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电动力学是物理学的一个分支，处理快速变化的电场和磁场。
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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Complete Integration
Unlike algebra or calculus for instance, historians of the theory of probability often claim that, while it has a pre-history in gambling practice, this subject is a relative newcomer in mathematical terms.
Ideas of random variability and probability were put on a firmer mathematical basis in the course of the nineteenth century, and the modern form of the theory was well established by the mid-twentieth century.
An elementary link between statistics and probability is demonstrated in Sections $2.1$ and $2.2$ above, and the Riemann sum calculations of Example 4 indicate the central role of mathematical integration in analysis of random variation.
Twentieth century developments in probability and random variation are closely linked to developments in the theory of measure and integration culminating in Lebesgue’s theory of the integral [100]. A.N. Kolmogorov [93] made this the foundation of probability theory by identifying-
- the probability of an event as the measure of a set,
- a random variable as a measurable function, and
- the expected value of a random variable as the integral of a measurable function with respect to a probability measure.
One of the standard ways of defining the Lebesgue integral of a $\mu$-measurable function $f(\omega)(\omega \in \Omega)$ is to form finite sums
$$
s_{j}=\sum_{r=1}^{n} \phi_{j}^{(r)}(\omega) \mu\left(A_{j}^{(r)}\right)
$$
of simple functions $\phi_{j}(\omega)$ which converge to $f$ as $j \rightarrow \infty$, and then define the Lebesgue integral of $f$ on $\Omega$ by
$$
\int_{\Omega} f(\omega) d \mu=\lim {j \rightarrow \infty} s{j} .
$$
The dominated convergence theorem emerges from this: Suppose Lebesgue integrable functions $f_{j}(\omega)$ converge almost everywhere to $f(\omega)$, with $\left|f_{j}(\omega)\right| \leq g(\omega)$ almost everywhere, $g$ also being Lebesgue integrable. Then $f$ is Lebesgue int egrable, and $\int_{\Omega} f_{j}$ converges to $\int_{\Omega} f$ as $j \rightarrow \infty$.
Depending on the measurable integrand $f$, the measurable sets $A_{j}^{(r)}$ in Definition $3.1$ can be intervals, open sets, closed sets, isolated points, and/or various countable combinations of these and other even more complicated sets. One could say that the means used to access the integral of $f$ are themselves somewhat arcane and inaccessible. The “cure” (finding appropriate measurable sets) could be worse than the “disease” (finding the integral). ${ }^{1}$
The entrance to measure theory and Lebesgue integration is guarded by such fearsome sets and functions as the Cantor set, and the Devil’s Staircase or Cantor function [102]. But while it is unwise to enter the house of Lebesgue without keeping an eye out for monsters ${ }^{2}$, in the simple examples of essentially finite domains of preceding chapters we managed to negotiate our way fairly painlessly through the relevant measurable sets/functions. (Would we be so lucky if the domains were infinite, or the functions a bit more complicated?)
These monsters will never completely go away. But perhaps it would be better to not have to wrestle with them as a pre-condition of gaining entry to the house. It would be nice if the monsters were kept locked up in the cellar, not on guard at the front door. Is there any other way to deal with probability which provides full mathematical power and rigour? Is there another house, one that is more easily accessible, and closer to the “naive” or realistic view of random variability, as outlined in Chapter 2 above, and in [MTRV] pages $15-17 ?$
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Burkill-complete Stochastic Integral
In contrast, the Burkill integral ([13], [14], [68]) involves integrator functions $h(I)$ which are not additive it is not required that $h(I)=h\left(I^{\prime}\right)+h\left(I^{\prime \prime}\right)$. (Of course, it is not forbidden either!)
It turns out that a version of the Burkill integral is very useful in a reformulated theory of stochastic integration, and in the Feynman integral theory of quantum mechanics. In [MTRV], in addition to dependence on cells $I$, an extended Burkill integrand $h(s, I)$ is allowed to depend also on tag points $s$ of cells $I$; and from this is developed a Burkill-complete form of integration. (A Burkill-complete integrand $h$ is not additive in respect of its dependence on cells $I$ – if it is additive it receives a different designation.)
