物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS3100

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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS3100

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Acceleration

In the simple approach to special relativity in Chap. 1 we studied the Lorentz transformation between uniformly moving systems; this in no way restricts special relativity to uniform motion, and accelerated motion fits nicely into the conceptual and mathematical framework. We first define the 4-vector acceleration of a particle in the obvious way, as the derivative of the 4-vector velocity with respect to the proper time of the particle,
$$
a^{\mu}=\frac{\mathrm{d} u^{\mu}}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{d}^{2} x^{\mu}}{\mathrm{d} \tau^{2}}
$$
We may express this in terms of the classical velocity and acceleration, which involve $t$ derivatives, not $\tau$ derivatives. To do this we use the expression for the 4 -velocity in (3.6) and the relation between $\mathrm{d} \tau$ and $\mathrm{d} t$ in (3.4), which implies $\mathrm{d} / \mathrm{d} \tau=\gamma(\mathrm{d} / \mathrm{d} t)$, to obtain

$$
a^{\mu}=\frac{\mathrm{d} u^{\mu}}{\mathrm{d} \tau}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \tau}(\gamma c, \gamma \vec{v})=\gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\gamma c, \gamma \vec{v})=\left(\gamma c \frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} t}, \gamma^{2} \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}+\gamma \vec{v} \frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} t}\right)
$$
The derivative of the velocity is of course the classical acceleration $\vec{a}=\mathrm{d} \vec{v} / \mathrm{d} t$, while the derivative of $\gamma$ is easy to calculate as
$$
\gamma \frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d} \gamma^{2}}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=\left(\frac{\gamma^{4}}{c^{2}}\right) \vec{v} \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t}=\left(\frac{\gamma^{4}}{c^{2}}\right) \vec{v} \cdot \vec{a}
$$
Thus
$$
a^{\mu}=\left(\frac{\gamma^{4}}{c}(\vec{v} \cdot \vec{a}), \vec{v} \frac{\gamma^{4}}{c^{2}}(\vec{v} \cdot \vec{a})+\gamma^{2} \vec{a}\right)
$$
In particular, in the proper frame where the velocity vanishes instantaneously, we have
$$
a^{\mu}=(0, \vec{a}), \text { proper frame. }
$$
This should not be surprising.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Accelerated Motion

Now we are ready to study the trajectory of an accelerated particle in one space dimension. We will think of the particle as a small rocket, since a rocket is built with internal means of acceleration. In doing this we will see how convenient the concept of rapidity is for such calculations (Misner 1973).

Consider a rocket moving in the $x$ direction as in Fig. 3.3. The proper time $\tau$ provides a convenient parameter for defining the trajectory of the rocket, $c t(\tau), x(\tau)$. At proper time $\tau$ the rocket has velocity $v$ in the lab system $S$, while in its instantaneous rest frame $S^{\prime}$ its velocity is of course zero. A short time $\mathrm{d} \tau$ later its velocity in $S^{\prime}$ is given in terms of the acceleration by
$$
\mathrm{d} v^{\prime}=a \mathrm{~d} \tau, \quad \mathrm{d} \beta^{\prime}=(a / c) \mathrm{d} \tau, \quad a=\text { proper acceleration. }
$$
The proper acceleration is that measured in the proper frame, where the rocket is instantaneously at rest. In the lab frame $S$ the rocket velocity after the little time interval and velocity change is gotten from the velocity addition relation in Exercise $1.3$
$$
\beta(\operatorname{after} \mathrm{d} \tau)=\left(\beta+\mathrm{d} \beta^{\prime}\right) /\left(1+\beta \mathrm{d} \beta^{\prime}\right) .
$$
Thus the change in the lab velocity of the rocket to first order in $\mathrm{d} \beta^{\prime}$ is
$$
\mathrm{d} \beta=\left(1-\beta^{2}\right) \mathrm{d} \beta^{\prime}=\mathrm{d} \beta^{\prime} / \gamma^{2}=(a / c) \mathrm{d} \tau / \gamma^{2} .
$$
This is a differential relation giving $\beta$ as a function of $\tau$ and the proper acceleration since $\gamma$ is a function of $\beta$; if the acceleration were given as a function of $\tau$ we could integrate (3.23) to get $\beta(\tau)$.

However there is a more elegant way to analyze (3.23) in terms of rapidity. From the definition of rapidity $\theta$ in (1.28) we have
$$
\begin{gathered}
\beta=\tanh \theta, \quad \mathrm{d} \beta=\operatorname{sech}^{2} \theta \mathrm{d} \theta=\mathrm{d} \theta / \cosh ^{2} \theta=\mathrm{d} \theta / \gamma^{2} \
\mathrm{~d} \theta=\gamma^{2} \mathrm{~d} \beta
\end{gathered}
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Curves and Arc Lengths

The lengths of lines and curves in the spacetime of special relativity have some peculiar and interesting properties. Let us study the time elapsed for travelers aboard rocket ships having diverse trajectories, curves in spacetime, using the geometric view that we have developed. The proper time interval for such a traveler is equal to the square root of the line element divided by $c$, as in (3.2),
$$
c \mathrm{~d} \tau=\mathrm{d} s=\sqrt{c^{2} \mathrm{~d} t^{2}-\mathrm{d} \vec{x}^{2}}=c \mathrm{~d} t \sqrt{1-(\mathrm{d} \vec{x} / c \mathrm{~d} t)^{2}}=\sqrt{1-\beta^{2}} c \mathrm{~d} t
$$
where the space and time intervals are measured in some inertial system such as our lab. Notice that this has meaning only so long as the velocity of the rocket ship is less than $c$, for otherwise the proper time becomes imaginary. That is the trajectory must always have a slope of over $45^{\circ}$. The time elapsed for a traveler is thus simply the integral of the line element along the trajectory, or the arc length of the curve between initial and final points in spacetime,
$$
c \tau=s=\int_{i}^{f} \sqrt{1-\beta^{2}} c \mathrm{~d} t .
$$
It is obvious from the integrand in (3.31) that this arc length is largest when the velocity of the rocket remains small along the trajectory. In particular the longest curve in spacetime for the roundtrips shown in Fig. $3.4$ is the straight line along the time axis; any other curve is shorter, and as the curve approaches the $45^{\circ}$ lines (light cone) its length approaches zero!

