物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYC90008

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYC90008

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Measuring Two Different Observables on the Same System

Suppose now that we consider a second observable $\mathcal{O}^{\prime}$ with a corresponding Hermitian operator $B$. Then if a system in state $|\alpha\rangle$ is such that it will always yield the same value
14 One should say that the problem here is formulated in a rather outrageous way to make the point clear. The universe seems to have done fine prior to our existing! The problem is nonetheless real. On the one hand, one may argue that Quantum Mechanics applies only to the microscopic world. Then a measurement process will be anything that interacts with a macroscopic object such as a photosensitive chemical in a photographic emulsion and has nothing to do with a conscious observer. On the other hand, if one refuses this arbitrary and ill-defined boundary between macroscopic and microscopic worlds, the quantum realm extends all the way to the consciousness of the observer. It is then very difficult to escape the conclusion that this consciousness plays a role, and matters become very murky. The theory of decoherence tries to address these issues.
15 Including cases where the mathematical justification is not ironclad.
16 The measured value of the observable $O$ in state $|\alpha\rangle$ is a random variable, and as such has an expected value. When we repeat the experiment many times and average the corresponding measurements, the quantity we obtain is near this expected value. This is why both names are used.

when $\mathcal{O}$ is measured, and also when $\mathcal{O}^{\prime}$ is measured, then $|\alpha\rangle$ must be an eigenvector of both $A$ and $B$. Then $[A, B]|\alpha\rangle=0$. When no such $|\alpha\rangle$ exists, ${ }^{17}$ there does not exist a state for which both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ can be measured with certainty. It is simply impossible to ever know at the same time the values of both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ for any state of the system. It is fallacious to think that to know them both one just has to measure $\mathcal{O}$ and then $\mathcal{O}^{\prime}$. After the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$ has taken place you no longer know the value of $\mathcal{O}$. If you measure $\mathcal{O}$, then measure $\mathcal{O}^{\prime}$, and “immediately after” measure $\mathcal{O}$ again, the result of this second measurement of $\mathcal{O}$ will sometimes be different from the result of the first measurement. This is because, as we explained earlier, the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$ has changed the state of the system. Right after the measurement of $\mathcal{O}^{\prime}$, the state of the system is an eigenvector of $B$, and by hypothesis, this eigenvector of $B$ is not an eigenvector of $A$, so that in this state of the system, the result of the measurement of $A$ cannot be predicted with certainty.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Uncertainty

Heisenberg’s uncertainty principle, which we will study in the present section, is related to but different from the phenomenon of the previous section. If the system is in state $x$ with $(x,[A, B] x) \neq 0$, one cannot measure both observables $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ with arbitrary accuracy. We are not talking here of successive measurements on the same experiment, where the first measurement changes the state of the system. We are talking of measurements on different experiments. One repeats the experiment many times, each time measuring either $\mathcal{O}$ or $\mathcal{O}^{\prime}$. If the results of measuring $\mathcal{O}$ are concentrated in a small interval, then the results of measuring $\mathcal{O}^{\prime}$ must spread out. In the important special case where $[A, B]$ is a multiple of the

identity, whatever the state of the system, you can never measure both $\mathcal{O}$ and $\mathcal{O}^{\prime}$ with arbitrary accuracy. A quantitative version of this statement is given in Proposition 2.3.2.
Definition 2.3.1 Consider an observable $\mathcal{O}$ with associated Hermitian operator $A$. The uncertainty $\Delta_{x} A \geq 0$ of $\mathcal{O}$ in the state $x \in \mathcal{H}$ is given by
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}:=\left(x, A^{2} x\right)-(x, A x)^{2} .
$$
For instance, in the case of the basic example, the uncertainty of the position in state $x$ is $\sqrt{\sum_{i \leq n} \lambda_{i}^{2}\left|x_{i}\right|^{2}-\left(\sum_{i \leq n} \lambda_{i}\left|x_{i}\right|^{2}\right)^{2}}$. To make sense of $(2.9)$, one may observe that $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}$ is just the variance of the probability distribution of Principle 4 , or in other words, $\Delta_{x} A$ is the standard deviation of this probability distribution. The physical content of this definition should be stressed. When you make a measurement of the observable $\mathcal{O}$ for a system in state $x$, you get a random result, and $\Delta_{x} A$ is the standard deviation of this random result. ${ }^{18}$
To explain (2.9) in more mathematical terms, this quantity measures “the squaredeviation of $\mathcal{O}$ from its average in state $x “$. Indeed, denoting by 1 the identity operator of $\mathcal{H}$ (and since $x$ is of norm 1 ),
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=\left(x, A^{\prime 2} x\right)
$$
where the Hermitian operator $A^{\prime}:=A-(x, A x) 1$ is “the deviation of $\mathcal{O}$ from its average in state $x^{\prime \prime}$. When $x$ is an eigenvector of $A$, obviously $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$. Conversely, when $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$, since
$$
\left(x, A^{\prime 2} x\right)=\left(A^{\prime} x, A^{\prime} x\right)=\left|A^{\prime} x\right|^{2},
$$
then $A^{\prime} x=0$ so that $x$ is an eigenvector of $A$. Therefore, $\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=0$ if and only if $x$ is an eigenvector of $A$, i.e. if and only if the measurement of $\mathcal{O}$ in state $x$ offers no uncertainty, in accord with our calling $\Delta_{x} A$ the “uncertainty of $\mathcal{O}$ in state $x$ “.
Observe finally that $\left(x, A^{\prime} x\right)=0$, so that $(2.10)$ means
$$
\left(\Delta_{x} A\right)^{2}=\left(\Delta_{x} A^{\prime}\right)^{2} .
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Finite versus Continuous Models

