物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS4125

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS4125

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Delta Function

Besides reviewing the delta function, this section introduces the idea of a smooth cutoff, how to get rid of the troublesome part of an integral.
Mathematically, the delta “function” $\delta$ is simply the distribution given by
$$
\delta(\zeta)=\zeta(0)
$$
for any test function $\zeta \in \mathcal{S}$. Pretending that the delta “function” is actually a true function we will shamelessly write $(1.12)$ as
$$
\zeta(0)=\int \mathrm{d} x \zeta(x) \delta(x)
$$
The name “delta function” is historical. Physicists have been using this object long before distributions were invented.

Exercise 1.4.1 (a) Convince yourself that it makes perfect sense to say that $\delta(x)=0$ if $x \neq 0$.
(b) Make sure that you understand that despite the terminology, the delta function $\delta$ is not a function in the mathematical sense and that the quantity $\delta(0)$ makes no sense.

(c) Convince yourself from (1.13) that, in the words of physicists, “the delta function $\delta$ is the function of $x$ which is equal to zero for $x \neq 0$ and to infinity for $x=0$, but in such a way that its integral is 1”.
(d) Convince yourself that the derivative of the delta function $\delta$, i.e. the distribution $\delta^{\prime}$ given by $\delta^{\prime}(\zeta)=-\zeta^{\prime}(0)$ “does not look at all like a function”.
For $a \neq 0$ let us define $\delta(a x)$ by
$$
\int \mathrm{d} x \zeta(x) \delta(a x):=\frac{1}{|a|} \int \mathrm{d} x \zeta(x / a) \delta(x)=\frac{1}{|a|} \zeta(0)
$$
so that
$$
\delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x)
$$
and in particular $\delta(-x)=\delta(x) .^{13}$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Fourier Transform

Besides reviewing some basic facts about Fourier transforms, this section provides the first example of certain calculations common in physics.

The Fourier transform will play a fundamental role. ${ }^{17}$ Let us temporarily denote by $\mathcal{F}{m}$ the Fourier transform, that is $$ \mathcal{F}{m}(f)(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \mathrm{d} y \exp (-\mathrm{i} x y) f(y),
$$
where the subscript $m$ reminds you that this is the way mathematicians like to define it (whereas our choice of normalization will be different). The right-hand side is defined for $f$ integrable, and in particular for a Schwartz function $f \in \mathcal{S}$. Using integration by parts in the first equality, and differentiation under the integral sign in the second one, we obtain the fundamental facts that for any test function $f$,
$$
\mathcal{F}{m}\left(f^{\prime}\right)(x)=\mathrm{i} x \mathcal{F}{m}(f)(x) ; \mathcal{F}{m}(x f)=\mathrm{i} \mathcal{F}{m}(f)^{\prime},
$$
where we abuse notation by denoting by $x f$ the function $x \mapsto x f(x)$. An essential fact is that the Fourier transform of a test function is a test function. The details of the proof are a bit tedious, and are given in Section L.1. 18
The Plancherel formula is the equality
$$
\left(\mathcal{F}{m}(f), \mathcal{F}{m}(g)\right)=(f, g),
$$
for $f, g \in \mathcal{S}$, where $(f, g)=\int \mathrm{d} x f(x)^{} g(x)$. It is very instructive to “prove” this formula the way a physicist would, since this is a very simplified occurrence of the type of computations that are ubiquitous in Quantum Field Theory: $$ \begin{aligned} \left(\mathcal{F}{m}(f), \mathcal{F}{m}(g)\right) &=\frac{1}{2 \pi} \int \mathrm{d} x\left(\int \mathrm{d} y_{1} \exp \left(-\mathrm{i} x y_{1}\right) f\left(y_{1}\right)\right)^{} \int \mathrm{d} y_{2} \exp \left(-\mathrm{i} x y_{2}\right) g\left(y_{2}\right) \
&=\frac{1}{2 \pi} \iint \mathrm{d} y_{1} \mathrm{~d} y_{2} f\left(y_{1}\right)^{*} g\left(y_{2}\right) \int \mathrm{d} x \exp \left(\mathrm{i} x\left(y_{1}-y_{2}\right)\right)
\end{aligned}
$$ $=\iint \mathrm{d} y_{1} \mathrm{~d} y_{2} f\left(y_{1}\right)^{} g\left(y_{2}\right) \delta\left(y_{1}-y_{2}\right)$ $=\int \mathrm{d} y_{2} f\left(y_{2}\right)^{} g\left(y_{2}\right)$
$=(f, g)$,

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Basic Setting

We must first stress that one does not “prove” the basic concepts of Quantum Mechanics, or of any physical theory. One builds models, and the ultimate test of the validity of such models is whether they predict correctly the results of experiments. Still, one strives for mathematical consistency and elegance. ${ }^{2}$

The purpose of Mechanics is to describe the state of mechanical systems and to determine their time-evolution. Consider, for example, one of the simplest mechanical systems: a massive dimensionless point. Its state at a given time is described by its position and velocity. That this, indeed, is the correct way to specify even such a simple system is by itself a deep fact: it is the position and the velocity (and not, say, the acceleration) at a given time that determine the future motion of the point. This fact is delicate enough that apparently it is not understood by the general public, which seems to still believe that an astronaut stepping out of the International Space Station (ISS) will start falling toward Earth. ${ }^{3}$

As we pointed out, it is not easy to relate the principles of Quantum Mechanics to actual physical experiments. On the positive side, this means that there is no real loss in starting to learn them even with little knowledge of Classical Mechanics. A very brief introduction to Classical Mechanics will be given in Sections $6.4$ and $6.5$.

