物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|PHYC20014

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理论力学主要研究物体的力学性能及运动规律,是力学的基础学科,由静力学、运动学和动力学三大部分组成。也有人认为运动学是动力学的一部分,而提出二分法。

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物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|PHYC20014

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Constitutive Relations

Let us consider an elastic solid occupying volume $V$ with the boundary $S=\partial V$. In what follows we consider infinitesimal deformations, so the kinematics is based on the displacement field
$$
\mathbf{u}=\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)
$$
where $\mathbf{x}$ is the position vector and $t$ is time. In Cartesian coordinates $x_{k}, k=1,2,3$, (1) takes the form
$$
u_{k}=u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)
$$
with $\mathbf{u}=\mathbf{u}{k} \mathbf{i}{k}$. Here $\mathbf{i}_{k}$ are Cartesian base vectors and the Einstein summation rule is utilized. In what follows we use the direct (coordinate-free) tensor analysis as described in Lebedev et al. [26], Eremeyev et al. [15].

For simplicity we consider an isotropic material in the bulk. So we have the following constitutive equations
$$
\begin{aligned}
\mathscr{W} &=\mu \mathbf{e}: \mathbf{e}+\frac{1}{2} \lambda(\operatorname{tr} \mathbf{e})^{2} \
\mathscr{K} &=\frac{1}{2} \rho \dot{\mathbf{u}} \cdot \dot{\mathbf{u}} \
\boldsymbol{\sigma} & \equiv \frac{\partial \mathscr{W}}{\partial \mathbf{e}}=2 \mu \mathbf{e}+\lambda \mathbf{I} \operatorname{tr} \mathbf{e}
\end{aligned}
$$

where $\mathscr{W}$ and $\mathscr{K}$ are the strain energy and kinetic energy densities, $\lambda$ and $\mu$ are Lamé elastic moduli, $\boldsymbol{\sigma}$ is the stress tensor, $\mathrm{e}$ is the linear strain tensor,
$$
\mathbf{e}=\frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u})^{T}\right), \quad \nabla \mathbf{u}=\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} \mathbf{i}{i} \otimes \mathbf{i}{j}
$$
“tr” is the trace operator, and $\rho$ is the mass density. The overdot stands for the derivative with respect to $t$, the superscript ” $T$ ” means the transpose operation,” “” denotes the scalar product of second-order tensors, $\nabla$ is the $3 \mathrm{D}$ nabla operator, and ” $\otimes$ ” stands for dyadic product. In what follows for brevity we use the notation $\frac{\partial}{\partial x_{j}}=\partial_{j}$, so, for example, $\nabla \mathbf{u}=\partial_{j} u_{i} \mathbf{i}{j} \otimes \mathbf{i}{i}$.

Within the surface elasticity in addition to the constitutive equations in the bulk, we introduce the surface strain energy and the surface kinetic energy. For example, within the Gurtin-Murdoch linear isotropic model the strain energy is given by
$$
\begin{gathered}
\mathscr{W}{s}=\mu{s} \boldsymbol{\varepsilon}: \boldsymbol{\varepsilon}+\frac{1}{2} \lambda_{s}(\operatorname{tr} \boldsymbol{\varepsilon})^{2}, \
\mathbf{s} \equiv \frac{\partial \mathscr{W}{s}}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}=\mu{s} \boldsymbol{\varepsilon}+\lambda_{s}(\operatorname{tr} \boldsymbol{\varepsilon}) \mathbf{P}, \
\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{P} \cdot\left(\nabla_{s} \mathbf{u}\right)+\left(\nabla_{s} \mathbf{u}\right)^{T} \cdot \mathbf{P}\right)
\end{gathered}
$$

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Anti-plane Motions of an Elastic Half-Space

In order to demonstrate some peculiarities of the model let us consider the propagation of the surface anti-plane waves. Earlier such analysis was performed within the Gurtin-Murdoch model by Eremeyev et al. [14] and it was compared with the

