### 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3101

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## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Stationary States

Let us look for separated solutions to the partial differential Schrödinger equation
$$\Psi(x, t)=\Phi(t) \psi(x)$$
We will eventually build the general solution out of these. Substitution into the equation, and division by $\Psi=\Phi \psi$, gives
$$i \hbar \frac{1}{\Phi(t)} \frac{d \Phi(t)}{d t}=\frac{1}{\psi(x)} H \psi(x)$$
In order for this to hold for all $(x, t)$, both expressions must simply be equal to some constant $E$.
For the first term, one then has
$$i \hbar \frac{d \Phi(t)}{d t}=E \Phi(t)$$
The solution to this equation is
$$\Phi(t)=e^{-i E t / \hbar}$$
For the second term, one has
$$H \psi(x)=E \psi(x)$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Eigenfunctions and Eigenvalues

Let us start with the simplest case of the eigenfunctions and eigenvalues of the momentum operator
$$p \psi(x)=\frac{h}{i} \frac{d \psi(x)}{d x}=\hbar k \psi(x)$$
Here we have denoted the eigenvalues by $\hbar k$. The solutions to this equation are
$$\psi(x) \propto e^{i k x}$$Now it is crucial to supply some boundary conditions for the problem. Here we shall just consider the simplest case of periodic boundary conditions (p.b.c.). Imagine the particle is running around a large circle of length $L$, and let $x$ denote the distance along the circle (see Fig. 2.1).

The p.b.c. in this case is
$$\psi(x+L)=\psi(x) \quad \text {; p.b.c. }$$
The eigenvalues of the momentum then follow immediately through
$$k_{n}=\frac{2 \pi n}{L} \quad ; n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$$
The normalized eigenfunctions are
$$\psi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}} e^{2 \pi i n x / L}$$
A simple calculation shows these solutions are orthonormal
$$\int_{0}^{L} d x \psi_{n}^{*}(x) \psi_{m}(x)=\delta_{m, n}$$
where $\delta_{m, n}$ is the Kronecker delta
\begin{aligned} \delta_{m, n} &=1 & & ; \text { if } m=n \ &=0 & & ; \text { if } m \neq n \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|General Solution

Let us try to construct the general solution to the Schrödinger eguation for a free particle moving around the circle from these separated solutions
$$\Psi(x, t)=\sum_{n} c_{n} \psi_{n}(x) e^{-i E_{n} t / \hbar} \quad \text {; general solution }$$
Since the Schrödinger equation is linear, the principle of superposition holds, and any linear combination of solutions is again a solution.

The Schrödinger equation is first order in the time derivative, so one has to specify the wave function everywhere in space at the initial time (say $t=0)$ to specify the solution
$$\Psi(x, 0) \equiv g(x)=\sum_{n} c_{n} \psi_{n}(x)$$
Use the orthonormality of the eigenfunctions to determine the expansion coefficients
$$c_{m}=\int_{0}^{L} d x \psi_{m}^{*}(x) g(x)$$
The functions $\psi_{n}(x)$ form a complete set, and it is known that an arbitrary piecewise continuous function can be expanded in such a complex Fourier series. ${ }^{3}$

Ψ(X,吨)=披(吨)ψ(X)

Hψ(X)=和ψ(X)

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Eigenfunctions and Eigenvalues

pψ(X)=H一世dψ(X)dX=⁇ķψ(X)

ψ(X)∝和一世ķX现在，为问题提供一些边界条件至关重要。在这里，我们将只考虑周期性边界条件（pbc）的最简单情况。想象一下粒子绕着一个大圆圈运行大号， 然后让X表示沿圆的距离（见图 2.1）。

ψ(X+大号)=ψ(X); 中国人民银行

ķn=2圆周率n大号;n=0,±1,±2,⋯

ψn(X)=1大号和2圆周率一世nX/大号

∫0大号dXψn∗(X)ψ米(X)=d米,n

d米,n=1; 如果 米=n =0; 如果 米≠n

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|General Solution

Ψ(X,吨)=∑nCnψn(X)和−一世和n吨/⁇; 一般解决方案

Ψ(X,0)≡G(X)=∑nCnψn(X)

C米=∫0大号dXψ米∗(X)G(X)

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。