 1968; Taylor 1963). We will consider some examples of 4 -vectors in physics. As in classical mechanics we first consider the trajectory of a particle. Its position can be described by giving the functions of time $x(t), y(t), z(t)$ in some inertial lab frame; we thereby have the position 4 -vector $(c t, x(t), y(t), z(t))$ as a function of time in that frame. The trajectory is a curve in four-dimensional spacetime and is also called the world-line of the particle. We illustrate it for two space dimensions in Fig. 3.1. Since the particle moves at less than the velocity of light the trajectory lies inside a light cone with vertex on any point of the trajectory, called the local light cone.

First consider an inertial coordinate system centered on a uniformly moving particle; recall that it is called the proper or rest frame of the particle. In this frame the position 4-vector is $x^{\mu}=(c \tau, 0,0,0)$, where $\tau$ is the time that a clock attached to the particle would measure, which we call the proper time. However, since $x^{\mu} x_{\mu}$ is an invariant we may write a relation that gives the proper time in any frame
$$
c^{2} \tau^{2}=x^{\mu} x_{\mu}=c^{2} t^{2}-\vec{x}^{2}
$$
We emphasize that the proper time is an invariant, as is obvious from this expression!

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|MATH7105

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|The Lorentz Group

我们得到了运动的洛伦兹变换X方向并讨论了一些基本的应用。现在我们将从更复杂的数学角度和更优雅的符号(Schutz 2009)来看待这种转换。本章旨在引导您了解广义相对论的几何观点,并表明该符号可以为您完成大部分代数工作。本章只使用笛卡尔坐标。
我们将首先推导出洛伦兹变换的更一般定义。回想一下狭义相对论基于以下原则(Schwartz 1968)。

一、所有惯性参考系中物理定律的解析形式与笛卡尔坐标系所描述的相同。
二、真空中的光速是一个普遍常数。
陈述原理II的一个更复杂的方法是我们希望使光的扩展球面波前方程在时空坐标的相关变换下保持不变。我们将波前写为

C2吨2−X→2=0
并在图中显示一张图片。2.1与和坐标被抑制。由于这张照片中表面的形状,它被称为光锥。惯性系统中的事件是四维时空或 Minkowski 空间中的点。他们被标记为Xμ=(C吨,X,是,和), 和C吨作为第零坐标。这组坐标也称为位置 4 向量。我们希望在两个系统中找到这样的坐标之间的变换,具有线性形式

X′μ=∑03一个在μXν=一个在μX在
请注意,在 (2.2) 中,我们简单地省略了求和符号,因为重复的索引将被求和。这是我们以后将使用的著名的爱因斯坦求和约定;它使方程看起来更简单。光锥方程(2.1)可以用矩阵表示法写成。

(C吨,X,是,和)(1000 0−100 00−10 000−1)(C吨 X 是 和)=0

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Four-Vectors and Tensors

我们将一个事件在时空中的坐标集合称为位置 4 向量;位置 4 -vector 是逆变 4 -vector 的原型,我们现在一般将其定义为在 Lorentz 变换下变换为的 4 个量的任何集合

在¯一个=一个一个τ在τ
也就是说,逆变 4 向量是一组像坐标一样变换的量。我们经常将逆变 4 向量简称为 4 向量。

我们使用 Lorentz 度量定义另一个具有较低索引的 4 分量对象,

在一个=Gμ在在在,
我们称之为协变 4 向量。例如,协变位置 4-vector 是。

Xμ=(C吨,−X,−是,−和)
中的操作(2.10)称为降低指数。类似地,可以使用洛伦兹度量的倒数来提高指数,我们将其表示为Gμ在,

在一个=G一个在在在,G一个λGλω=d一个在∗一个
您可以轻松地验证(2.10)和(2.11)是一致的。从洛伦兹度规的具体形式很容易看出,洛伦兹度规的倒数就是洛伦兹度规本身,这是一个方便的事实,

G一个λ=(−1000 0−100 00−10 000−1)

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Energy and Momentum

前一章包含大量形式主义,很少讨论物理世界。现在是时候看看我们开发的形式主义可以使物理学更加清晰和容易(Schwartz 1968;Taylor 1963)。我们将考虑物理学中 4 向量的一些例子。与经典力学一样,我们首先考虑粒子的轨迹。它的位置可以通过给出时间的函数来描述X(吨),是(吨),和(吨)在一些惯性实验室框架中;因此我们有位置 4 -vector(C吨,X(吨),是(吨),和(吨))作为该帧中时间的函数。轨迹是四维时空中的一条曲线,也称为粒子的世界线。我们在图 3.1 中对两个空间维度进行了说明。由于粒子以小于光速的速度移动,因此轨迹位于一个光锥内,其顶点位于轨迹的任何点上,称为局部光锥。

首先考虑一个以匀速运动粒子为中心的惯性坐标系;回想一下,它被称为粒子的适当或静止框架。在这一帧中,位置 4 向量是Xμ=(Cτ,0,0,0), 在哪里τ是附在粒子上的时钟测量的时间,我们称之为适当时间。然而,由于XμXμ是一个不变量,我们可以写一个在任何帧中给出适当时间的关系

C2τ2=XμXμ=C2吨2−X→2
我们强调正确时间是不变量,从这个表达式中可以明显看出!

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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