### 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

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## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

• Exponential function
By this one understands the following function:
$$y=a^{x}$$
$a$ is called the ‘basis’ and $x$ the ‘exponent’. Here $a$ may be an arbitrary real number. Very often one uses Euler’s number $e$ (1.18) writing:
$$y=y_{0} e^{\alpha x} \equiv y_{0} \exp (\alpha x)$$
This function is of great importance in theoretical physics and appears often in a variety of contexts (rate of growth, increase of population, law of radioactive decay, capacitor charge and discharge, …) (Fig. 1.8).

In Sect. 1.1.10 we will be able to prove, by using the Taylor expansion, the following important series expansion of the exponential function:
$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}$$

• Logarithm
It is just the inverse function of $y=a^{x}$ being defined only for $y>0$ :
Logarithm to the base $a$
$$x=\log {a} y .$$ Thus, if $a$ is raised to the power of $\log {a} y$ one gets $y$. Rather often one uses $a=10$ and calls it then ‘common (decimal) logarithm’:
$$\log {10} 100=2 ; \log {10} 1000=3 ; \ldots$$
However, in physics we use most frequently the ‘natural logarithm’ with base $a=e$ denoted by the symbol $\log _{e} \equiv \ln$. In this case the explicit indication of the base is left out:
$$\ln \left(e^{x}\right)=x \Longleftrightarrow e^{\ln x}=x .$$
With $y=e^{x}$ and $y^{\prime}=e^{x^{\prime}}$ as well as $a, c \in \mathbb{R}$ we can derive some important rules for the logarithm:
\begin{aligned} \ln \left(y \cdot y^{\prime}\right)=\ln \left(e^{x} \cdot e^{x^{\prime}}\right) &=\ln \left(e^{x+x^{\prime}}\right)=x+x^{\prime} \ =& \ln y+\ln y^{\prime} \end{aligned}
$$\ln (c \cdot y)=\ln \left(c \cdot e^{x}\right)=\ln \left(e^{\ln c} \cdot e^{x}\right)=\ln \left(e^{\ln c+x}\right)=\ln c+x$$
$$=\ln c+\ln y$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Differential Quotient

The ‘slope ( gradient)’ of a straight line is the quotient of ‘height difference’ $\Delta y$ and ‘base line’ $\Delta x$ (see Fig. 1.10). For the gradient angle $\alpha$ we obviously have:
$$\tan \alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Analogously one defines the slope (gradient) of an arbitrary function $f(x)$ at a point $P$ (see Fig. 1.11). The secant $\overline{P Q}$ has the increase
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan \alpha^{\prime}$$
One denotes
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
as ‘difference quotient’. If we now shift the point $Q$ along the curve towards the point $P$ then the increase of the secant becomes the increase of the tangent on the

curve $f(x)$ at $P$ (broken line in Fig. 1.11),
$$\tan \alpha=\lim {\alpha^{\prime} \rightarrow \alpha} \tan \alpha^{\prime}=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
and one arrives at the ‘differential quotient’
$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \equiv \frac{d y}{d x} .$$
which is called the ‘first derivative of the function $f(x)$ with respect to $x$ at the point $x$ ‘:
$$\frac{d y}{d x} \equiv \frac{d}{d x} f(x) \equiv f^{\prime}(x)$$
Example
$$f(x)=x^{2}$$
Difference quotient:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=\frac{2 x \Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=2 x+\Delta x$$
Thus the first derivative is:
$$f^{\prime}(x)=2 x$$
All the differential quotients do not exhibit a unique limit everywhere! The curve in Fig. $1.12$ is continuous at $P$, but has there different slopes if we come, respectively,from the left and the right hand side. One says that $f(x)$ is ‘not differentiable’ at the point $P$.

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Rules of Differentiation

We list some of the central rules for differentiating functions of one independent variable:

1. constant factor:
$$y=c \cdot f(x) \Longrightarrow y^{\prime}=c \cdot f^{\prime}(x),$$
proof:
\begin{aligned} y^{\prime} &=\lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{c \cdot f(x+\Delta x)-c \cdot f(x)}{\Delta x} \ &=c \cdot \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=c \cdot f^{\prime}(x) \end{aligned}
2. sum:
$$y=f(x)+g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)$$
This can directly be read off from the definition.product:
3. $$4. y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x), 5.$$
6. proof:
7. 8. \begin{aligned} 9. y^{\prime}=& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}(f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)-f(x) \cdot g(x)) \ =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}((f(x+\Delta x)-f(x)) \cdot g(x+\Delta x)\ 10. &+g(x+\Delta x) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)) \ 11. =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) \ &+\lim {\Delta x \rightarrow 0} f(x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \ 12. =& f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x) . 13. \end{aligned} 14.
15. In the last step we have exploited the fact that the functions $g$ and $f$ of course have to be continuous since otherwise the derivatives would not exist.
16. Example Suppose $n \in \mathbb{N}$, then:
17. $$18. x^{n} \cdot \frac{1}{x^{n}}=1 \quad \curvearrowright\left(x^{n}\right)^{\prime} \cdot \frac{1}{x^{n}}+x^{n} \cdot\left(\frac{1}{x^{n}}\right)^{\prime}=0 19.$$
20. $$21. \curvearrowright n x^{n-1} \cdot \frac{1}{x^{n}}=-x^{n} \cdot\left(x^{-n}\right)^{\prime} . 22.$$
23. As an extension to (1.77) we now have a code for how to differentiate a power of $x$ with negative exponent:
24. $$25. \left(x^{-n}\right)^{\prime}=-n x^{-(n+1)} 26.$$
27. quotient
28. $$29. y=\frac{f(x)}{g(x)} ; g(x) \neq 0 \Longrightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)} 30.$$
31. proof:
32. First we investigate the derivative of
33. $$34. h(x)=\frac{1}{g(x)}, 35.$$

