物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|PHYC20014

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电动力学是物理学的一个分支,处理快速变化的电场和磁场。

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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|PHYC20011

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Sample Space RT with T Uncountable

The labelling set (or dimension set) $T$ in the domain $\mathbf{R}^{T}$ of (4.1) is a countable set of dimensions or labels. But the labels can be taken to be an uncountable set $\mathbf{T}$, such as the continuum $] 0,1]$, and then the domain is
$$
\mathbf{R}^{\mathrm{T}}:=\prod_{s \in \mathrm{T}} \mathbf{R}{s}, \quad \mathbf{R}{s}=\mathbf{R} \text { for each } s \in \mathbf{T} \text {. }
$$
With this change in meaning of $\mathbf{R}^{\mathrm{T}}$, the concepts and notation introduced for the definition (4.4) of the integral of a function $h$ in $\mathbf{R}^{\mathbf{T}}$ then carry over unchanged in the new context of uncountable $\mathbf{T}$.

The following example illustrates the use of $\int_{\mathbf{R}^{\mathbf{T}}} h$, with uncountable $\mathbf{T}$, by means of a calculation of broadly stochastic integral type.

Example 12 Suppose, at each instant $s$ of the time interval $] 0, \tau]$, a share takes random value $x(s)$ (or $\left.x_{s}\right)$. Suppose $x(0)=x_{0}=1$ (with probability 1), and suppose, at each time $s(0<s \leq \tau)$, the share price takes value $x(s)$, $0 \leq x(s) \leq 1$, with uniform probability on $[0,1]$. Suppose the value at time $s$ is independent of the value taken at any other time. Suppose an investor takes an initial shareholding $z(0)$, or $z_{0}$, of 1 share (so $\left.z_{0}=1\right)$, and suppose the shareholding or number of shares $z(s)$ varies randomly at $m$ fixed times $\tau_{k}$ between initial time 0 and terminal time $\tau$,
$$
0=\tau_{0}<\tau_{1}<\tau_{2}<\cdots<\tau_{m}=\tau ; \quad M:=\left{\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{m}\right} .
$$
Thus $] 0, \tau]$ can be a period of $m$ days, with shareholding changing randomly at the end of each day. Suppose the random value $z_{\tau_{k}}$ (or simply $z_{k}$ ) of shares at time $\tau_{k}$ is independent of the value $z_{k^{\prime}}$ at any other time $\tau_{k^{\prime}}$, and independent of the value $x(s)$ of the share at any times. To keep things uncomplicated suppose that, at any time $\tau_{k}$, the shareholding $z_{k}$ is 1 with probability $0.5$, and $z_{k}=0$ with probability 0.5. What is the expected payout at terminal time $t$ from this shareholding?

The intention is to apply a stochastic integral calculation. But the probability distributions are deliberately chosen so that the expected payout is fairly obvious on intuitive grounds. Then it can be seen whether the stochastic integral calculation confirms what common sense indicates.

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Integrals for Example 12

Example 12 above has two independent stochastic processes,
$$
Z_{\mathrm{T}} \simeq z_{\mathrm{T}}\left[\mathbf{R}^{\mathbf{T}}, F_{Z_{\mathrm{T}}}\right], \quad X_{\mathrm{T}} \simeq x_{\mathbf{T}}\left[\mathbf{R}^{\mathrm{T}}, F_{X_{\mathrm{T}}}\right]
$$
with joint process $\left(Z_{\mathbf{T}}, X_{\mathrm{T}}\right)$ expressed by
$$
\left(Z_{\mathbf{T}}, X_{\mathrm{T}}\right) \simeq\left(z_{\mathrm{T}}, x_{\mathrm{T}}\right)\left[(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{\mathbf{T}}, F_{\left(Z_{\mathrm{T}}, X_{\mathrm{T}}\right)}\right]
$$

where each sample path $z_{\mathrm{T}}=(z(s): 0<s \leq \tau)$ is constant for $\tau_{j-1} \leq s<\tau_{j}$, $(1 \leq j \leq m)$.

