物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS6203

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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说,观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS6203

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Riemann Spaces

We now make the transition from the Minkowski spacetime of special relativity to more general spaces and coordinate systems and the mathematical objects in them, vectors and tensors and forms. There are standard reference texts dating over many years (Pauli 1958; Bergmann 1942; Rindler 1969; Weinberg 1972; Misner 1973; Adler 1975 ; Kenyon 1990). Here we will rely heavily on examples to illustrate the basic ideas.

Think of a physical space such as the surface of a blackboard or sphere or torus as in Fig. 4.1, or the Euclidean 3 -space of classical physics. In particular include the spacetime of special relativity that we studied in Part I. We imagine a marker system or labeling system or coordinate system to specify the points in the space with a set of real numbers. In general there will be many ways to set up such a marker system, and we assume that there will be transformations between them. An excellent example to remember is the Euclidean 3 -space of classical geometry and physics, labeled by Cartesian or spherical coordinates. We denote the transformation between two coordinate systems, denote them as unprimed and primed, by a set of functions
$$
x^{\prime j}=f^{j}\left(x^{n}\right)
$$
The functions $f^{j}$ are assumed to be continuous monotonic one-to-one and differentiable as often as needed. The transformation therefore has an inverse. For brevity we usually denote the transformation and its inverse in shorthand notation,

$$
x^{\prime j}=x^{\prime j}\left(x^{n}\right), \quad x^{k}=x^{k}\left(x^{\prime j}\right)
$$
The square array of derivatives we denote as
$$
\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^{n}}, \quad \frac{\partial x^{j}}{\partial x^{\prime /}}
$$
These are the transformation or Jacobian matrices familiar from elementary calculus. Loosely speaking a space coordinatized in several different ways by $n$ real numbers as we use here is called an $n$-dimensional manifold. A manifold is defined as a space which locally resembles a Euclidean space and in which we can perform the usual analytic operations as in Euclidean space. Thus we can for example set up systems of differential equations in a manifold. See Appendix 1 for a more detailed discussion of the manifold idea.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Vectors, Component View

We will first discuss mathematical objects in Riemann space from the point of view of their components, the view mainly used in the early part of the twentieth century for the invention and the early development of general relativity by Einstein and others (Pauli 1958; Bergmann 1942; Rindler 1969; Adler 1975). This is the approach we used in special relativity in Part I for Minkowski spacetime but now applied to a Riemann space. In Sect. 4.3, we will relate the component view to the more modern invariant abstract view, which became popular and fashionable in the later twentieth century (Misner 1973; Schutz 2009).

As we have already noted the component view may be termed the classic view, and is most useful for calculations such as finding solutions to the Einstein field equations and solving for the trajectories of moving objects. The abstract view can give a different perspective on the mathematics. The reader interested only in applications such as cosmology might choose to skim or skip the sections on the abstract view but could benefit from being exposed to both views.

The line element in $(4.4)$ is the archetype of an invariant, a crucially important mathematical object; it is postulated to be the same in all coordinate systems. That is an invariant or scalar is defined as any quantity which has the same value in all coordinate systems, for example for an unprimed and a primed system,
$$
\phi^{\prime}=\phi \text { scalar or invariant. }
$$
The concept of an invariant is one of the most fundamental in relativity and all of physics. Virtually everything that theory predicts should be expressed as an invariant for comparing with experimental measurement since nature does not know or care about our choice of coordinates.

Note that in this chapter we generally will not limit ourselves to any specific number of dimensions or metric signature, and the indices that we will use may be either Latin or Greek.

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Vectors and 1-Forms, Abstract View

We can connect the above idea of vectors as component $n$-tuples with the idea of intrinsic or abstract vectors, often represented in physics by arrows, and in the process introduce a definition of a metric. We may think of such vectors as intrinsic or abstract, but the word physical is also appropriate since they are taken to exist independently of the coordinate system and are invariant. These abstract vectors are taken to exist in an idealized physical world, whereas component vectors only exist when we represent them in terms of a specific coordinate system.

Look at a single point $P$ in a Reimann space. We introduce a set of basis vectors $\vec{e}_{k}$ along the grid lines illustrated in Fig. $4.5$ for two dimensions, but we do not assume the basis is orthonormal. The basis set spans a vector space associated with that point. Such a basis is naturally called a coordinate basis.