Mathematicians are trained to think of physical space as $\mathbb{R}^{3}$. But our continuous model of physical space as $\mathbb{R}^{3}$ is of course an idealization, both at the scale of the very large and at the scale of the very small. This idealization has proved to be very powerful, but in the case of Quantum Field Theory, it creates multiple problems, and in particular the infamous infinities (in the form of diverging integrals).

Can we dispense with continuous models and their analytical problems? A physical measurement is made through a device with finite accuracy, and this measurement is no different from the same measurement rounded to the last significant digit. The result of the measurement is also bounded, ${ }^{19}$ so it may yield only finitely many possible values, and we might be able to study physics using only finite-dimensional Hilbert spaces (of huge dimension).
There is a fundamental reason why we stubbornly keep infinite models. Probably the most important guiding principle in finding good models is that a proper theory should be Lorentz invariant, ${ }^{20}$ reflecting the fact that physics should be the same for all inertial observers ${ }^{21}$ (who undergo no acceleration). There is no way this can be implemented in a finite model, say one which replaces the continuous model of physical space by a finite grid. Lorentz invariance can be recovered from a finite model only “in the infinite limit”. Further, there is no canonical choice for such a finite model, so that one has to show that the results obtained by a finite approximation are indeed essentially independent of how this approximation is performed. Heuristically, this is plausible but it is quite another matter to really prove independence. In fact, it can be argued that settling this question is of the same order of difficulty as constructing a continuous model which in some sense would be the limit of the finite model as the grid becomes finer. In the case of Quantum Field Theory, this is a highly non-trivial task. Most importantly, considering finite models does not really solve anything. The infinities reappear in the guise of quantities that blow up as the grid becomes finer, and it is very hard to make sense of this behavior.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYC90008

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Measuring Two Different Observables on the Same System

现在假设我们考虑第二个 observable○′具有相应的 Hermitian 算子乙. 那么如果系统处于状态|一个⟩是这样的,它总是会产生相同的价值
14 应该说,这里的问题是以一种相当离谱的方式表述的,以明确这一点。在我们存在之前,宇宙似乎做得很好!问题仍然是真实的。一方面,有人可能会争辩说,量子力学只适用于微观世界。那么测量过程将是与宏观物体相互作用的任何东西,例如照相乳剂中的感光化学物质,与有意识的观察者无关。另一方面,如果拒绝这种在宏观和微观世界之间任意且不明确的界限,那么量子领域就会一直延伸到观察者的意识中。那么很难摆脱这个意识起作用的结论,事情变得非常模糊。退相干理论试图解决这些问题。
15 包括数学论证不明确的情况。
16 可观测的测量值○处于状态|一个⟩是一个随机变量,因此具有期望值。当我们多次重复实验并平均相应的测量值时,我们得到的数量接近这个预期值。这就是使用这两个名称的原因。