The calculation in $(4.10)$ enabled us to disregard the random variation in $x(s)$ for $\tau_{j-1}<s<\tau_{j},(1 \leq j \leq m)$, so the joint processes can be expressed as
$$
\left(Z_{M}, X_{M}\right) \simeq\left(z_{M}, x_{M}\right)\left[(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{M}, F_{\left(Z_{M}, X_{M}\right)}\right]
$$
and the latter formulation enabled us to perform a calculation for the expected gain in portfolio value (or shareholding value).

Stochastic integrals $\int_{0}^{\tau} \cdots$ on domain $\left.\left.\mathbf{T}=\right] 0, \tau\right]$ can be formulated from version (4.16). The objective is to express the gains (or losses) in portfolio value $w(t)(0<t \leq \tau)$ in terms of joint sample paths $(z(s), x(s))(0<s \leq \tau)$ of the joint process $\left(Z_{\mathbf{T}}, X_{\mathrm{T}}\right)$.
$$
\begin{aligned}
&w(t)=\sum_{0 \leq s<s^{\prime} \leq t} z(s)\left(x\left(s^{\prime}\right)-x(s)\right), \quad \text { or } \
&w(t)=\int_{0}^{t} z(s) d x(s), \quad(0<t \leq \tau) .
\end{aligned}
$$
Thus $w(t)$ depends on the joint outcomes $((z(s), x(s)): 0<s \leq t)$, or $w(t)=$ $h\left(z_{\mathbf{T}}, x_{\mathbf{T}}\right)$ where $\left.\left.\mathbf{T}=\right] 0, t\right]$ and $h$ is the deterministic function given by the Stieltjes integral $\int_{0}^{t} z(s) d x(s)$ – if and when the latter integrals exist. These integrals are sample path versions of a stochastic integral $\int_{0}^{t} Z(s) d X(s)$, and can be examined further, in terms of particular sample paths, in order to try to understand whether or not they exist, and what other kinds of issues can arise with them.

Before undertaking this task, the random variability in the outcomes $(w(t)$ : $0<t \leq \tau)$ can be examined. Write $U_{\mathbf{T}}$ for the joint processes $\left(Z_{\mathbf{T}}, X_{\mathrm{T}}\right)$, so a sample path for $U_{\mathbf{T}}$ is $u_{\mathbf{T}}=\left(z_{\mathbf{T}}, x_{\mathbf{T}}\right)$. Then (4.16) gives
$$
W_{\mathbf{T}}=h\left(U_{\mathbf{T}}\right) \simeq h\left(u_{\mathbf{T}}\right)\left[(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{\mathbf{T}}, F_{U_{\mathbf{T}}}\right],
$$
where $F_{U_{\mathbf{T}}}$ is the joint distribution function $F_{\left(Z_{\mathbf{T}}, X_{\mathrm{T}}\right)}$ mentioned in (4.16), and $h\left(U_{\mathbf{T}}\right)$ is the stochastic integral $\int_{0}^{t} Z(s) d X(s)$. Thus $W_{\mathbf{T}}$ is a contingent process depending on the joint values of the processes $Z_{\mathrm{T}}, X_{\mathrm{T}}$.

The details of $F_{\left(Z_{M}, X_{M}\right)}$ were described above, but not those of $F_{\left(Z_{T}, X_{\mathrm{T}}\right)}$. These are provided in Section $4.4$ below.

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|stochastic integrals

Example 13 demonstrates that stochastic integrals can fail to exist even in the relatively simple case of Example 12. It has been pointed out that (4.15) delivers $\mathrm{E}[W(\tau)]$ without constructing stochastic integrals. The joint distribution function used in that calculation is $F_{U_{M}},=F_{\left(Z_{M}, X_{M}\right)}$ as in (4.17).

Compare this with (4.8), where the sample space for the elementary form of the random variable $W(\tau)$ is $\mathbf{R}$, with distribution function $F_{W_{\tau}}$. The difference between the elementary and joint basic representations of joint random variability was described in Section 3.5. In the elementary format (4.8), the expected value of $W(\tau)$ is obtained by integration on $\mathbf{R}$ with respect to $F_{W_{\tau}}$. Likewise for any contingent observable $f(W(\tau))$ that might arise.