Definition 6 below fits into the -complete structure of definitions. It deals with integrands $h(s, I)$ which are functions of tagged intervals $(\bar{s}, I)$ (or associated point-interval pairs $(\bar{s}, I))$; for instance, with $\left.I=] s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right], \bar{s}=s^{\prime}$ or $s^{\prime \prime}$,
$$
h(s, I)=\sqrt{\bar{s}\left(s^{\prime \prime}-s^{\prime}\right)}
$$
and a partition $\mathcal{P}=\left{0=s_{0}, s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}=1\right}$ of $\left.] 0,1\right]$ is a finite sample of points of the domain. Then $h(s, I)=\sqrt{\bar{s}{j}\left(s{j}-s_{j-1}\right)}$ with $\bar{s}{j}=s{j}$ or $s_{j-1}$; and a Riemann sum $(\mathcal{P}) \sum h(s, I)$ is a functional of samples of points:
$$
(\mathcal{P}) \sum h(x, I)=\sum_{j=1}^{n} \sqrt{\bar{s}{j}\left(s{j}-s_{j-1}\right)}
$$
This formulation changes the perspective of -complete integration from pointcell pairs to finite samples of points. Nevertheless, as in chapter 4 of [MTRV], the underlying structures can be readily conveyed in terms of relationships between cells or intervals $I$ of the domain.
In effect, adjacent pairs of points $\left(s_{j}, s_{j-1}\right)$ from the finite sample $\mathcal{P}$ must satisfy conditions corresponding to Axioms DS1 to DS8 in chapter 4 (pages 111-113 of [MTRV]). Of course, in simple domains such as $] 0,1]$ it is natural to visualize pairs of points $\left(s_{j}, s_{j-1}\right)$ as intervals $I_{j}$. But in the more complicated and structured domains used in quantum field theory (Chapters 8 and 9 below), the alternative “samples of points” perspective may be helpful.
Lebesgue integration uses functions $\mu(A)$ of measurable subsets of a domain. In contrast, -complete integration uses functions $\mu(I)$ of subintervals of the domain. The latter can be replaced by $\mu\left(s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right)$ (where $\left.\left.I=\right] s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right]$ ). But measurable sets $A$ can consist of infinitely many intervals and discrete points, ruling out the “finite sample of points” approach.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Henstock Integral
The origins of the ideas in chapter 4 of [MTRV] are as follows. Starting with his $1948 \mathrm{PhD}$ thesis, Ralph Henstock (1923-2007) worked in non-absolute integration, including the Riemann-complete or gauge integral which, independently, Jaroslav Kurzweil also discovered in the 1950 s. As a Cambridge undergraduate (1941-1943) Henstock took a course of lectures, given by J.C. Burkill, on the integration of non-additive interval functions. Later, under the supervision of Paul Dienes in Birkbeck College, London, he undertook research into the ideas of Burkill (interval function integrands) and of Dienes (Stieltjes integrands); and he presented this thesis in December $1948 .$
In terms of overall approach and methods of proof, the thesis contains the germ of Henstock’s later work as summarized in chapter 4 of [MTRV]. For example, a notable innovation is a set of axioms for constructing any particular system of integration. This approach highlights the features held in common by various systems, so that a particular property or theorem can, by a single, common proof, be shown to hold for various kinds of integration. These ideas are the basis of the theory in chapter 4 of [MTRV].
Within this approach, Henstock’s thesis places particular emphasis on various alternative ways of selecting Riemann sums, as constituting the primary distinguishing feature of different systems of integration. This was central to his subsequent work and achievement. Accordingly, the theory in chapter 4 of [MTRV] is designated there as the Henstock integral, from which almost all systems of integration can be deduced.