Principle $1^{4}$ The state of a physical system is described by a unit vector in a complex ${ }^{5}$ Hilbert space $\mathcal{H}$

This Hilbert space is called the state space, and the unit vector is called the state vector. The state space will always be either finite-dimensional or separable (i.e. admitting a countable orthonormal basis). As in the case of the lowly classical massive point, the correct description of the state of a system encompasses a huge amount of wisdom. The fact that it is done by a vector in Hilbert space allows some of the most surprising features of Quantum Mechanics. It makes physical sense to consider linear combinations of different states. ${ }^{6}$ The principles of Quantum Mechanics, and this one in particular, really do not appeal to our everyday intuition. There seems to be no remedy to this situation.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS4125

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Delta Function

除了回顾 delta 函数之外,本节还介绍了平滑截止的概念,以及如何摆脱积分的麻烦部分。
在数学上,delta“函数”d只是由下式给出的分布

d(G)=G(0)
对于任何测试功能G∈小号. 假装delta“函数”实际上是一个真正的函数,我们将无耻地编写(1.12)作为

G(0)=∫dXG(X)d(X)
“delta函数”这个名字是历史性的。早在分布发明之前,物理学家就一直在使用这个对象。

练习 1.4.1 (a) 说服自己,这样说是完全有道理的d(X)=0如果X≠0.
(b) 确保您了解尽管有术语,但 delta 函数d不是数学意义上的函数,并且数量d(0)没有意义。

(c) 从 (1.13) 中说服自己,用物理学家的话来说,“δ 函数d是函数X这等于零X≠0和无穷大X=0, 但其积分为 1”。
(d) 说服自己 delta 函数的导数d,即分布d′由d′(G)=−G′(0)“看起来一点也不像函数”。
为了一个≠0让我们定义d(一个X)经过

∫dXG(X)d(一个X):=1|一个|∫dXG(X/一个)d(X)=1|一个|G(0)
以便

d(一个X)=1|一个|d(X)
特别是d(−X)=d(X).13

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The Fourier Transform

除了回顾有关傅立叶变换的一些基本事实外,本节还提供了物理学中某些常见计算的第一个示例。

傅里叶变换将发挥重要作用。17让我们暂时表示为F米傅里叶变换,即

F米(F)(X)=12圆周率∫d是经验⁡(−一世X是)F(是),
下标在哪里米提醒您这是数学家喜欢定义它的方式(而我们对标准化的选择会有所不同)。右侧定义为F可积的,特别是对于 Schwartz 函数F∈小号. 使用第一个等式中的部分积分和第二个等式中的积分符号下的微分,我们获得了对于任何测试函数的基本事实F,

F米(F′)(X)=一世XF米(F)(X);F米(XF)=一世F米(F)′,
我们通过表示来滥用符号XF功能X↦XF(X). 一个基本事实是测试函数的傅里叶变换是一个测试函数。证明的细节有点繁琐,在 L.1 节中给出。18
Plancherel 公式是等式

(F米(F),F米(G))=(F,G),
为了F,G∈小号, 在哪里(F,G)=∫dXF(X)G(X). 以物理学家的方式“证明”这个公式是非常有启发性的,因为这是量子场论中普遍存在的计算类型的一个非常简化的例子:

(F米(F),F米(G))=12圆周率∫dX(∫d是1经验⁡(−一世X是1)F(是1))∫d是2经验⁡(−一世X是2)G(是2) =12圆周率∬d是1 d是2F(是1)∗G(是2)∫dX经验⁡(一世X(是1−是2))=∬d是1 d是2F(是1)G(是2)d(是1−是2) =∫d是2F(是2)G(是2)
=(F,G),

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Basic Setting

我们必须首先强调,我们并没有“证明”量子力学或任何物理理论的基本概念。一个人建立模型,对这些模型有效性的最终检验是它们是否正确地预测了实验的结果。尽管如此,人们仍在努力追求数学的一致性和优雅。2

力学的目的是描述机械系统的状态并确定它们的时间演化。例如,考虑一个最简单的机械系统:一个巨大的无量纲点。它在给定时间的状态由它的位置和速度来描述。事实上,即使是这样一个简单的系统,这也是指定的正确方法,这本身就是一个深刻的事实:它是给定时间的位置和速度(而不是加速度),决定了系统未来的运动。观点。这个事实很微妙,显然公众并不理解,他们似乎仍然相信一名宇航员走出国际空间站(ISS)将开始向地球坠落。3

正如我们所指出的,将量子力学原理与实际物理实验联系起来并不容易。从积极的方面来说,这意味着即使对古典力学知之甚少,开始学习它们也不会造成真正的损失。将在章节中给出对经典力学的非常简短的介绍6.4和6.5.

原则14物理系统的状态由复数中的单位向量描述5希尔伯特空间H

这个希尔伯特空间称为状态空间,单位向量称为状态向量。状态空间将始终是有限维的或可分离的(即承认可数正交基)。与低经典质量点的情况一样,对系统状态的正确描述包含了大量的智慧。它是由希尔伯特空间中的向量完成的这一事实允许量子力学的一些最令人惊讶的特征。考虑不同状态的线性组合在物理上是有意义的。6量子力学的原理,尤其是这一原理,真的不符合我们日常的直觉。这种情况似乎没有补救办法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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