物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC90010

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统计力学是一个数学框架,它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则,而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC90010

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Poincaré’s Recurrence Theorem, or The Eternal Return

In words, Poincaré’s recurrence theorem says that, for any measure preserving transformation, almost every trajectory comes back arbitrarily close to its initial condition and does that infinitely often.
That property is called recurrence.
Since we know that the Hamiltonian flow on a constant energy surface preserves the Liouville measure on that surface, it follows that, for any mechanical system bounded (in phase space) almost all configurations will come back infinitely often to a configuration arbitrarily close to itself, or to any other configuration that it visits (since one could always define that configuration as an initial condition).

Thus, bounded mechanical systems do not necessarily have only periodic trajectories but almost all their trajectories have a property somewhat similar but weaker than periodicity, namely recurrence.

If one replaced the measure preserving transformation by a deterministic transformation on a finite set, then, obviously, all trajectories must eventually be periodic

since some element of the finite set must be visited twice (over an infinite time) and from then on, the trajectory becomes periodic.

The genius of Poincaré was to extend this result to a weaker notion (recurrence) for measure preserving transformations on infinite sets but bounded in the sense that the measure of the space on which the transformation acts is finite:

Theorem $4.2$ (Poincaré’s recurrence theorem [261]) Let $(\Omega, \Sigma, \mu)$ be a measure space with $\mu(\Omega)<\infty$, where $\mu$ is $T$-imvariant for $T: \Omega \rightarrow \Omega$. Then, $\forall A \in \Sigma$, with $\mu(A)>0, \exists B \subset A$ with $\mu(A \backslash B)=0$ and such that $\forall x \in B, \exists$ sequence $\left(n_{i}\right){i=1}^{\infty}$, $n{i} \in \mathbb{N}$, with $n_{1}<n_{2}<n_{3} \ldots$ and $T^{n_{i}} x \in A$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Proof of Poincaré’s Recurrence Theorem

Let, for $N \geq 0 \quad A_{N}=\bigcup_{n=N} T^{-n} A$. Elements of $A_{N}$ are those that are sent into $A$ by the map $T^{n}$ for some $n \geq N$. Thus, $B=A \cap\left(\bigcap_{N=0}^{\infty} A_{N}\right)$ are the elements of $A$ that come back to $A$ infinitely often, namely that are such that $\forall x \in B$, there exist a

sequence $\left(n_{i}\right)$ as in the theorem: since, for each $x \in B$, there exist arbitrarily large $n^{\prime} s$ with $T^{n} x \in A$, one may construct the sequence inductively by taking $n_{i+1}$ to be the first integer $n$ with $T^{n} x \in A$ strictly larger than $n_{i}$.

Let us show that $\mu(B)=\mu(A)$, which, since $\mu(\Omega)<\infty$, is equivalent to $\mu(A \backslash B)$ $=0\left(\right.$ write $\mu(A)=\mu(B)+\mu(A \backslash B)$ ). One has $T^{-1} A_{N}=A_{N+1}$ and thus $\mu\left(A_{N}\right)=$ $\mu\left(A_{N+1}\right)$, since $\mu$ is $T$-invariant. So, $\mu\left(A_{0}\right)=\mu\left(A_{N}\right), \forall N$. Since $A_{0} \supset A_{1} \supset$ $\ldots \supset A_{N}$, and since $\mu(\Omega)<\infty$, one has $\mu\left(A_{N}\right) \leq \mu\left(A_{0}\right) \leq \mu(\Omega)<\infty$ and thus $\mu\left(A_{0} \backslash A_{N}\right)=\mu\left(A_{0}\right)-\mu\left(A_{N}\right)=0, \forall N$. Since a countable union of sets of measure zero is of measure zero $\mu\left(A_{0} \backslash\left(\bigcap_{N=0}^{\infty} A_{N}\right)\right)=\mu\left(\bigcup_{N=0}^{\infty}\left(A_{0} \backslash A_{N}\right)\right)=0$. Thus, since $\bigcap_{N=0}^{\infty} A_{N} \subset A_{0}, \mu(B)=\mu\left(A \cap\left(\bigcap_{N=0}^{\infty} A_{N}\right)\right)=\mu\left(A \cap A_{0}\right)$ and $\mu\left(A \cap A_{0}\right)=$ $\mu(A)$, since $A \subset A 0$. So, $\mu(B)=\mu(A)$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Ergodic Theorems

Although we have not yet defined what unpredictable dynamical systems are, we said that, when a dynamical system is unpredictable, one should study its trajectories by statistical methods. A first step in that direction is to study certain time averages of trajectories, for example the average time spent by the trajectory in a set $A \in \Sigma$. We will study a slightly more general object.

Given a measure space $(\Omega, \Sigma, \mu)$, a map $T: \Omega \rightarrow \Omega$ such that $\mu$ is $T$-invariant, and a $\mu$-integrable function $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, one may consider the temporal averages:
$$
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} F\left(T^{n} x\right)
$$
and ask whether the limits $N \rightarrow \infty$ of those quantities exist.
If one takes $F=\mathbb{1}{A}$, the indicator function of a set $A \in \Sigma$, formula (4.3.1) gives the average time, up to time $N$, spent by the system in $A$, and the limit $N \rightarrow \infty$, if it exists, gives the average time $\tau{A}$ spent in $A$.