Toupin-Mindlin strain gradient elasticity by Eremeyev et al. [16]. Following these works, let us consider an elastic half-space $x_{3} \leq 0$. The anti-plane motions have one of the forms, see Achenbach [2],
$$
\mathbf{u}=u_{1}\left(x_{2}, x_{3}, t\right) \mathbf{i}{1}, \quad \text { or } \quad \mathbf{u}=u{2}\left(x_{1}, x_{3}, t\right) \mathbf{i}{2}, $$ which correspond two different direction of wave propagation. With (15) the general motion equations reduce into two wave equations with respect to $u{1}$ and $u_{2}$, respectively,
$$
\begin{aligned}
&\mu\left(\partial_{2}^{2}+\partial_{3}^{2}\right) u_{1}=\rho \partial_{t}^{2} u_{1} \
&\mu\left(\partial_{1}^{2}+\partial_{3}^{2}\right) u_{2}=\rho \partial_{t}^{2} u_{2}
\end{aligned}
$$
Here $\partial_{t}$ stands for the derivative with respect to $t$.
Making standard assumption on steady-state behaviour, we are looking for solution of $(16)$ and $(17)$ in the form
$$
u_{\alpha}=U_{\alpha}\left(x_{\beta}, x_{3}\right) \exp (i \omega t), \quad \alpha=1,2, \beta=2,1
$$
where $\omega$ is a circular frequency, $i$ is the imaginary unit, and $U_{\alpha}$ is a amplitude. As a result, (16) and (17) transform into
$$
\begin{aligned}
&\mu\left(\partial_{2}^{2}+\partial_{3}^{2}\right) U_{1}=-\rho \omega_{t}^{2} U_{1} \
&\mu\left(\partial_{1}^{2}+\partial_{3}^{2}\right) U_{2}=-\rho \omega^{2} U_{2}
\end{aligned}
$$

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Problem Statement and Derivation of the Governing

Suppose we have a piecewise-uniform elastic plane, made by alternately connecting layers of thickness $2 h$ from two dissimilar materials. The abscissa axis of the Cartesian coordinate system $O x y$ is directed along the dividing line of materials. On median lines of dissimilar layers $y=(4 n+1) h$ and $y=(4 n-1) h(n \in Z)$ on systems of intervals $L_{1}=\bigcup_{j=1}^{N}\left(a_{j}, b_{j}\right)$ and $L_{2}=\bigcup_{j=1}^{M}\left(c_{j}, d_{j}\right)$ are located cracks and elastic thin inclusions of thickness $h_{j}$ and reduced elastic moduli $E_{I}^{(j)}=E_{j} I\left(1-v_{j}^{2}\right)(j=1, M)$ respectively. We assume that the plane is deformed under the influence of distributed loads $p_{j}(x)$, applied to the cracks $\left(a_{j}, b_{j}\right)(j=1, N)$, concentrated loads $P_{0}^{(j)}(j=1, M)$ applied to inclusions at points $x_{0}^{(j)} \in\left[c_{j}, d_{j}\right](j=1, M)$ and uniformly distributed loads $q_{1}$ and $q_{2}$, applied to the layers at infinity (Fig. 1 ).

Obviously, with this formulation of the problem, the lines $y=(2 n+1) h(n \in Z)$ are lines of symmetry. As a result, the stated problem can be formulated as a problem for a piecewise homogeneous layer (base cell) occupying the region $\Omega{-\infty<x<\infty ;|y| \leq h}$, on the boundaries $y=\pm h$ of which outside cracks and inclusions, symmetry conditions are specified, on $L_{1}$ normal stresses are specified, and on $L_{2}$ contact conditions of inclusion with a base are specified. Here, the inclusions are interpreted as one-dimensional continua, which under the influence of concentrated loads applied to them and tangential contact stresses are in a uniaxial stress state [9]. Also, we assume that due to the smallness of the thickness of inclu-sions and the symmetry of the problem with respect to the axes of the inclusions, the vertical displacements of the points of the inclusions are zero.

The task is to determine the patterns of change in the tangential contact stresses acting on the long sides of the inclusions, crack opening and intensity factors of the fracture stresses at the end points of the cracks depending on the mechanical and geometric parameters.

Based on this assumptions, we will have the following conditions on $L_{1}$ and $L_{2}$ :
$$
\begin{gathered}
\tau_{x y}^{(1)}(x, h)=0 ; \quad \sigma_{y}^{(1)}(x, h)=-p_{j}(x) \quad\left(a_{j}<x<b_{j}, \quad j=1, N\right) \
V_{2}(x,-h)=0 ; \quad \frac{d U_{2}(x,-h)}{d x}=\varepsilon_{j}(x) \quad\left(c_{j}<x<d_{j}, \quad j=1, M\right)
\end{gathered}
$$

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|PHYC20014

理论力学代考

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Constitutive Relations

让我们考虑一个弹性固体占据体积在与边界小号=∂在. 在下文中,我们考虑无穷小的变形,因此运动学基于位移场

在=在(X,吨)
在哪里X是位置向量和吨是时间。在笛卡尔坐标中Xķ,ķ=1,2,3, (1) 采取形式

在ķ=在(X1,X2,X3,吨)
和在=在ķ一世ķ. 这里一世ķ是笛卡尔基向量,并且使用了爱因斯坦求和规则。在下文中,我们使用 Lebedev 等人描述的直接(无坐标)张量分析。[26],Eremeyev 等人。[15]。

