物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYSICS2520

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统计力学是一个数学框架,它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则,而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYSICS2520

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|A Simple Example

A way to establish a connection between the Bayesian and the frequentist views on probability relies on the law of large numbers: the calculus of probabilities-viewed now as part of deductive reasoning-leads one to ascribe subjective probabilities close to one for certain events that are precisely those that the objective approach deals with, namely the frequencies of some events, when the ‘same’ experiment is repeated many times. So, rather than opposing the two views, one should carefully distinguish between them, but regard the objective one as, in a sense, derived from the subjective one (i.e. when the law of large numbers leads to subjective probabilities sufficiently close to one). Let us state the law of large numbers, using a terminology that will be useful when we turn to statistical mechanics later.

Consider first the simple example of coin flipping. Let 0 denote ‘head’ and 1 , ‘tail’. The ‘space’ of results of any single flip, ${0,1}$, will be called the ‘individual phase space’ while the space of all possible results of $N$ flips, ${0,1}^{N}$, will be called the ‘total phase space’.

The variables $N_{0}, N_{1}$ that count the number of heads $(0)$ or tails (1) will be called macroscopic, in anticipation for their later use in statistical mechanics.

Here we introduce a distinction which will be essential throughout this book between the macroscopic variables, or the macrostate, and the microstate. The microstate, for $N$ flips, is the sequence of results for all the flips, while the macrostate simply specifies the values of $N_{0}$ and $N_{1}$.

Now, define a sequence of sets of microstates $\mathcal{T}{N} \subset{0,1}^{N}$ to be typical relative to a given sequence of probability measures $P{N}$ on ${0,1}^{N}$, if
$$
P_{N}\left(\mathcal{T}{N}\right) \rightarrow 1 $$ as $N \rightarrow \infty$. If the typical sets $\mathcal{T}{N}$ are defined by a property, we will also call that property typical. ${ }^{13}$
Let $G_{N}(\epsilon)$ be the set of microstates such that

$$
\left|\frac{N_{0}}{N}-\frac{1}{2}\right| \leq \epsilon
$$
Here the letter $G$ stand for “good”, because we will use the same expression later in the context of statistical mechanics.
Then, (a weak form of) the law of large numbers states that $\forall \epsilon>0$
$$
P_{N}\left(G_{N}(\epsilon)\right) \rightarrow 1
$$
as $N \rightarrow \infty$, where $P_{N}$ the product measure on ${0,1}^{N}$ that assigns independent probabilities $\frac{1}{2}$ to each outcome of each flip. This is the measure that one would assign on the basis of the indifference principle: give an equal probability to all possible sequences of results. In words, (2.3.3) says that the set of sequences $G_{N}(\epsilon)$ is typical in the sense of definition (2.3.1), $\forall \epsilon>0$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|A More General Result

This subsection is somewhat more mathematical than the rest of this chapter and we refer to the Appendix 2.A for the notations, definitions and results mentioned here.

Let $\boldsymbol{\Omega}, \boldsymbol{\Sigma}$ be a product space $x_{i=1}^{\infty} \Omega_{i}$ and $\boldsymbol{\mu}$ be a product measure $x_{i=1}^{\infty} \mu_{i}$ on $\boldsymbol{\Omega}, \boldsymbol{\Sigma}$ (where all $\Omega_{i}$ ‘s are copies of a given $\Omega$ and all $\mu_{i}$ ‘s are copies of a given measure $\mu$ on $\Omega$ ). Let $f_{i}: \Omega_{i} \rightarrow \mathbb{R}$ be a sequence of identical random variables (all $f_{i}$ ‘s are copies of a given $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R})$ and form the sum $S_{N}(\mathbf{x}): \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ :
$$
S_{N}(\mathbf{x})=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right)
$$
Assume for simplicity that the function $f$ is bounded. Then, if $G_{N}(\epsilon)$ denotes the set of microstates $\mathbf{x}$ such that
$$
\left|S_{N}(\mathbf{x})-\mathbb{E}(f)\right| \leq \epsilon,
$$
with $\mathbb{E}(f)=\int_{\Omega} f(x) d \mu(x)$ the expectation value of $f$, we have $\forall \epsilon>0$
$$
\boldsymbol{\mu}\left(G_{N}(\epsilon)\right) \rightarrow 1
$$
as $N \rightarrow \infty$. This is proven in Appendix $2 . B$, with explicit bounds on $\boldsymbol{\mu}\left(G_{N}(\epsilon)\right)$.
Formula (2.3.8) is called the weak law of large numbers because there is also a “strong” formulation of the law of large numbers:
$$
\boldsymbol{\mu}\left(\left{\mathbf{x}\left|\lim {N \rightarrow \infty}\right| S{N}(\mathbf{x})-\mathbb{E}(f) \mid=0\right}\right)=1,
$$
or, in words, the convergence of $\lim {N \rightarrow \infty}\left|S{N}(\mathbf{x})-\mathbb{E}(f)\right|$ to 0 holds $\boldsymbol{\mu}$ almost everywhere.