In contrast, $(4.20)$ and $(4.16)$ employ $(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{\mathbf{T}}$ as sample space for $W_{\tau}$; and the joint distribution function is $F_{U_{T}},=F_{\left(Z_{T}, X_{T}\right)}$ (or $F_{Z_{T} X_{T}}$ ); but this distribution function was left unspecified. At this point it is useful to pursue this approach to $\mathrm{E}[W(\tau)]$ a bit further. Here is a summary of what is involved:

  • With $W(\tau) \simeq w(\tau)\left[\mathbf{R}, F_{W(\tau)}\right]$, expected gain in portfolio value at time $\tau$ can be calculated as
    $$
    \mathrm{E}[W(\tau)]=\int_{\mathbf{R}} w(\tau) F_{W(\tau)}\left(I_{\tau}\right)
    $$
  • With $W(\tau)=f\left(X_{M}, Z_{M}\right) \simeq f\left(x_{M}, z_{M}\right)\left[(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{M}, F_{X_{M} Z_{M}}\right]$, expected gain in portfolio value at time $\tau$ can be calculated as
    $$
    \begin{aligned}
    \mathrm{E}[W(\tau)] &=\mathrm{E}\left[f\left(X_{M}, Z_{M}\right)\right] \
    &=\int_{(\mathbf{R} \times \mathbf{R})^{M}} f\left(x_{M}, z_{M}\right) F_{X_{M} Z_{M}}\left(I_{X_{M}}(M) \times I_{Z_{M}}(M)\right)
    \end{aligned}
    $$
    Interval notation $I_{X_{M}}, I_{Z_{M}}$, refers to events (or sets of potential occurrences) of random variables $X_{M}, Z_{M}$, respectively.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|PHYC20011

电动力学代考

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Sample Space RT with T Uncountable

标签集(或维度集)吨在域中R吨of (4.1) 是一组可数的维度或标签。但是标签可以被认为是一个不可数的集合吨,例如连续体]0,1], 那么域是
$$
\mathbf{R}^{\mathrm{T}}:=\prod_{s \in \mathrm{T}} \mathbf{R} {s}, \quad \mathbf{R } {s}=\mathbf{R} \text { 对于每个 } s \in \mathbf{T} \text {。}
$$
随着这个意义的改变R吨, 为函数积分的定义 (4.4) 引入的概念和符号H在R吨然后在不可数的新上下文中保持不变吨.

下面的例子说明了使用∫R吨H, 不可数吨,通过广义随机积分类型的计算。

例 12 假设,在每个瞬间s时间间隔]0,τ], a share 取随机值X(s)(或者Xs). 认为X(0)=X0=1(概率为 1),并假设,在每次s(0<s≤τ), 股价取值X(s), 0≤X(s)≤1, 具有一致的概率[0,1]. 假设时间值s与在任何其他时间获取的值无关。假设投资者持有初始股权和(0), 或者和0, 1 份 (所以和0=1), 并假设持股量或股份数量和(s)随机变化米固定时间τķ在初始时间 0 和结束时间之间τ,

0=\tau_{0}<\tau_{1}<\tau_{2}<\cdots<\tau_{m}=\tau ; \quad M:=\left{\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{m}\right} 。0=\tau_{0}<\tau_{1}<\tau_{2}<\cdots<\tau_{m}=\tau ; \quad M:=\left{\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{m}\right} 。
因此]0,τ]可以是一段时间米天,股权在每天结束时随机变化。假设随机值和τķ(或者干脆和ķ) 的股份τķ与值无关和ķ′在任何其他时间τķ′,并且与值无关X(s)在任何时候的份额。为了保持简单,假设在任何时候τķ, 持股和ķ概率为 10.5, 和和ķ=0概率为 0.5。终端时间的预期支出是多少吨从这个股权?