为简单起见,我们考虑整体上的各向同性材料。所以我们有以下本构方程

在=μ和:和+12λ(tr⁡和)2 ķ=12ρ在˙⋅在˙ σ≡∂在∂和=2μ和+λ我tr⁡和

在哪里在和ķ是应变能和动能密度,λ和μ是 Lamé 弹性模量,σ是应力张量,和是线性应变张量,

和=12(∇在+(∇在)吨),∇在=∂在j∂X一世一世一世⊗一世j
“tr”是跟踪运算符,并且ρ是质量密度。过点代表关于的导数吨, 上标”吨” 表示转置操作,” “” 表示二阶张量的标量积,∇是个3Dnabla 运营商,和”⊗”代表二元乘积。下面为简洁起见,我们使用符号∂∂Xj=∂j,所以,例如,∇在=∂j在一世一世j⊗一世一世.

在表面弹性体中除了本构方程外,我们还引入了表面应变能和表面动能。例如,在 Gurtin-Murdoch 线性各向同性模型中,应变能由下式给出

在s=μse:e+12λs(tr⁡e)2, s≡∂在s∂e=μse+λs(tr⁡e)磷, e=12(磷⋅(∇s在)+(∇s在)吨⋅磷)

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Anti-plane Motions of an Elastic Half-Space

为了证明模型的一些特性,让我们考虑表面反平面波的传播。早些时候,Eremeyev 等人在 Gurtin-Murdoch 模型中进行了此类分析。[14] 并与

Eremeyev 等人的 Toupin-Mindlin 应变梯度弹性。[16]。在这些工作之后,让我们考虑一个弹性半空间X3≤0. 反平面运动具有其中一种形式,参见 Achenbach [2],

在=在1(X2,X3,吨)一世1, 或者 在=在2(X1,X3,吨)一世2,这对应于两个不同的波传播方向。使用(15),一般运动方程减少为两个波动方程关于在1和在2, 分别,

μ(∂22+∂32)在1=ρ∂吨2在1 μ(∂12+∂32)在2=ρ∂吨2在2
这里∂吨代表关于的导数吨.
对稳态行为做出标准假设,我们正在寻找解决方案(16)和(17)在表格中

在一个=在一个(Xb,X3)经验⁡(一世ω吨),一个=1,2,b=2,1
在哪里ω是圆频率,一世是虚数单位,并且在一个是一个幅度。因此,(16) 和 (17) 变为

μ(∂22+∂32)在1=−ρω吨2在1 μ(∂12+∂32)在2=−ρω2在2

物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Problem Statement and Derivation of the Governing

假设我们有一个分段均匀的弹性平面,由交替连接厚度层构成2H来自两种不同的材料。笛卡尔坐标系的横坐标轴○X是是沿着材料的分界线指向的。在不同层的中线上是=(4n+1)H和是=(4n−1)H(n∈从)关于区间系统大号1=⋃j=1ñ(一个j,bj)和大号2=⋃j=1米(Cj,dj)位于裂缝和弹性薄夹杂物的厚度Hj和降低的弹性模量和我(j)=和j我(1−在j2)(j=1,米)分别。我们假设平面在分布载荷的影响下变形pj(X), 应用于裂缝(一个j,bj)(j=1,ñ), 集中载荷磷0(j)(j=1,米)应用于点的夹杂物X0(j)∈[Cj,dj](j=1,米)和均匀分布的载荷q1和q2,应用于无穷远处的层(图 1)。

显然,有了这个问题的表述,线条是=(2n+1)H(n∈从)是对称线。因此,所述问题可以表述为占据该区域的分段同质层(基本单元)的问题Ω−∞<X<∞;|是|≤H, 在边界上是=±H其中规定了外部裂纹和夹杂物、对称条件,在大号1指定了法向应力,并且在大号2规定了包含与碱基的接触条件。在这里,夹杂物被解释为一维连续体,在施加在它们上的集中载荷和切向接触应力的影响下,它们处于单轴应力状态[9]。此外,我们假设由于夹杂物的厚度较小,并且问题相对于夹杂物轴的对称性,夹杂物各点的垂直位移为零。

任务是根据力学和几何参数确定作用在夹杂物长边上的切向接触应力的变化模式、裂纹开口和裂纹端点处断裂应力的强度因子。

基于这个假设,我们将有以下条件大号1和大号2 :

τX是(1)(X,H)=0;σ是(1)(X,H)=−pj(X)(一个j<X<bj,j=1,ñ) 在2(X,−H)=0;d在2(X,−H)dX=ej(X)(Cj<X<dj,j=1,米)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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