物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

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统计力学是一个数学框架,它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则,而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Definition of a Measure

Given a set $\Omega$, a measure $\mu$ is a map from subsets of $\Omega$ to the real numbers that will give the “size” of that set. The simplest example is when $\Omega$ is finite or countable, $\Omega=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots\right}$ and we have a sequence of numbers $p_{i} \geq 0, i=1, \ldots$; then, the measure $\mu$ is defined on subsets $A \subset \Omega$ by:
$$
\mu(A)=\sum_{i ; x_{i} \in A} p_{i}
$$
with $\mu(A)=\infty$ if the sum diverges.
However, it is in general not possible to define a “natural” measure on all subsets of uncountable sets. For a simple example, consider the set $[0,1[$ with addition modulo 1. Define an equivalence relation $x \equiv y$ if $x-y \in \mathbb{Q}$. The set $[0,1[$ is thus an uncountable union of equivalence classes, each of which is countable, since $\mathbb{Q}$ is countable and [0, 1[ is not. Let $E$ be a set composed of one element taken from each equivalence class (we need the axiom of choice to prove that such a set exists but let us assume that), let $q_{n}$ be an enumeration of the rational numbers in $[0,1[$ and let $E_{n}=E+q_{n}$. The sets $E_{n}$ ‘s are two by two disjoint (by definition of equivalence classes: if $E_{n} \cap E_{m} \neq \emptyset$ for $n \neq m$ then there exists $x, y \in E$, with $x+q_{n}=y+q_{m}$, and that means that $x \equiv y$, which contradicts the definition of $E)$ and $\cup_{n} E_{n}=[0,1[$.
Now if we want the sets $E_{n}$ to be measurable and if we want to define a translation invariant measure on $[0,1[$ (with addition modulo 1) satisfying (2.A.1) (e.g. the Lebesgue measure defined after proposition 2.4), then we run into a contradiction since $\mu\left(E_{n}\right)=\mu(E), \forall n$, by translation invariance, and $\mu\left(\cup_{n} E_{n}\right)=\mu([0,1[)=1$ : the infinite sum of identical terms in (2.A.1) (which extends (2.2.1) to infinite sums) cannot equal $1 .$

A more sophisticated example of non-measurable sets, called the Banach-Tarski paradox, relies on the construction of a subtle partition of the unit ball in $\mathbb{R}^{3}$ into ten disjoint subsets $A_{1}, \ldots, A_{10}$ (this construction again uses the axiom of choice), such that there exist ten rotations $R_{1}, \ldots, R_{10}$ with the property that $R_{1} A_{1}, \ldots, R_{5} A_{5}$ form a partition of the unit ball and $R_{6} A_{6}, \ldots, R_{10} A_{10}$ form also a partition of the unit ball. Thus, by partitioning adequately one unit ball and rotating without deformation the elements of the partition, one can construct two balls of the same size. This would be a paradox if the sets $A_{1}, \ldots, A_{10}$ were measurable, because the Lebesgue measure is invariant under rotations and then we would have, since the $A_{i}$ ‘s are disjoint:
$$
\begin{aligned}
1 &=\mu_{\mathrm{Leb}}\left(\cup_{i=1}^{10} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{10} \mu_{\mathrm{Leb}}\left(A_{i}\right) \
&=\sum_{i=1}^{10} \mu_{\mathrm{Leb}}\left(R_{i} A_{i}\right)=\mu_{\mathrm{Leb}}\left(\cup_{i=1}^{5} R_{i} A_{i}\right)+\mu_{\mathrm{Leb}}\left(\cup_{i=6}^{10} R_{i} A_{i}\right)=2
\end{aligned}
$$
This proves that the sets $A_{1}, \ldots, A_{10}$ are not measurable.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Constructions of Measures

The family of Borel sets, as well as other $\sigma$-algebras used here, is actually very large and it would be quite cumbersome to define explicitly the value of the map $\mu$ on every of those sets. Luckily, there exists extension theorems that guarantee that, if one defines $\mu$ on a much smaller class of sets, then it can be extended to the whole $\sigma$-algebra.

Definition $2.3$ A semi-algebra $\mathcal{S}$ is a family of subsets of a set $\Omega$ such that:

  1. $\emptyset \in \mathcal{S}$.
  2. $\forall A, B \in \mathcal{S}$, we have $A \cap B \in \mathcal{S}$ (the family is closed under pairwise intersections).
  3. $\forall A, B \in \mathcal{S}$, there exist disjoint sets $C_{i} \in \mathcal{S}, i=1,2, \ldots, n$, such that $A \backslash B=\bigcup_{i=1}^{n} C_{i}$ (relative complements of elements of $\mathcal{S}$ can be written as finite disjoint unions of elements of $\mathcal{S}$ ).