Here is another version of the law of large numbers: let $\left(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}\right)$ be a partition of $\mathbb{R}$. Given a sequence $\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right) \in \Omega^{N}$ define the histogram $\left(n_{\alpha}\right){\alpha=1}^{k}$ of the random variables $\left(f{1}, \ldots, f_{N}\right)$ by:
$$
n_{\alpha}(\mathbf{x})=\frac{\left|\left{i \in{1, \ldots, N} \mid f_{i}\left(x_{i}\right) \in A_{\alpha}\right}\right|}{N}
$$
where $|E|$ is the cardinality of the set $E$. The numbers $n_{\alpha}(\mathbf{x})$ give the fractions of $x_{i}$ ‘s, $i=1, \ldots, N$, for which the random variables $f_{i}\left(x_{i}\right) \in A_{\alpha}$.

Let $P_{\alpha}=\mu\left(\left{x \in \Omega \mid f(x) \in A_{\alpha}\right}\right)$ be the probability that the random variable $f$ takes values in $A_{\alpha}$.

Let $G_{N}^{\prime}(\epsilon)$ denote the set of microstates $\mathbf{x}$ such that the fractions in the histogram are close to the corresponding probabilities:
$$
\begin{aligned}
&\left|n_{\alpha}(\mathbf{x})-P_{\alpha}\right| \leq \epsilon \
&\forall \alpha=1, \ldots, k
\end{aligned}
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Corrections to the Law of Large Numbers

A informal way to state $(2.3 .9)$ is
$$
\sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right) \approx N \mathbb{E}(f)
$$
which holds for typical configurations when $N \rightarrow \infty$.
One may ask: what is the correction to that approximation? It turns out that this correction is of order $\sqrt{N}$ :
$$
\sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{i}\right) \approx N \mathbb{E}(f)+\sqrt{N} X
$$
where $X$ is a Gaussian random variable. The precise formulation of (2.3.16) is:
Theorem 2.1 The central limit theorem.
Let $X_{N}=\frac{\sum_{i=1}^{N} f_{i}\left(x_{1}\right)-N E(f)}{\sqrt{N}}$, with $f_{i}$ as in $(2.3 .6)$.
Then, $\forall a, b \in \mathbb{R}, a<b$,
$$
\lim {N \rightarrow \infty} \boldsymbol{\mu}\left(a \leq X{N} \leq b\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{a}^{b} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)
$$
where $\sigma^{2}=\mathbb{E}\left(f^{2}\right)-\mathbb{E}(f)^{2}$.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|PHYSICS2520

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|A Simple Example

建立贝叶斯和频率论关于概率的观点之间的联系的一种方法依赖于大数定律:概率的计算——现在被视为演绎推理的一部分——导致人们将主观概率归因于某些事件,这些事件是正是客观方法处理的那些,即当“相同”实验重复多次时某些事件的频率。因此,与其反对这两种观点,不如仔细区分它们,但在某种意义上,将客观观点视为源自主观观点(即当大数定律导致主观概率足够接近一时)。让我们用一个在稍后转向统计力学时有用的术语来陈述大数定律。

首先考虑抛硬币的简单例子。让 0 表示“头”,而 1 表示“尾”。任何一次翻转结果的“空间”,0,1,将被称为“单个相空间”,而所有可能结果的空间ñ翻转,0,1ñ,将被称为“总相空间”。

变量ñ0,ñ1计算正面的数量(0)或尾部(1)将被称为宏观,以期它们以后在统计力学中的使用。

在这里,我们介绍了贯穿本书的宏观变量或宏观状态与微观状态之间的重要区别。微观状态,对于ñ翻转,是所有翻转的结果序列,而宏状态仅指定ñ0和ñ1.