什么时候○被测量,并且当○′被测量,然后|一个⟩必须是两者的特征向量一个和乙. 然后[一个,乙]|一个⟩=0. 当没有这样的|一个⟩存在,17不存在一种状态○和○′可以确定地测量。根本不可能同时知道两者的价值○和○′对于系统的任何状态。认为要了解他们两个人只需要衡量的想法是错误的○接着○′. 测量后○′已经发生了你不再知道的价值○. 如果你测量○,然后测量○′, 和“紧随其后”的措施○再次,第二次测量的结果○有时会与第一次测量的结果不同。这是因为,正如我们前面所解释的,测量○′改变了系统的状态。测量后立即○′,系统的状态是一个特征向量乙,并且根据假设,这个特征向量乙不是的特征向量一个,因此在系统的这种状态下,测量的结果一个无法确定地预测。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Uncertainty

我们将在本节研究的海森堡测不准原理与上一节的现象相关但又有所不同。如果系统处于状态X和(X,[一个,乙]X)≠0, 不能同时测量两个可观察量○和○′具有任意精度。我们在这里不是在谈论同一实验的连续测量,其中第一次测量会改变系统的状态。我们谈论的是不同实验的测量结果。一个人重复实验多次,每次测量○或者○′. 如果测量结果○集中在一个小区间,那么测量的结果○′必须散开。在重要的特殊情况下[一个,乙]是的倍数

身份,无论系统处于何种状态,您永远无法同时衡量两者○和○′具有任意精度。该陈述的定量版本在命题 2.3.2 中给出。
定义 2.3.1 考虑一个可观察的○与关联的 Hermitian 算子一个. 不确定性ΔX一个≥0的○在该州X∈H是(谁)给的

(ΔX一个)2:=(X,一个2X)−(X,一个X)2.
例如,在基本示例的情况下,状态位置的不确定性X是∑一世≤nλ一世2|X一世|2−(∑一世≤nλ一世|X一世|2)2. 理解(2.9), 可以观察到(ΔX一个)2只是原理4的概率分布的方差,或者换句话说,ΔX一个是这个概率分布的标准差。应该强调这个定义的物理内容。当你测量可观察的○对于处于状态的系统X,你得到一个随机结果,并且ΔX一个是这个随机结果的标准差。18
为了用更数学的术语解释(2.9),这个量测量“平方偏差○从它的平均状态X“. 实际上,用 1 表示H(并且由于X是范数 1),

(ΔX一个)2=(X,一个′2X)
Hermitian 算子在哪里一个′:=一个−(X,一个X)1是“的偏差○从它的平均状态X′′. 什么时候X是一个特征向量一个, 明显地(ΔX一个)2=0. 相反,当(ΔX一个)2=0, 自从

(X,一个′2X)=(一个′X,一个′X)=|一个′X|2,
然后一个′X=0以便X是一个特征向量一个. 所以,(ΔX一个)2=0当且仅当X是一个特征向量一个,即当且仅当测量○处于状态X不提供任何不确定性,符合我们的召唤ΔX一个“不确定性○处于状态X“。
最后观察到(X,一个′X)=0, 以便(2.10)方法

(ΔX一个)2=(ΔX一个′)2.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Finite versus Continuous Models

数学家受过训练,将物理空间视为R3. 但是我们的物理空间的连续模型为R3当然是一种理想化,无论是在非常大的规模上还是在非常小的规模上。这种理想化已被证明是非常强大的,但在量子场论的情况下,它会产生多个问题,尤其是臭名昭著的无穷大(以发散积分的形式)。

我们可以免除连续模型及其分析问题吗?物理测量是通过具有有限精度的设备进行的,该测量与舍入到最后一个有效数字的相同测量没有什么不同。测量的结果也是有界的,19所以它可能只产生有限多个可能的值,我们可能只使用有限维希尔伯特空间(大维)来研究物理学。
我们顽固地保留无限模型是有根本原因的。寻找好的模型最重要的指导原则可能是正确的理论应该是洛伦兹不变的,20反映所有惯性观察者的物理学应该相同的事实21(没有加速)。这不可能在有限模型中实现,比如用有限网格代替物理空间的连续模型。洛伦兹不变性只能从“无限极限”的有限模型中恢复。此外,这种有限模型没有规范的选择,因此必须证明通过有限逼近获得的结果实际上基本上独立于该逼近的执行方式。从启发式上看,这似乎是合理的,但真正证明独立性是另一回事。事实上,可以说解决这个问题的难度与构建连续模型的难度相同,在某种意义上,随着网格变得更细,这将是有限模型的极限。就量子场论而言,这是一项非常重要的任务。最重要的是,考虑有限模型并不能真正解决任何问题。随着网格变得更细,无穷大以爆炸的数量重新出现,并且很难理解这种行为。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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