物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Inviscid Fluids

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流体力学是物理学的一个分支,涉及流体(液体、气体和等离子体)的力学和对它们的力。它的应用范围很广,包括机械、土木工程、化学和生物医学工程、地球物理学、海洋学、气象学、天体物理学和生物学。

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物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Inviscid Fluids

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Euler’s Equations

As we have already seen in Sect. 4.1.3, Euler’s equation emerges from the Navier-Stokes equation (4.8a, $4.8 \mathrm{~b})$ for $R e=\infty$. However Euler’s equation is also a special case of Cauchy’s equation (2.38) if we use the particular constitutive relation for inviscid fluids (3.9). Euler’s equation then reads
$$
\varrho \frac{\mathrm{D} u_{i}}{\mathrm{D} t}=\varrho k_{i}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(-p \delta_{i j}\right)
$$
or

$$
\varrho \frac{\mathrm{D} u_{i}}{\mathrm{D} t}=\varrho k_{i}-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}
$$
and it holds without restriction for all inviscid flows. In symbolic notation we write
$$
\varrho \frac{\mathrm{D} \vec{u}}{\mathrm{D} t}=\varrho \vec{k}-\nabla p
$$
We derive Euler’s equations in natural coordinates from (4.40b) by inserting the acceleration in the form (1.24). Relative to the basis vectors $\vec{t}$ in the direction of the pathline, $\vec{n}{\sigma}$ in the principle normal direction and $\vec{b}{\sigma}$ in the binormal direction, the vectors $\nabla p$ and $\vec{k}$ are
$$
\begin{gathered}
\nabla p=\frac{\partial p}{\partial \sigma} \vec{t}+\frac{\partial p}{\partial n} \vec{n}{\sigma}+\frac{\partial p}{\partial b} \vec{b}{\sigma} \
\vec{k}=k_{\sigma} \vec{t}+k_{n} \vec{n}{\sigma}+k{b} \vec{b}{\sigma} \end{gathered} $$ and the component form of Euler’s equation in natural coordinates, with $u=|\vec{u}|$, becomes $$ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial \sigma} &=k{\sigma}-\frac{1}{\varrho} \frac{\partial p}{\partial \sigma} \
\frac{u^{2}}{R} &=k_{n}-\frac{1}{\varrho} \frac{\partial p}{\partial n} \
0 &=k_{b}-\frac{1}{\varrho} \frac{\partial p}{\partial b}
\end{aligned}
$$

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Bernoulli’s Equation

Under mildly restricting assumptions it is possible to find so-called first integrals of Euler’s equations, which then represent conservation laws. The most important first integral of Euler’s equations is Bernoulli’s equation. We assume that the mass body force has a potential $(\vec{k}=-\nabla \psi)$, i.e., $\psi=-g_{i} x_{i}$ for the gravitational force. We multiply Euler’s equation (4.40a) by $u_{i}$, thus forming the inner product with $\vec{u}$, and obtain the relation
$$
u_{i} \frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{i} u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\varrho} u_{i} \frac{\partial p}{\partial x_{i}}-u_{i} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}
$$
After transforming the second term on the left-hand side and relabelling the dummy indices, this becomes
$$
u_{j} \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left[\frac{u_{i} u_{i}}{2}\right]=-\frac{1}{\varrho} u_{j} \frac{\partial p}{\partial x_{j}}-u_{j} \frac{\partial \psi}{\partial x_{j}}
$$
We could, in principle, integrate this equation along an arbitrary smooth curve, but we arrive at a particularly simple and important result if we integrate along a streamline. With $u=|\vec{u}|$, from the differential equation for the streamline (1.11), we have

