物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

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理论力学是研究物质的运动和导致这种运动的力量。它被应用于分析任何动态系统,从原子到太阳系。薄壁管的应力、变形和稳定性分析是物理学和工程学的一个经典课题。

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物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

  • Exponential function
    By this one understands the following function:
    $$
    y=a^{x}
    $$
    $a$ is called the ‘basis’ and $x$ the ‘exponent’. Here $a$ may be an arbitrary real number. Very often one uses Euler’s number $e$ (1.18) writing:
    $$
    y=y_{0} e^{\alpha x} \equiv y_{0} \exp (\alpha x)
    $$
    This function is of great importance in theoretical physics and appears often in a variety of contexts (rate of growth, increase of population, law of radioactive decay, capacitor charge and discharge, …) (Fig. 1.8).

In Sect. 1.1.10 we will be able to prove, by using the Taylor expansion, the following important series expansion of the exponential function:
$$
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}
$$

  • Logarithm
    It is just the inverse function of $y=a^{x}$ being defined only for $y>0$ :
    Logarithm to the base $a$
    $$
    x=\log {a} y . $$ Thus, if $a$ is raised to the power of $\log {a} y$ one gets $y$. Rather often one uses $a=10$ and calls it then ‘common (decimal) logarithm’:
    $$
    \log {10} 100=2 ; \log {10} 1000=3 ; \ldots
    $$
    However, in physics we use most frequently the ‘natural logarithm’ with base $a=e$ denoted by the symbol $\log _{e} \equiv \ln$. In this case the explicit indication of the base is left out:
    $$
    \ln \left(e^{x}\right)=x \Longleftrightarrow e^{\ln x}=x .
    $$
    With $y=e^{x}$ and $y^{\prime}=e^{x^{\prime}}$ as well as $a, c \in \mathbb{R}$ we can derive some important rules for the logarithm:
    $$
    \begin{aligned}
    \ln \left(y \cdot y^{\prime}\right)=\ln \left(e^{x} \cdot e^{x^{\prime}}\right) &=\ln \left(e^{x+x^{\prime}}\right)=x+x^{\prime} \
    =& \ln y+\ln y^{\prime}
    \end{aligned}
    $$
    $$
    \ln (c \cdot y)=\ln \left(c \cdot e^{x}\right)=\ln \left(e^{\ln c} \cdot e^{x}\right)=\ln \left(e^{\ln c+x}\right)=\ln c+x
    $$
    $$
    =\ln c+\ln y
    $$

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Differential Quotient

The ‘slope ( gradient)’ of a straight line is the quotient of ‘height difference’ $\Delta y$ and ‘base line’ $\Delta x$ (see Fig. 1.10). For the gradient angle $\alpha$ we obviously have:
$$
\tan \alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}
$$
Analogously one defines the slope (gradient) of an arbitrary function $f(x)$ at a point $P$ (see Fig. 1.11). The secant $\overline{P Q}$ has the increase
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan \alpha^{\prime}
$$
One denotes
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
$$
as ‘difference quotient’. If we now shift the point $Q$ along the curve towards the point $P$ then the increase of the secant becomes the increase of the tangent on the

curve $f(x)$ at $P$ (broken line in Fig. 1.11),
$$
\tan \alpha=\lim {\alpha^{\prime} \rightarrow \alpha} \tan \alpha^{\prime}=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$
and one arrives at the ‘differential quotient’
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \equiv \frac{d y}{d x} .
$$
which is called the ‘first derivative of the function $f(x)$ with respect to $x$ at the point $x$ ‘:
$$
\frac{d y}{d x} \equiv \frac{d}{d x} f(x) \equiv f^{\prime}(x)
$$
Example
$$
f(x)=x^{2}
$$
Difference quotient:
$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=\frac{2 x \Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=2 x+\Delta x
$$
Thus the first derivative is:
$$
f^{\prime}(x)=2 x
$$
All the differential quotients do not exhibit a unique limit everywhere! The curve in Fig. $1.12$ is continuous at $P$, but has there different slopes if we come, respectively,from the left and the right hand side. One says that $f(x)$ is ‘not differentiable’ at the point $P$.