现在,定义一系列微状态集吨ñ⊂0,1ñ相对于给定的概率测量序列是典型的磷ñ上0,1ñ, 如果

磷ñ(吨ñ)→1作为ñ→∞. 如果典型集吨ñ由属性定义,我们也称该属性为典型。13
让Gñ(ε)是一组微观状态,使得

|ñ0ñ−12|≤ε
这里的信G代表“好”,因为我们稍后将在统计力学的上下文中使用相同的表达方式。
然后,大数定律的(一种弱形式)指出∀ε>0

磷ñ(Gñ(ε))→1
作为ñ→∞, 在哪里磷ñ产品测量0,1ñ分配独立的概率12每次翻转的每个结果。这是人们根据无差异原则分配的度量:对所有可能的结果序列赋予相等的概率。换句话说,(2.3.3) 表示序列集Gñ(ε)在定义(2.3.1)的意义上是典型的,∀ε>0.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|A More General Result

本小节比本章其余部分更具数学性,我们参考附录 2.A 了解此处提到的符号、定义和结果。

让Ω,Σ成为产品空间X一世=1∞Ω一世和μ成为产品度量X一世=1∞μ一世上Ω,Σ(其中所有Ω一世是给定的副本Ω和所有μ一世是给定度量的副本μ上Ω)。让F一世:Ω一世→R是一系列相同的随机变量(所有F一世是给定的副本F:Ω→R)并形成总和小号ñ(X):Ω→R :

小号ñ(X)=1ñ∑一世=1ñF一世(X一世)
为简单起见,假设函数F是有界的。那么,如果Gñ(ε)表示微观状态的集合X这样

|小号ñ(X)−和(F)|≤ε,
和和(F)=∫ΩF(X)dμ(X)的期望值F, 我们有∀ε>0

μ(Gñ(ε))→1
作为ñ→∞. 这在附录中得到证明2.乙, 有明确的界限μ(Gñ(ε)).
公式(2.3.8)被称为弱大数定律,因为大数定律也有一个“强”公式:

\boldsymbol{\mu}\left(\left{\mathbf{x}\left|\lim {N \rightarrow \infty}\right| S{N}(\mathbf{x})-\mathbb{E}( f) \mid=0\right}\right)=1,\boldsymbol{\mu}\left(\left{\mathbf{x}\left|\lim {N \rightarrow \infty}\right| S{N}(\mathbf{x})-\mathbb{E}( f) \mid=0\right}\right)=1,
或者,换句话说,收敛林ñ→∞|小号ñ(X)−和(F)|0 持有μ几乎无处不在。

这是大数定律的另一个版本:让(一个1,一个2,…,一个ķ)成为一个分区R. 给定一个序列(X1,…,Xñ)∈Ωñ定义直方图(n一个)一个=1ķ随机变量(F1,…,Fñ)经过:

n_{\alpha}(\mathbf{x})=\frac{\left|\left{i \in{1, \ldots, N} \mid f_{i}\left(x_{i}\right) \在 A_{\alpha}\right}\right|}{N}n_{\alpha}(\mathbf{x})=\frac{\left|\left{i \in{1, \ldots, N} \mid f_{i}\left(x_{i}\right) \在 A_{\alpha}\right}\right|}{N}
在哪里|和|是集合的基数和. 号码n一个(X)给出分数X一世的,一世=1,…,ñ, 其中随机变量F一世(X一世)∈一个一个.

让P_{\alpha}=\mu\left(\left{x \in \Omega \mid f(x) \in A_{\alpha}\right}\right)P_{\alpha}=\mu\left(\left{x \in \Omega \mid f(x) \in A_{\alpha}\right}\right)是随机变量的概率F取值一个一个.

让Gñ′(ε)表示微观状态的集合X使得直方图中的分数接近相应的概率:

|n一个(X)−磷一个|≤ε ∀一个=1,…,ķ

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Corrections to the Law of Large Numbers

一种非正式的表达方式(2.3.9)是

∑一世=1ñF一世(X一世)≈ñ和(F)
这适用于典型配置时ñ→∞.
有人可能会问:这个近似值的修正是什么?事实证明,这个修正是有序的ñ :

∑一世=1ñF一世(X一世)≈ñ和(F)+ñX
在哪里X是一个高斯随机变量。(2.3.16) 的精确公式是:
定理 2.1 中心极限定理。
让Xñ=∑一世=1ñF一世(X1)−ñ和(F)ñ, 和F一世如在(2.3.6).
然后,∀一个,b∈R,一个<b,

林ñ→∞μ(一个≤Xñ≤b)=12圆周率σ∫一个b经验⁡(−X22σ2)
在哪里σ2=和(F2)−和(F)2.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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