$$
u_{j}=u \mathrm{~d} x_{j} / \mathrm{d} s,
$$
so that
$$
u_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}=u \frac{\mathrm{d} x_{j}}{\mathrm{~d} s} \frac{\partial}{\partial x_{j}}=u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}
$$
holds, and because $u_{j} \partial u_{j} / \partial t=u \partial u / \partial t$ we can write for (4.53)
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}\left[\frac{u^{2}}{2}\right]=-\frac{1}{\varrho} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} s}-\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} s}
$$
Integration along the arc length of the streamline leads us to Bernoulli’s equation in the form
$$
\int \frac{\partial u}{\partial t} \mathrm{~d} s+\frac{u^{2}}{2}+\int \frac{\mathrm{d} p}{\varrho}+\psi=C
$$
or integrating from the initial point $A$ to the final point $B$ we get the definite integral
$$
\int_{A}^{B} \frac{\partial u}{\partial t} \mathrm{~d} s+\frac{1}{2} u_{B}^{2}+\int_{A}^{B} \frac{1}{\varrho} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} s} \mathrm{~d} s+\psi_{B}=\frac{1}{2} u_{A}^{2}+\psi_{A}
$$

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Vortex Theorems

We shall now consider the circulation of a closed material line as it was introduced by (1.105)
$$
\Gamma=\oint_{(C(t))} \vec{u} \cdot \mathrm{d} \vec{x} .
$$
Its rate of change is calculated using (1.101) to give
$$
\frac{\mathrm{D} \Gamma}{\mathrm{D} t}=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t} \oint_{(C(t))} \vec{u} \cdot \mathrm{d} \vec{x}=\oint_{(C)} \frac{\mathrm{D} \vec{u}}{\mathrm{D} t} \cdot \mathrm{d} \vec{x}+\oint_{(C)} \vec{u} \cdot \mathrm{d} \vec{u} .
$$
The last closed integral vanishes, since $\vec{u} \cdot \mathrm{d} \vec{u}=\mathrm{d}(\vec{u} \cdot \vec{u} / 2)$ is a total differential of a single valued function, and the starting point of integration coincides with the end point.

We now follow on with the discussion in connection with Eq. (1.102), and seek the conditions for the time derivative of the circulation to vanish. It has already been shown that in these circumstances the acceleration $\mathrm{D} \vec{i} / \mathrm{D} t$ must have a potential $I$, but this is not the central point of our current discussion.

Using Euler’s equation $(4.40 \mathrm{a}, 4.40 \mathrm{~b})$ we acquire the rate of change of the line integral over the velocity vector in the form
$$
\frac{\mathrm{D} \Gamma}{\mathrm{D} t}=\oint_{(C)} \vec{k} \cdot \mathrm{d} \vec{x}-\oint_{(C)} \frac{\nabla p}{\varrho} \cdot \mathrm{d} \vec{x}
$$
and conclude from this that $\mathrm{D} \Gamma / \mathrm{D} t$ vanishes if $\vec{k} \cdot \mathrm{d} \vec{x}$ and $(\nabla p / \varrho) \cdot \mathrm{d} \vec{x}$ can be written as total differentials. If the mass body force $\vec{k}$ has a potential the first closed integral is zero because
$$
\vec{k} \cdot \mathrm{d} \vec{x}=-\nabla \dot{\psi} \cdot \mathrm{d} \vec{x}=-\mathrm{d} \psi .
$$
In a homogeneous density field or in barotropic flow, because of
$$
\frac{\nabla p}{\varrho} \cdot \mathrm{d} \vec{x}=\frac{\mathrm{d} p}{\varrho(p)}=\mathrm{d} P
$$

the second integral also vanishes. The last three equations form the content of Thomson’s vortex theorem or Kelvin’s circulation theorem
$$
\frac{\mathrm{D} \Gamma}{\mathrm{D} t}=0 .
$$

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流体力学代写

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Euler’s Equations

正如我们已经在 Sect 中看到的那样。4.1.3,欧拉方程来自纳维-斯托克斯方程(4.8a,4.8 b)为了R和=∞. 然而,如果我们使用非粘性流体的特定本构关系 (3.9),欧拉方程也是柯西方程 (2.38) 的一个特例。欧拉方程然后读取