Proposition 2.4 Extensions of measures: If a map defined on a semi-algebra of sets $\mathcal{S}$ satisfies the properties in Definition $2.2$, and if $\Omega$ can be written as $\Omega=\cup_{i \in \mathbb{N}} A_{i}$, with $A_{i} \in \mathcal{S}, \mu\left(A_{i}\right)<\infty, \forall i \in \mathbb{N}$, then that map can be extended in a unique way to a measure defined on the $\sigma$-algebra generated by $\mathcal{S}$ (i.e. the smallest $\sigma$-algebra containing $\mathcal{S}$ ).
For a proof, see e.g. Royden [278, Sect. 12.2].
It is easy to check that the set of intervals in $\mathbb{R}$ or of rectangles in $\mathbb{R}^{n}$ (sets of the form $I_{1} \times \cdots \times I_{n}$, where $I_{k}$ are intervals in $\mathbb{R}$ ) are semi-algebras (exercise). Thus, it is sufficient to define a measure on the intervals of $\mathbb{R}$ to have it defined on the Borel subsets of $\mathbb{R}$.

If we take the measure of an interval to be its length, or the measure of a rectangle in $\mathbb{R}^{n}$ to be its volume, one obtains by extension the Lebesgue measure $\mu_{\mathrm{L}} \mathrm{eb}$, which is thus uniquely defined. ${ }^{25}$ For the Lebesgue measure of a set $E$, we will write $\mu$ Leb $(E)$ or, when there is no ambiguity, $|E|$, which also denotes the cardinality of the set $E$ for finite sets.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Integration

The idea of Riemann integration is to approximate the integral, that is, the area under a curve (for a positive valued function) by the sum of the areas of little vertical rectangles whose upper side lies just under that curve or just above it.

However that method of integration has two limitations: the set of functions that can be integrated with that method is restricted: for example, one cannot integrate à la Riemann the indicator function of the rational numbers, since the height of the only rectangles under the graph of that function is 0 and the height of the only rectangles above that graph is 1 , although intuitively, since the set of rational numbers is of measure 0 , that integral should exist and be also equal to 0 . Moreover, if a sequence of Riemann integrable functions $F_{n}(x) \rightarrow F(x), \forall x$, as $n \rightarrow \infty$, the conditions under which one can write the obviously desirable equation $\int F(x) d x=\lim {n \rightarrow \infty} \int F{n}(x) d x$ are not simple.

The idea of Lebesgue integration solves those problems. Consider for simplicity a bounded map $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$of bounded support (i.e. that vanishes outside a finite interval). Instead of dividing the domain of definition of that function into small intervals, as one does in the theory of Riemann integration, one divides the image of the function into small intervals and one seeks to approximate the integral by integrating functions of the form:
$$
F_{n}=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m}{n} 1\left(A_{m}\right),
$$
with $A_{m}=F^{-1}\left(\left[\frac{m}{n}, \frac{m+1}{n}\left[\right.\right.\right.$ and where the sum $\sum_{m=0}^{\infty}$ is finite for any bounded $F$, since then $F^{-1}\left(\left[\frac{m}{n}, \frac{m+1}{n}[)=\emptyset\right.\right.$ for $m$ large enough. The integral of $F_{n}$ is naturally defined as $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{m}{n} \mu\left(A_{m}\right)$.

For that expression to make sense, it is enough for the measure of sets of the form $F^{-1}\left(\left[\frac{m}{n}, \frac{m+1}{n}\right.\right.$ [ to exists. It is convenient to introduce a more general notion.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYS3034

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Definition of a Measure

给定一个集合Ω, 一种方法μ是来自子集的映射Ω到将给出该集合的“大小”的实数。最简单的例子是当Ω是有限的或可数的,\Omega=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots\right}\Omega=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots\right}我们有一个数字序列p一世≥0,一世=1,…; 那么,措施μ在子集上定义一个⊂Ω经过:

μ(一个)=∑一世;X一世∈一个p一世
和μ(一个)=∞如果总和发散。
但是,通常不可能对不可数集的所有子集定义“自然”度量。举一个简单的例子,考虑集合[0,1[加法模 1. 定义等价关系X≡是如果X−是∈问. 套装[0,1[因此是等价类的不可数联合,每个等价类都是可数的,因为问是可数的,而 [0, 1[ 不是。让和是由从每个等价类中提取的一个元素组成的集合(我们需要选择公理来证明这样的集合存在,但让我们假设),让qn是有理数的枚举[0,1[然后让和n=和+qn. 套装和n是二乘二不相交的(根据等价类的定义:如果和n∩和米≠∅为了n≠米那么存在X,是∈和, 和X+qn=是+q米,这意味着X≡是,这与定义相矛盾和)和∪n和n=[0,1[.
现在如果我们想要集合和n是可测量的,如果我们想定义一个平移不变的测量[0,1[(加模1)满足(2.A.1)(例如命题2.4之后定义的勒贝格测度),那么我们遇到了一个矛盾,因为μ(和n)=μ(和),∀n,通过平移不变性,和μ(∪n和n)=μ([0,1[)=1:(2.A.1)中相同项的无限和(将(2.2.1)扩展到无限和)不能等于1.