Robert Bartle’s book ([5], page 15) has a discussion of titles for this kind of
integral-variously called Kurzweil-Henstock, gauge, or generalized Riemann. Bartle suggests that it could equally be called “the Denjoy-Perron-KurzweilHenstock integral”. Evading this litany, Bartle settles for “generalized Riemann”, or simply “the integral”.
The first worked-out version of this kind of integration was in Henstock’s Theory of Integration [70], published in 1962 and re-published in 1963 , in which the integral was designated “Riemann-complete”. In support of the “-complete” appendage, Henstock’s presentation has theorems which justify the integration of limits of integrable functions, differentiation under the integral sign, Fubini’s theorem, along with a theory of variation corresponding to measure theory.
电动力学代考
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Complete Integration
例如，与代数或微积分不同，概率论的历史学家经常声称，虽然它在赌博实践中具有前史，但在数学方面这一学科相对较新。
随机变异性和概率的概念在 19 世纪的过程中被建立在更坚实的数学基础上，该理论的现代形式在 20 世纪中叶得到了很好的确立。
统计和概率之间的基本联系在章节中展示2.1和2.2上面，以及示例 4 的黎曼和计算表明了数学积分在随机变化分析中的核心作用。
二十世纪概率和随机变化的发展与测度和积分理论的发展密切相关，最终导致勒贝格的积分理论[100]。AN Kolmogorov [93] 通过识别——
- 事件的概率作为集合的度量，
- 作为可测量函数的随机变量，以及
- 随机变量的期望值，作为可测量函数相对于概率测度的积分。
定义 a 的 Lebesgue 积分的标准方法之一μ- 可测量函数F(ω)(ω∈Ω)是形成有限和
sj=∑r=1nφj(r)(ω)μ(一个j(r))
简单的功能φj(ω)收敛到F作为j→∞，然后定义 Lebesgue 积分F上Ω经过
∫ΩF(ω)dμ=林j→∞sj.
支配收敛定理由此产生：假设 Lebesgue 可积函数Fj(ω)几乎无处不在F(ω)， 和|Fj(ω)|≤G(ω)几乎无处不在，G也是 Lebesgue 可积的。然后F是 Lebesgue 可积的，并且∫ΩFj收敛到∫ΩF作为j→∞.
取决于可测量的被积函数F, 可测集一个j(r)在定义3.1可以是区间、开集、闭集、孤立点和/或这些和其他更复杂的集合的各种可数组合。可以说，用于访问积分的方法F本身就有些神秘和难以接近。“治愈”（寻找合适的可测量集合）可能比“疾病”（寻找积分）更糟糕。1
测量理论和勒贝格积分的入口受到诸如康托尔集、魔鬼阶梯或康托尔函数等可怕的集合和函数的保护[102]。但是，虽然进入勒贝格的房子而不留意怪物是不明智的2，在前几章的基本有限域的简单示例中，我们设法通过相关的可测量集/函数相当轻松地协商我们的方式。（如果领域是无限的，或者功能更复杂一点，我们会这么幸运吗？）
这些怪物永远不会完全消失。但也许最好不必与他们搏斗作为进入房子的先决条件。如果怪物被关在地窖里，而不是在前门守卫，那就太好了。有没有其他方法可以提供完整的数学能力和严谨性来处理概率？如上文第 2 章和 [MTRV] 页中所述，是否还有另一所房子，更容易访问，更接近随机可变性的“幼稚”或现实观点15−17?