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Rules of Differentiation

We list some of the central rules for differentiating functions of one independent variable:

  1. constant factor:
    $$
    y=c \cdot f(x) \Longrightarrow y^{\prime}=c \cdot f^{\prime}(x),
    $$
    proof:
    $$
    \begin{aligned}
    y^{\prime} &=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{c \cdot f(x+\Delta x)-c \cdot f(x)}{\Delta x} \ &=c \cdot \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=c \cdot f^{\prime}(x)
    \end{aligned}
    $$
  2. sum:
    $$
    y=f(x)+g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
    $$
    This can directly be read off from the definition.product:
  3. $$
  4. y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x),
  5. $$
  6. proof:
  7. $$
  8. \begin{aligned}
  9. y^{\prime}=& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}(f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)-f(x) \cdot g(x)) \ =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}((f(x+\Delta x)-f(x)) \cdot g(x+\Delta x)\
  10. &+g(x+\Delta x) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)) \
  11. =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) \ &+\lim {\Delta x \rightarrow 0} f(x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \
  12. =& f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x) .
  13. \end{aligned}
  14. $$
  15. In the last step we have exploited the fact that the functions $g$ and $f$ of course have to be continuous since otherwise the derivatives would not exist.
  16. Example Suppose $n \in \mathbb{N}$, then:
  17. $$
  18. x^{n} \cdot \frac{1}{x^{n}}=1 \quad \curvearrowright\left(x^{n}\right)^{\prime} \cdot \frac{1}{x^{n}}+x^{n} \cdot\left(\frac{1}{x^{n}}\right)^{\prime}=0
  19. $$
  20. $$
  21. \curvearrowright n x^{n-1} \cdot \frac{1}{x^{n}}=-x^{n} \cdot\left(x^{-n}\right)^{\prime} .
  22. $$
  23. As an extension to (1.77) we now have a code for how to differentiate a power of $x$ with negative exponent:
  24. $$
  25. \left(x^{-n}\right)^{\prime}=-n x^{-(n+1)}
  26. $$
  27. quotient
  28. $$
  29. y=\frac{f(x)}{g(x)} ; g(x) \neq 0 \Longrightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}
  30. $$
  31. proof:
  32. First we investigate the derivative of
  33. $$
  34. h(x)=\frac{1}{g(x)},
  35. $$
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理论力学代写

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

  • 指数函数
    由此理解以下函数:
    是=一种X
    一种被称为“基础”并且X“指数”。这里一种可以是任意实数。很多时候使用欧拉数和(1.18) 写作:
    是=是0和一种X≡是0经验⁡(一种X)
    这个函数在理论物理学中非常重要,并且经常出现在各种环境中(增长率、人口增加、放射性衰变定律、电容器充电和放电……)(图 1.8)。

昆虫。1.1.10 我们将能够通过使用泰勒展开来证明指数函数的以下重要级数展开:

和X=∑n=0∞Xnn!

  • 对数
    它只是 的反函数是=一种X仅被定义为是>0:
    以对数为底一种
    X=日志⁡一种是.因此,如果一种被提升到日志⁡一种是一个得到是. 往往一种用途一种=10然后将其称为“常用(十进制)对数”:
    日志⁡10100=2;日志⁡101000=3;…
    然而,在物理学中,我们最常使用带底的“自然对数”一种=和用符号表示日志和≡ln. 在这种情况下,基地的明确指示被省略:
    ln⁡(和X)=X⟺和ln⁡X=X.
    和是=和X和是′=和X′也一种,C∈R我们可以推导出一些重要的对数规则:
    ln⁡(是⋅是′)=ln⁡(和X⋅和X′)=ln⁡(和X+X′)=X+X′ =ln⁡是+ln⁡是′
    ln⁡(C⋅是)=ln⁡(C⋅和X)=ln⁡(和ln⁡C⋅和X)=ln⁡(和ln⁡C+X)=ln⁡C+X
    =ln⁡C+ln⁡是