ϱD在一世D吨=ϱķ一世+∂∂Xj(−pd一世j)
或者

ϱD在一世D吨=ϱķ一世−∂p∂X一世
它适用于所有无粘性的流动。在符号表示法中,我们写

ϱD在→D吨=ϱķ→−∇p
我们通过在 (1.24) 形式中插入加速度,从 (4.40b) 推导出自然坐标中的欧拉方程。相对于基向量吨→在路径的方向,n→σ在主法线方向和b→σ在副法线方向上,向量∇p和ķ→是

∇p=∂p∂σ吨→+∂p∂nn→σ+∂p∂bb→σ ķ→=ķσ吨→+ķnn→σ+ķbb→σ和欧拉方程在自然坐标中的分量形式,有在=|在→|, 变成

∂在∂吨+在∂在∂σ=ķσ−1ϱ∂p∂σ 在2R=ķn−1ϱ∂p∂n 0=ķb−1ϱ∂p∂b

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Bernoulli’s Equation

在适度限制的假设下,有可能找到所谓的欧拉方程的一阶积分,然后表示守恒定律。欧拉方程最重要的一阶积分是伯努利方程。我们假设质量体力具有势(ķ→=−∇ψ), IE,ψ=−G一世X一世为万有引力。我们将欧拉方程 (4.40a) 乘以在一世,从而形成内积在→,并获得关系

在一世∂在一世∂吨+在一世在j∂在一世∂Xj=−1ϱ在一世∂p∂X一世−在一世∂ψ∂X一世
在转换左侧的第二项并重新标记虚拟索引之后,这变为

在j∂在j∂吨+在j∂∂Xj[在一世在一世2]=−1ϱ在j∂p∂Xj−在j∂ψ∂Xj
原则上,我们可以将这个方程沿任意平滑曲线积分,但如果我们沿流线积分,我们会得到一个特别简单且重要的结果。和在=|在→|,从流线(1.11)的微分方程,我们有

在j=在 dXj/ds,
以便

在j∂∂Xj=在dXj ds∂∂Xj=在dds
成立,并且因为在j∂在j/∂吨=在∂在/∂吨我们可以写(4.53)

∂在∂吨+dds[在22]=−1ϱdp ds−dψds
沿流线弧长的积分将我们引向伯努利方程的形式

∫∂在∂吨 ds+在22+∫dpϱ+ψ=C
或从初始点整合一个到最后一点乙我们得到定积分

∫一个乙∂在∂吨 ds+12在乙2+∫一个乙1ϱdp ds ds+ψ乙=12在一个2+ψ一个

物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Vortex Theorems

我们现在将考虑由(1.105)引入的封闭物料线的循环

Γ=∮(C(吨))在→⋅dX→.
它的变化率使用 (1.101) 计算得到

DΓD吨=DD吨∮(C(吨))在→⋅dX→=∮(C)D在→D吨⋅dX→+∮(C)在→⋅d在→.
最后一个闭积分消失,因为在→⋅d在→=d(在→⋅在→/2)是单值函数的全微分,积分起点与终点重合。

我们现在继续讨论与方程式有关的讨论。(1.102),求循环时间导数为零的条件。已经表明,在这些情况下,加速度D一世→/D吨必须有潜力我,但这不是我们当前讨论的中心点。

使用欧拉方程(4.40一个,4.40 b)我们获得线积分在速度矢量上的变化率,形式为

DΓD吨=∮(C)ķ→⋅dX→−∮(C)∇pϱ⋅dX→
并由此得出结论DΓ/D吨如果消失ķ→⋅dX→和(∇p/ϱ)⋅dX→可以写成全微分。如果质量体力ķ→有可能第一个闭积分为零,因为

ķ→⋅dX→=−∇ψ˙⋅dX→=−dψ.
在均匀密度场或正压流中,由于

∇pϱ⋅dX→=dpϱ(p)=d磷

第二个积分也消失了。最后三个方程构成汤姆逊涡旋定理或开尔文循环定理的内容

DΓD吨=0.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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