目的是应用随机积分计算。但是概率分布是故意选择的,因此预期的支出在直觉上是相当明显的。然后可以看出随机积分计算是否证实了常识所表明的。

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Stochastic Integrals for Example 12

上面的示例 12 有两个独立的随机过程,

从吨≃和吨[R吨,F从吨],X吨≃X吨[R吨,FX吨]
与联合过程(从吨,X吨)表示为

(从吨,X吨)≃(和吨,X吨)[(R×R)吨,F(从吨,X吨)]

其中每个样本路径和吨=(和(s):0<s≤τ)是恒定的τj−1≤s<τj, (1≤j≤米).

计算在(4.10)使我们能够忽略随机变化X(s)为了τj−1<s<τj,(1≤j≤米), 所以联合过程可以表示为

(从米,X米)≃(和米,X米)[(R×R)米,F(从米,X米)]
后一种公式使我们能够计算投资组合价值(或股权价值)的预期收益。

随机积分∫0τ⋯在域上吨=]0,τ]可以从版本(4.16)制定。目标是表达投资组合价值的收益(或损失)在(吨)(0<吨≤τ)就联合样本路径而言(和(s),X(s))(0<s≤τ)联合进程(从吨,X吨).

在(吨)=∑0≤s<s′≤吨和(s)(X(s′)−X(s)), 或者  在(吨)=∫0吨和(s)dX(s),(0<吨≤τ).
因此在(吨)取决于联合结果((和(s),X(s)):0<s≤吨), 或者在(吨)= H(和吨,X吨)在哪里吨=]0,吨]和H是 Stieltjes 积分给出的确定性函数∫0吨和(s)dX(s)– 如果以及何时存在后一个积分。这些积分是随机积分的样本路径版本∫0吨从(s)dX(s),并且可以根据特定的样本路径进一步检查,以尝试了解它们是否存在,以及它们可能会出现哪些其他类型的问题。

在进行这项任务之前,结果的随机变异性(在(吨) : 0<吨≤τ)可以检查。写在吨对于联合进程(从吨,X吨), 所以一个样本路径在吨是在吨=(和吨,X吨). 那么 (4.16) 给出

在吨=H(在吨)≃H(在吨)[(R×R)吨,F在吨],
在哪里F在吨是联合分布函数F(从吨,X吨)(4.16)中提到的,和H(在吨)是随机积分∫0吨从(s)dX(s). 因此在吨是一个或有过程,取决于过程的联合值从吨,X吨.

的详细信息F(从米,X米)上面有描述,但不是那些F(从吨,X吨). 这些在部分提供4.4以下。

物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|stochastic integrals

例 13 表明,即使在例 12 的相对简单的情况下,随机积分也可能不存在。有人指出,(4.15) 提供和[在(τ)]不构造随机积分。该计算中使用的联合分布函数是F在米,=F(从米,X米)如(4.17)。

将此与 (4.8) 进行比较,其中随机变量的基本形式的样本空间在(τ)是R, 具有分布函数F在τ. 3.5 节描述了联合随机变异性的基本表示和联合基本表示之间的差异。在基本格式(4.8)中,期望值在(τ)通过积分获得R关于F在τ. 同样对于任何可观察的或有F(在(τ))这可能会出现。

相比之下,(4.20)和(4.16)采用(R×R)吨作为样本空间在τ; 联合分布函数为F在吨,=F(从吨,X吨)(或者F从吨X吨); 但未指定此分布函数。在这一点上,采用这种方法是有用的和[在(τ)]更进一步。以下是所涉及内容的摘要:

  • 和在(τ)≃在(τ)[R,F在(τ)], 投资组合价值的预期收益τ可以计算为
    和[在(τ)]=∫R在(τ)F在(τ)(我τ)
  • 和在(τ)=F(X米,从米)≃F(X米,和米)[(R×R)米,FX米从米], 投资组合价值的预期收益τ可以计算为
    和[在(τ)]=和[F(X米,从米)] =∫(R×R)米F(X米,和米)FX米从米(我X米(米)×我从米(米))
    间隔符号我X米,我从米, 指随机变量的事件(或潜在发生的集合)X米,从米, 分别。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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