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Differential Quotient

直线的“斜率​​(梯度)”是“高差”的商Δ是和“基线”ΔX(见图 1.10)。对于渐变角度一种我们显然有:

棕褐色⁡一种=Δ是ΔX
类似地定义任意函数的斜率(梯度)F(X)在某一点磷(见图 1.11)。割线磷问¯有增加

Δ是ΔX=棕褐色⁡一种′
一表示

Δ是ΔX=F(X+ΔX)−F(X)ΔX
作为“差商”。如果我们现在转移点问沿曲线朝向该点磷那么割线的增加就变成了切线的增加

曲线F(X)在磷(图 1.11 中的虚线),

棕褐色⁡一种=林一种′→一种棕褐色⁡一种′=林ΔX→0Δ是ΔX
一个到达“微商”

林ΔX→0Δ是ΔX≡d是dX.
这被称为“函数的一阶导数”F(X)关于X在这一点上X ‘:

d是dX≡ddXF(X)≡F′(X)
例子

F(X)=X2
差商:

Δ是ΔX=(X+ΔX)2−X2ΔX=2XΔX+(ΔX)2ΔX=2X+ΔX
因此一阶导数是:

F′(X)=2X
所有微商都不会在任何地方都表现出唯一的极限!曲线如图。1.12是连续的磷,但是如果我们分别从左侧和右侧来,会有不同的斜率。一个人说F(X)在这一点上是“不可微分的”磷.

物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Rules of Differentiation

我们列出了一些用于区分一个自变量的函数的核心规则:

  1. 常数因子:
    是=C⋅F(X)⟹是′=C⋅F′(X),
    证明:
    是′=林ΔX→0C⋅F(X+ΔX)−C⋅F(X)ΔX =C⋅林ΔX→0F(X+ΔX)−F(X)ΔX=C⋅F′(X)
  2. 和:
    是=F(X)+G(X)⟹是′=F′(X)+G′(X)
    这可以直接从 definition.product 中读取:
  3. $$
  4. y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}( X),
  5. $$
  6. 证明:
  7. $$
  8. \开始{对齐}
  9. y^{\prime}=& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}(f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)-f(x) \cdot g(x)) \ =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}((f(x+\Delta x)-f(x)) \cdot g(x+ \三角洲x)\
  10. &+g(x+\Delta x) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)) \
  11. =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) \ &+\lim {\Delta x \rightarrow 0} f(x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \
  12. =& f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x) 。
  13. \end{对齐}
  14. $$
  15. 在最后一步中,我们利用了函数G和F当然必须是连续的,否则衍生物将不存在。
  16. 示例假设n∈ñ, 然后:
  17. $$
  18. x^{n} \cdot \frac{1}{x^{n}}=1 \quad \curvearrowright\left(x^{n}\right)^{\prime} \cdot \frac{1}{x ^{n}}+x^{n} \cdot\left(\frac{1}{x^{n}}\right)^{\prime}=0
  19. $$
  20. $$
  21. \curvearrowright nx^{n-1} \cdot \frac{1}{x^{n}}=-x^{n} \cdot\left(x^{-n}\right)^{\prime} 。
  22. $$
  23. 作为 (1.77) 的扩展,我们现在有了如何区分X负指数:
  24. $$
  25. \left(x^{-n}\right)^{\prime}=-nx^{-(n+1)}
  26. $$
  27. $$
  28. y=\frac{f(x)}{g(x)} ; g(x) \neq 0 \Longrightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x) }{g^{2}(x)}
  29. $$
  30. 证明:
  31. 首先我们研究导数
  32. $$
  33. h(x)=\frac{1}{g(x)},
  34. $$
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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