The following theorem, that we will not prove because the proof is a bit long and not particularly illuminating (see Walters [327, Sect. 1.6] or Cornfeld, Fomin and Sinai [87, Appendix 3]) asserts that all these limits actually exist ${ }^{4}$ :

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYC90010

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Poincaré’s Recurrence Theorem, or The Eternal Return

换句话说,庞加莱的递归定理说,对于任何保持测度的变换,几乎每条轨迹都会任意返回到其初始条件,并且会无限频繁地这样做。
该属性称为重复。
由于我们知道恒定能量表面上的哈密顿流保留了该表面上的刘维尔测量,因此,对于任何有界(在相空间中)的机械系统,几乎所有配置都会无限频繁地返回到任意接近自身的配置,或它访问的任何其他配置(因为总是可以将该配置定义为初始条件)。

因此,有界机械系统不一定只有周期性轨迹,但几乎所有的轨迹都具有与周期性有些相似但弱于周期性的性质,即递归。

如果用有限集上的确定性变换代替测度保持变换,那么显然,所有轨迹最终都必须是周期性的

由于必须访问有限集中的某些元素(在无限时间内),从那时起,轨迹就变成了周期性的。

Poincaré 的天才是将这个结果扩展到一个较弱的概念(递归),用于在无限集上保留测度变换,但在变换作用于的空间的测度是有限的意义上是有界的:

定理4.2(Poincaré 的递归定理 [261])让(Ω,Σ,μ)是一个测度空间μ(Ω)<∞, 在哪里μ是吨-不变的吨:Ω→Ω. 然后,∀一个∈Σ, 和μ(一个)>0,∃乙⊂一个和μ(一个∖乙)=0并且这样∀X∈乙,∃序列(n一世)一世=1∞, n一世∈ñ, 和n1<n2<n3…和吨n一世X∈一个.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Proof of Poincaré’s Recurrence Theorem

让,对于ñ≥0一个ñ=⋃n=ñ吨−n一个. 要点一个ñ是那些被发送到一个按地图吨n对于一些n≥ñ. 因此,乙=一个∩(⋂ñ=0∞一个ñ)是的元素一个回到一个无限地经常,即是这样的∀X∈乙, 存在一个

序列(n一世)如定理所示:因为,对于每个X∈乙, 存在任意大n′s和吨nX∈一个, 可以通过采取归纳构造序列n一世+1成为第一个整数n和吨nX∈一个严格大于n一世.

让我们证明μ(乙)=μ(一个), 其中, 因为μ(Ω)<∞, 等价于μ(一个∖乙) =0(写μ(一个)=μ(乙)+μ(一个∖乙))。一个有吨−1一个ñ=一个ñ+1因此μ(一个ñ)= μ(一个ñ+1), 自从μ是吨-不变的。所以,μ(一个0)=μ(一个ñ),∀ñ. 自从一个0⊃一个1⊃ …⊃一个ñ,并且由于μ(Ω)<∞, 一个有μ(一个ñ)≤μ(一个0)≤μ(Ω)<∞因此μ(一个0∖一个ñ)=μ(一个0)−μ(一个ñ)=0,∀ñ. 由于零测度集的可数并集是零测度μ(一个0∖(⋂ñ=0∞一个ñ))=μ(⋃ñ=0∞(一个0∖一个ñ))=0. 因此,由于⋂ñ=0∞一个ñ⊂一个0,μ(乙)=μ(一个∩(⋂ñ=0∞一个ñ))=μ(一个∩一个0)和μ(一个∩一个0)= μ(一个), 自从一个⊂一个0. 所以,μ(乙)=μ(一个).

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Ergodic Theorems

虽然我们还没有定义什么是不可预测的动力系统,但我们说过,当一个动力系统是不可预测的时,应该用统计方法研究它的轨迹。朝着这个方向迈出的第一步是研究轨迹的某些时间平均值,例如一组轨迹所花费的平均时间一个∈Σ. 我们将研究一个稍微更一般的对象。

给定一个测度空间(Ω,Σ,μ), 一张地图吨:Ω→Ω这样μ是吨-不变量,和μ- 可积函数F:Ω→R,可以考虑时间平均值:

1ñ∑n=0ñ−1F(吨nX)
并询问是否限制ñ→∞这些数量存在。
如果一个采取F=1一个, 集合的指示函数一个∈Σ, 公式 (4.3.1) 给出了平均时间, 最多时间ñ, 系统花费在一个, 和极限ñ→∞,如果存在,给出平均时间τ一个花费在一个.

以下定理,我们不会证明,因为证明有点长而且不是特别有启发性(参见 Walters [327,Sect. 1.6] 或 Cornfeld、Fomin 和 Sinai [87,附录 3])断言所有这些限制确实存在4 :

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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