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Burkill-complete Stochastic Integral
相比之下，Burkill 积分（[13]、[14]、[68]）涉及积分函数H(我)不是添加剂，不需要H(我)=H(我′)+H(我′′). （当然，也不是禁止的！）
事实证明，Burkill 积分的一个版本在重新制定的随机积分理论和量子力学的费曼积分理论中非常有用。在【MTRV】中，除了对细胞的依赖我，一个扩展的 Burkill 被积函数H(s,我)也允许依赖于标签点s细胞我; 并由此发展出一种 Burkill 完整的集成形式。（一个 Burkill 完全被积函数H就其对细胞的依赖性而言不是加法的我– 如果它是添加剂，它会收到不同的名称。）
下面的定义 6 适合定义的完整结构。它处理被积函数H(s,我)这是标记区间的函数(s¯,我)（或相关的点间隔对(s¯,我)); 例如，与我=]s′,s′′],s¯=s′或者s′′,
H(s,我)=s¯(s′′−s′)
和一个分区\mathcal{P}=\left{0=s_{0}, s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}=1\right}\mathcal{P}=\left{0=s_{0}, s_{1}, \ldots, s_{n-1}, s_{n}=1\right}的]0,1]是域中点的有限样本。然后H(s,我)=s¯j(sj−sj−1)和s¯j=sj或者sj−1; 和一个黎曼和(磷)∑H(s,我)是点样本的泛函：
(磷)∑H(X,我)=∑j=1ns¯j(sj−sj−1)
这个公式将完全积分的观点从点单元对改变为点的有限样本。然而，正如在 [MTRV] 的第 4 章中，底层结构可以很容易地根据单元格或区间之间的关系来传达我的域。
实际上，相邻的点对(sj,sj−1)从有限样本磷必须满足第 4 章中公理 DS1 到 DS8 对应的条件（[MTRV] 第 111-113 页）。当然，在简单的领域，例如]0,1]可视化点对是很自然的(sj,sj−1)作为间隔我j. 但是在量子场论中使用的更复杂和结构化的领域（下面的第 8 章和第 9 章），另一种“点样本”观点可能会有所帮助。
Lebesgue 积分使用函数μ(一个)域的可测量子集。相比之下，-complete 积分使用函数μ(我)域的子区间。后者可以替换为μ(s′,s′′)（在哪里我=]s′,s′′]）。但可测集一个可以由无限多的间隔和离散点组成，排除了“点的有限样本”方法。
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Henstock Integral
[MTRV]第4章的思想起源如下。从他的开始1948磷HD在论文中，Ralph Henstock (1923-2007) 研究了非绝对积分，包括 Jaroslav Kurzweil 在 1950 年代独立发现的黎曼完全积分或规范积分。作为剑桥大学本科生 (1941-1943)，Henstock 参加了 JC Burkill 教授的关于非加性区间函数积分的课程。后来，在伦敦伯克贝克学院的 Paul Dienes 的指导下，他对 Burkill（区间函数被积函数）和 Dienes（Stieltjes 被积函数）的思想进行了研究；他在 12 月提交了这篇论文1948.
在总体方法和证明方法方面，论文包含了[MTRV]第4章总结的Henstock后期工作的萌芽。例如，一个显着的创新是一组用于构建任何特定集成系统的公理。这种方法突出了各种系统所共有的特征，因此可以通过一个单一的、共同的证明证明一个特定的性质或定理适用于各种类型的集成。这些想法是[MTRV]第4章理论的基础。
在这种方法中，亨斯托克的论文特别强调了选择黎曼和的各种替代方法，因为它们构成了不同积分系统的主要区别特征。这对他后来的工作和成就至关重要。因此，[MTRV]第 4 章中的理论被指定为 Henstock 积分，几乎所有积分系统都可以从该积分中推导出来。
Robert Bartle 的书（[5]，第 15 页）讨论了这种类型的标题
积分-各种称为 Kurzweil-Henstock、规范或广义黎曼。Bartle 建议它同样可以被称为“Denjoy-Perron-KurzweilHenstock 积分”。Bartle 避开了这种冗长的论述，选择了“广义黎曼”，或者简称为“积分”。
这种积分的第一个版本出现在 Henstock 的积分理论 [70] 中，该理论发表于 1962 年并于 1963 年重新发表，其中积分被指定为“黎曼完全”。为了支持“-完全”附录，Henstock 的演示文稿中的定理证明了可积函数极限的积分、积分符号下的微分、Fubini 定理以及对应于测度理论的变分理论。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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