一个更复杂的不可测集示例,称为 Banach-Tarski 悖论,依赖于在R3分成十个不相交的子集一个1,…,一个10(此构造再次使用选择公理),因此存在十个旋转R1,…,R10与财产R1一个1,…,R5一个5形成单位球的分区和R6一个6,…,R10一个10也形成了单位球的隔断。因此,通过充分分隔一个单元球并旋转分隔元件而不变形,可以构造两个相同尺寸的球。如果集合,这将是一个悖论一个1,…,一个10是可测量的,因为勒贝格测度在旋转下是不变的,然后我们就会有,因为一个一世是不相交的:

1=μ大号和b(∪一世=110一个一世)=∑一世=110μ大号和b(一个一世) =∑一世=110μ大号和b(R一世一个一世)=μ大号和b(∪一世=15R一世一个一世)+μ大号和b(∪一世=610R一世一个一世)=2
这证明集合一个1,…,一个10是不可测量的。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Constructions of Measures

Borel 系列以及其他σ-这里使用的代数实际上非常大,明确定义映射的值会很麻烦μ在每一组上。幸运的是,存在扩展定理保证,如果一个定义μ在更小的集合类上,然后它可以扩展到整个σ-代数。

定义2.3一个半代数小号是一组子集的族Ω这样:

  1. ∅∈小号.
  2. ∀一个,乙∈小号, 我们有一个∩乙∈小号(家庭在成对交叉点下是封闭的)。
  3. ∀一个,乙∈小号, 存在不相交集C一世∈小号,一世=1,2,…,n, 这样一个∖乙=⋃一世=1nC一世(元素的相对补充小号可以写成元素的有限不相交并集小号 ).

命题 2.4 度量的扩展:如果一个映射定义在集合的半代数上小号满足定义中的性质2.2, 而如果Ω可以写成Ω=∪一世∈ñ一个一世, 和一个一世∈小号,μ(一个一世)<∞,∀一世∈ñ,那么该映射可以以独特的方式扩展到定义在σ- 代数由小号(即最小的σ-代数包含小号)。
有关证明,请参见 Royden [278, Sect. 12.2]。
很容易检查R或矩形Rn(表格的集合我1×⋯×我n, 在哪里我ķ是间隔R) 是半代数(练习)。因此,定义一个关于时间间隔的度量就足够了R将其定义在的 Borel 子集上R.

如果我们把一个区间的度量作为它的长度,或者一个矩形的度量Rn作为它的体积,一个人通过扩展获得勒贝格测度μ大号和b,因此是唯一定义的。25对于集合的 Lebesgue 测度和, 我们会写μ勒布(和)或者,当没有歧义时,|和|,这也表示集合的基数和对于有限集。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Integration

黎曼积分的想法是近似积分,即曲线下的面积(对于正值函数)由上边位于该曲线下方或上方的小垂直矩形的面积之和。

然而,这种积分方法有两个限制:可以与该方法积分的函数集受到限制:例如,不能积分 à la Riemann 有理数的指示函数,因为图下唯一矩形的高度该函数的 0 并且该图上方唯一矩形的高度为 1 ,尽管直观地说,由于有理数集的度量为 0 ,因此该积分应该存在并且也等于 0 。此外,如果一系列黎曼可积函数Fn(X)→F(X),∀X, 作为n→∞, 写出显然合意的方程 $\int F(x) dx=\lim {n \rightarrow \infty} \int F {n}(x) dx$ 的条件并不简单。

Lebesgue 积分的想法解决了这些问题。为简单起见考虑有界地图F:R→R+有界支持(即在有限区间外消失)。不像在黎曼积分理论中那样将该函数的定义域划分为小区间,而是将函数的图像划分为小区间,并通过对以下形式的函数进行积分来近似积分:

Fn=∑米=0∞米n1(一个米),
和一个米=F−1([米n,米+1n[总和在哪里∑米=0∞对任何有界都是有限的F, 自那时候起F−1([米n,米+1n[)=∅为了米足够大。的积分Fn自然定义为∑米=0∞米nμ(一个米).

为了使该表达式有意义,对于形式的集合的度量就足够了F−1([米n,米+1n[存在。引入一个更一般的概念很方便。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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