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量子力学是物理学的一个基本理论，它在原子和亚原子粒子的尺度上对自然界的物理特性进行了描述。它是所有量子物理学的基础，包括量子化学、量子场论、量子技术和量子信息科学。
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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Higher Dimensions
So far, for simplicity, we have worked in just one dimension where the Schrödinger equation reads
$$
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right] \Psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}
$$
Here the partial derivatives imply that the other variable in the set $(x, t)$ is to be kept constant. To increase the number of dimensions, we can simply follow our work on the wave equation and replace
$$
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \rightarrow \nabla^{2}
$$
where $\nabla^{2}$ is the laplacian
$$
\begin{aligned}
\nabla^{2} &=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} & & ; \text { one dimension } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} & & ; \text { two dimensions } \
&=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} & & ; \text { three dimensions }
\end{aligned}
$$
This is equivalent to writing the Schrödinger equation as
$$
H \Psi(\vec{x}, t)=\left[\frac{\vec{p}^{2}}{2 m}+V(\vec{x})\right] \Psi(\vec{x}, t)=i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x}, t)}{\partial t}
$$
and expanding the momentum to read
$$
p_{j}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \quad ; j=1,2, \cdots
$$
where the index $j$ now labels the cartesian axes.
As one example, consider a particle of mass $m$ in a square twodimensional box with sides $L$. Here the boundary conditions are those of walls, and the eigenfunctions and eigenvalues are evidently
$$
\begin{aligned}
\psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y) &=\left(\frac{2}{L}\right) \sin \left(\frac{n_{x} \pi x}{L}\right) \sin \left(\frac{n_{y} \pi y}{L}\right) \quad ;\left(n_{x}, n_{y}\right)=1,2,3, \cdots \
E_{n_{x}, n_{y}} &=\frac{\hbar^{2} \pi^{2}}{2 m L^{2}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}\right)
\end{aligned}
$$
The general solution to the Schrödinger equation is correspondingly
$$
\Psi(x, y, t)=\sum_{n_{x}} \sum_{n_{y}} c_{n_{x}, n_{y}} \psi_{n_{x}, n_{y}}(x, y) e^{-i E_{n_{x}, n_{y}} t / \hbar}
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Perturbation Theory
Suppose the hamiltonian has an additional small piece $\delta V(x)$, which makes the Schrödinger equation difficult to solve analytically
$$
H \rightarrow H_{0}+\delta V(x)
$$
We return to $\mathrm{Eq} .(3.6)$
$$
E=\frac{\int d x \psi^{}(x) H \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^{2}}=\frac{\int d x \psi^{}(x)\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^{2}}
$$
Let us use the eigenfunction $\psi_{n}(x)$ of $H_{0}$ in this expression to obtain
$$
E_{n}=E_{n}^{0}+\frac{\int d x \psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int d x\left|\psi_{n}(x)\right|^{2}} $$ This provides the first-order perturbation theory expression for the shift in the eigenvalue $$ \delta E_{n}=\frac{\int d x \psi_{n}^{}(x)[\delta V(x)] \psi_{n}(x)}{\int d x\left|\psi_{n}(x)\right|^{2}} \quad ; \text { perturbation theory (3.46) }
$$
The small shift in the eigenvalue is the integral of the perturbation over the eigenfunction.