A small displacement $\mathrm{d} \vec{s}$ along a curve or in some specified direction is given by
$$
\mathrm{d} \vec{s}=\vec{e}{j} \mathrm{~d} x^{j}, $$ and its square is given by $$ \begin{aligned} &\mathrm{d} \vec{s}^{2}=\mathrm{d} s^{2}=\left(\vec{e}{j} \mathrm{~d} x^{j}\right) \cdot\left(\vec{e}{k} \mathrm{~d} x^{k}\right)=\left(\vec{e}{j} \cdot \vec{e}{k}\right) \mathrm{d} x^{j} \mathrm{~d} x^{k}=g{j k} \mathrm{~d} x^{j} \mathrm{~d} x^{k} \
&g_{j k}=\vec{e}{j} \cdot \vec{e}{k} .
\end{aligned}
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|PHYS6203

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Riemann Spaces

我们现在从狭义相对论的闵可夫斯基时空过渡到更一般的空间和坐标系以及其中的数学对象、向量、张量和形式。有多年的标准参考文本(Pauli 1958;Bergmann 1942;Rindler 1969;Weinberg 1972;Misner 1973;Adler 1975;Kenyon 1990)。在这里,我们将严重依赖示例来说明基本思想。

想象一个物理空间,例如图 4.1 中的黑板或球体或圆环面,或经典物理学的欧几里得 3 空间。特别是包括我们在第一部分研究的狭义相对论的时空。我们想象一个标记系统或标记系统或坐标系统来用一组实数指定空间中的点。一般来说,建立这样一个标记系统的方法有很多,我们假设它们之间会有转换。要记住的一个很好的例子是经典几何和物理学的欧几里得 3 空间,由笛卡尔或球坐标标记。我们用一组函数表示两个坐标系之间的转换,将它们表示为无底数和有底数

X′j=Fj(Xn)
功能Fj被假定为连续单调的一对一并且可以根据需要经常微分。因此,该变换具有逆。为简洁起见,我们通常用简写符号表示变换及其逆,

X′j=X′j(Xn),Xķ=Xķ(X′j)
我们将导数的方阵表示为

∂X′j∂Xn,∂Xj∂X′/
这些是初等微积分中熟悉的变换或雅可比矩阵。粗略地说,一个以几种不同方式协调的空间n我们在这里使用的实数称为n维流形。流形被定义为一个局部类似于欧几里得空间的空间,我们可以在其中执行欧几里得空间中的常见分析操作。因此,我们可以例如在流形中建立微分方程系统。有关流形概念的更详细讨论,请参见附录 1。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Vectors, Component View

我们将首先从其组成部分的角度讨论黎曼空间中的数学对象,该观点主要用于 20 世纪早期爱因斯坦等人的广义相对论的发明和早期发展(Pauli 1958;Bergmann 1942) ;林德勒 1969 年;阿德勒 1975 年)。这是我们在第一部分狭义相对论中用于闵可夫斯基时空的方法,但现在应用于黎曼空间。昆虫。4.3,我们将组件视图与更现代的不变抽象视图联系起来,后者在 20 世纪后期变得流行和流行(Misner 1973; Schutz 2009)。

正如我们已经注意到的,分量视图可以称为经典视图,并且对于诸如寻找爱因斯坦场方程的解和求解运动物体的轨迹等计算非常有用。抽象的观点可以给数学一个不同的视角。只对宇宙学等应用感兴趣的读者可能会选择略读或跳过抽象视图上的部分,但可以从两种视图中受益。

中的线元素(4.4)是不变量的原型,是至关重要的数学对象;假设在所有坐标系中都是相同的。即不变量或标量被定义为在所有坐标系中具有相同值的任何量,例如对于未引数和已引数系统,

φ′=φ 标量或不变量。 
不变量的概念是相对论和所有物理学中最基本的概念之一。实际上,理论预测的所有内容都应该表示为与实验测量比较的不变量,因为大自然不知道也不关心我们对坐标的选择。

请注意,在本章中,我们通常不会将自己限制在任何特定数量的维度或度量签名上,我们将使用的索引可能是拉丁语或希腊语。

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Vectors and 1-Forms, Abstract View

我们可以将上述向量的思想作为组件连接起来n- 具有内在或抽象向量概念的元组,在物理学中通常用箭头表示,并在此过程中引入度量的定义。我们可以认为这些向量是内在的或抽象的,但物理这个词也是合适的,因为它们被认为独立于坐标系而存在并且是不变的。这些抽象向量被认为存在于理想化的物理世界中,而分量向量仅在我们根据特定坐标系表示它们时才存在。

看一个点磷在莱曼空间。我们引入一组基向量和→ķ沿着如图所示的网格线。4.5对于二维,但我们不假设基础是正交的。基组跨越与该点相关的向量空间。这样的基自然称为坐标基。

小位移ds→沿曲线或某个指定方向由下式给出

ds→=和→j dXj,它的平方由下式给出

ds→2=ds2=(和→j dXj)⋅(和→ķ dXķ)=(和→j⋅和→ķ)dXj dXķ=Gjķ dXj dXķ Gjķ=和→j⋅和→ķ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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