A straight line of this type is the longest distance between 2 points in spacetime, whereas it is the shortest distance between two points in Euclidean space. The minus sign in the line element (3.2) produces this profoundly different behavior. A physical consequence of this is that someone who leaves earth and travels at high velocity, say to a nearby star, and returns to earth will be younger than indicated by an earthbound clock. The infamous “twin paradox” is based on this peculiar behavior. See Exercise 3.6.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS3100

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Acceleration

在第 1 章中狭义相对论的简单方法中。1 我们研究了匀速运动系统之间的洛伦兹变换;这绝不会将狭义相对论限制为匀速运动,加速运动非常适合概念和数学框架。我们首先以明显的方式定义粒子的 4 向量加速度,作为 4 向量速度相对于粒子固有时间的导数,

一个μ=d在μdτ=d2Xμdτ2
我们可以用经典的速度和加速度来表达这一点,其中包括吨衍生品,不是τ衍生品。为此,我们使用 (3.6) 中的 4 速度表达式和dτ和d吨在 (3.4) 中,这意味着d/dτ=C(d/d吨), 获得

一个μ=d在μdτ=ddτ(CC,C在→)=Cdd吨(CC,C在→)=(CCdCd吨,C2d在→ d吨+C在→dCd吨)
速度的导数当然是经典加速度一个→=d在→/d吨,而导数C很容易计算为

CdCd吨=12dC2 d吨=12(1−在2C2)−2dd吨(在2C2)=(C4C2)在→⋅d在→ d吨=(C4C2)在→⋅一个→
因此

一个μ=(C4C(在→⋅一个→),在→C4C2(在→⋅一个→)+C2一个→)
特别是,在速度瞬间消失的适当框架中,我们有

一个μ=(0,一个→), 适当的框架。 
这应该不足为奇。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Accelerated Motion

现在我们准备研究一个加速粒子在一维空间中的轨迹。我们将粒子视为小型火箭,因为火箭是用内部加速装置制造的。在这样做的过程中,我们将看到快速概念对于此类计算是多么方便(Misner 1973)。

考虑一个火箭在X方向如图 3.3。合适的时间τ为定义火箭的轨迹提供了一个方便的参数,C吨(τ),X(τ). 在适当的时候τ火箭有速度在在实验室系统中小号, 而在它的瞬时静止框架中小号′它的速度当然为零。很短的时间dτ后来它的速度在小号′由加速度给出

d在′=一个 dτ,db′=(一个/C)dτ,一个= 适当的加速。 
适当的加速度是在适当的框架中测量的,火箭瞬间静止。在实验室框架中小号小时间间隔和速度变化后的火箭速度由练习中的速度相加关系得到1.3

b(后⁡dτ)=(b+db′)/(1+bdb′).
因此,火箭的实验室速度变化为一阶db′是

db=(1−b2)db′=db′/C2=(一个/C)dτ/C2.
这是一个微分关系b作为一个函数τ和适当的加速度,因为C是一个函数b; 如果加速度作为一个函数给出τ我们可以整合 (3.23) 得到b(τ).

然而,有一种更优雅的方法来分析(3.23)的快速性。从速度的定义θ在 (1.28) 我们有

b=腥⁡θ,db=秒2⁡θdθ=dθ/科什2⁡θ=dθ/C2  dθ=C2 db

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Curves and Arc Lengths

狭义相对论时空中的直线和曲线的长度具有一些奇特而有趣的性质。让我们使用我们开发的几何视图来研究乘坐具有不同轨迹和时空曲线的火箭飞船的旅行者所经过的时间。这种旅行者的适当时间间隔等于线元的平方根除以C,如(3.2)中,

C dτ=ds=C2 d吨2−dX→2=C d吨1−(dX→/C d吨)2=1−b2C d吨
其中空间和时间间隔是在某些惯性系统中测量的,例如我们的实验室。请注意,这只有在火箭飞船的速度小于C, 否则适当的时间就会变成虚构的。那就是轨迹必须总是有一个斜率超过45∘. 因此,旅行者经过的时间只是沿轨迹的线元素的积分,或时空中起点和终点之间曲线的弧长,

Cτ=s=∫一世F1−b2C d吨.
从(3.31)中的被积函数可以看出,当火箭沿轨迹的速度保持较小时,该弧长最大。特别是图 1 所示往返的时空最长曲线。3.4是沿时间轴的直线;任何其他曲线都较短,并且随着曲线接近45∘线(光锥)它的长度接近于零!

这种类型的直线是时空中两点之间的最长距离,而它是欧几里得空间中两点之间的最短距离。线元素 (3.2) 中的减号产生了这种截然不同的行为。这样做的一个物理后果是,一个离开地球并以高速旅行的人,比如说附近的一颗恒星,然后返回地球将比地球上的时钟所指示的年轻。臭名昭著的“双胞胎悖论”就是基于这种奇特的行为。见练习 3.6。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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