As an example, suppose that with the particle in the box in Fig. $3.1$ there is a small, narrow potential step at the midpoint
$$
\delta V(x)=\nu_{0} \quad ;\left|x-\frac{L}{2}\right|<l
$$
where $l \ll L$. The eigenfunctions are $\sqrt{2 / L} \sin (n \pi x / L)$. For odd $n$, the magnitude of the sine is unity at the midpoint where $x=L / 2$. For even $n$, it vanishes there. 4 Hence, for $l \ll L$, one has
$$
\begin{aligned}
\delta E_{n} &=4 \nu_{0} \frac{l}{L} & & ; n=1,3,5, \cdots \
&=0 & & ; n=2,4,6, \cdots
\end{aligned}
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Non-Degenerate Perturbation Theory
Let us make the analysis more general. We want to solve for the eigenfunctions and eigenvalues in the Schrödinger equation
$$
H \psi(x)=\left[H_{0}+\delta V(x)\right] \psi(x)=E \psi(x)
$$
Expand the wave function $\psi(x)$ in the complete set of eigenstates of $H_{0}$
$$
\begin{aligned}
\psi(x) &=\sum_{m} c_{m} \psi_{m}(x) \
H_{0} \psi_{m}(x) &=E_{m}^{0} \psi_{m}(x)
\end{aligned}
$$
Substitute this in the above equation
$$
\sum_{m}\left(E-E_{m}^{0}\right) c_{m} \psi_{m}(x)=\delta V(x) \psi(x)
$$
Now multiply by $\psi_{n}^{}(x)$ on the left, integrate over $x$, and use the orthonormality of the eigenfunctions $$ c_{n}=\frac{1}{E-E_{n}^{0}} \int d x \psi_{n}^{}(x) \delta V(x) \psi(x)
$$
We now make a rather unusual choice of norm for $\psi(x)$
$$
c_{n}=1 \quad ; \text { choice of norm }
$$
Let us discuss this:
- This choice is for a given $n$ :
量子力学代考
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Higher Dimensions
到目前为止，为简单起见，我们只研究了薛定谔方程的一维
[−⁇22米∂2∂X2+在(X)]Ψ(X,吨)=一世⁇∂Ψ(X,吨)∂吨
这里的偏导数意味着集合中的另一个变量(X,吨)应保持不变。为了增加维数，我们可以简单地按照我们对波动方程的工作并替换
∂2∂X2→∇2
在哪里∇2是拉普拉斯算子
∇2=∂2∂X2; 一维 =∂2∂X2+∂2∂是2; 二维 =∂2∂X2+∂2∂是2+∂2∂和2; 三个维度
这相当于将薛定谔方程写为
HΨ(X→,吨)=[p→22米+在(X→)]Ψ(X→,吨)=一世⁇∂Ψ(X→,吨)∂吨
并扩大阅读的势头
pj=⁇一世∂∂Xj;j=1,2,⋯
索引在哪里j现在标记笛卡尔坐标轴。
作为一个例子，考虑一个质量粒子米在一个有边的方形二维盒子里大号. 这里边界条件是墙的边界条件，特征函数和特征值显然是
ψnX,n是(X,是)=(2大号)罪(nX圆周率X大号)罪(n是圆周率是大号);(nX,n是)=1,2,3,⋯ 和nX,n是=⁇2圆周率22米大号2(nX2+n是2)
薛定谔方程的通解相应地为
Ψ(X,是,吨)=∑nX∑n是CnX,n是ψnX,n是(X,是)和−一世和nX,n是吨/⁇
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Perturbation Theory
假设 hamiltonian 有一个额外的小块d在(X)，这使得薛定谔方程难以解析求解
H→H0+d在(X)
我们回到和q.(3.6)
和=∫dXψ(X)Hψ(X)∫dX|ψ(X)|2=∫dXψ(X)[H0+d在(X)]ψ(X)∫dX|ψ(X)|2
让我们使用特征函数ψn(X)的H0在这个表达式中获得
和n=和n0+∫dXψn(X)[d在(X)]ψn(X)∫dX|ψn(X)|2这提供了特征值偏移的一阶微扰理论表达式
d和n=∫dXψn(X)[d在(X)]ψn(X)∫dX|ψn(X)|2; 微扰理论 (3.46)
特征值的微小偏移是特征函数上扰动的积分。
举个例子，假设有图 1 中方框中的粒子。3.1在中点有一个小而窄的潜在台阶
d在(X)=ν0;|X−大号2|<l
在哪里l≪大号. 特征函数是2/大号罪(n圆周率X/大号). 对于奇数n, 正弦的大小在中点处是统一的X=大号/2. 对于甚至n，它消失在那里。4 因此，对于l≪大号, 一个有
d和n=4ν0l大号;n=1,3,5,⋯ =0;n=2,4,6,⋯
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Non-Degenerate Perturbation Theory
让我们使分析更笼统。我们要求解薛定谔方程中的特征函数和特征值
Hψ(X)=[H0+d在(X)]ψ(X)=和ψ(X)
展开波函数ψ(X)在完整的本征态集中H0
ψ(X)=∑米C米ψ米(X) H0ψ米(X)=和米0ψ米(X)
将其代入上述等式
∑米(和−和米0)C米ψ米(X)=d在(X)ψ(X)
现在乘以ψn(X)在左边，整合过来X, 并使用特征函数的正交性
Cn=1和−和n0∫dXψn(X)d在(X)ψ(X)
我们现在为ψ(X)
Cn=1; 规范的选择
让我们讨论一下：
- 这个选择是给定的n :
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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