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Exponential Function and Logarithm

• 指数函数
由此理解以下函数：
是=一种X
一种被称为“基础”并且X“指数”。这里一种可以是任意实数。很多时候使用欧拉数和(1.18) 写作：
是=是0和一种X≡是0经验⁡(一种X)
这个函数在理论物理学中非常重要，并且经常出现在各种环境中（增长率、人口增加、放射性衰变定律、电容器充电和放电……）（图 1.8）。

• 对数
它只是 的反函数是=一种X仅被定义为是>0:
以对数为底一种
X=日志⁡一种是.因此，如果一种被提升到日志⁡一种是一个得到是. 往往一种用途一种=10然后将其称为“常用（十进制）对数”：
日志⁡10100=2;日志⁡101000=3;…
然而，在物理学中，我们最常使用带底的“自然对数”一种=和用符号表示日志和≡ln. 在这种情况下，基地的明确指示被省略：
ln⁡(和X)=X⟺和ln⁡X=X.
和是=和X和是′=和X′也一种,C∈R我们可以推导出一些重要的对数规则：
ln⁡(是⋅是′)=ln⁡(和X⋅和X′)=ln⁡(和X+X′)=X+X′ =ln⁡是+ln⁡是′
ln⁡(C⋅是)=ln⁡(C⋅和X)=ln⁡(和ln⁡C⋅和X)=ln⁡(和ln⁡C+X)=ln⁡C+X
=ln⁡C+ln⁡是

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Differential Quotient

Δ是ΔX=棕褐色⁡一种′

Δ是ΔX=F(X+ΔX)−F(X)ΔX

d是dX≡ddXF(X)≡F′(X)

F(X)=X2

Δ是ΔX=(X+ΔX)2−X2ΔX=2XΔX+(ΔX)2ΔX=2X+ΔX

F′(X)=2X

## 物理代写|理论力学作业代写Theoretical Mechanics代考|Rules of Differentiation

1. 常数因子：
是=C⋅F(X)⟹是′=C⋅F′(X),
证明：
是′=林ΔX→0C⋅F(X+ΔX)−C⋅F(X)ΔX =C⋅林ΔX→0F(X+ΔX)−F(X)ΔX=C⋅F′(X)
2. 和：
是=F(X)+G(X)⟹是′=F′(X)+G′(X)
这可以直接从 definition.product 中读取：
3. $$4. y=f(x) \cdot g(x) \Longrightarrow y^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}( X）， 5.$$
6. 证明：
7. $$8. \开始{对齐} 9. y^{\prime}=& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}(f(x+\Delta x) \cdot g(x+\Delta x)-f(x) \cdot g(x)) \ =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x}((f(x+\Delta x)-f(x)) \cdot g(x+ \三角洲x）\ 10. &+g(x+\Delta x) \cdot f(x)-f(x) \cdot g(x)) \ 11. =& \lim {\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x+\Delta x) \ &+\lim {\Delta x \rightarrow 0} f(x) \cdot \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \ 12. =& f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x) 。 13. \end{对齐} 14.$$
15. 在最后一步中，我们利用了函数G和F当然必须是连续的，否则衍生物将不存在。
16. 示例假设n∈ñ， 然后：
17. $$18. x^{n} \cdot \frac{1}{x^{n}}=1 \quad \curvearrowright\left(x^{n}\right)^{\prime} \cdot \frac{1}{x ^{n}}+x^{n} \cdot\left(\frac{1}{x^{n}}\right)^{\prime}=0 19.$$
20. $$21. \curvearrowright nx^{n-1} \cdot \frac{1}{x^{n}}=-x^{n} \cdot\left(x^{-n}\right)^{\prime} 。 22.$$
23. 作为 (1.77) 的扩展，我们现在有了如何区分X负指数：
24. $$25. \left(x^{-n}\right)^{\prime}=-nx^{-(n+1)} 26.$$
27. $$28. y=\frac{f(x)}{g(x)} ; g(x) \neq 0 \Longrightarrow y^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) \cdot g(x)-f(x) \cdot g^{\prime}(x) }{g^{2}(x)} 29.$$
30. 证明：
31. 首先我们研究导数
32. $$33. h(x)=\frac{1}{g(x)}, 34.$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。