物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS7076

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS7076

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective versus True Unitary Representations

Let us start the discussion of the concepts involved in Definitions $2.10 .1$ and 2.10.3. The word “unitary” refers of course to the fact that each of the operators $U(a)$ is unitary. Unless mentioned otherwise, all representations are unitary, so that we shall nearly always omit the word “unitary”, and the expressions “representation” and “projective representations” have to be understood by default as “unitary representation” and “projective unitary representations”.

To insist that a representation satisfies $r(a, b)=1$ for all $a, b$ we will sometimes say true representation, even though throughout the book, the word “representation” means “true representation”. When we consider a representation that is only a projective representation we will always say so explicitly. It is most important to understand the relationship between representations and projective representations.

  • The concept of “representation” is far more restrictive than the concept of “projective representation”.
  • From the point of view of mathematics, the nice objects are representations. The study of group representations is a vast subject in mathematics.
  • From the point of view of Quantum Mechanics, the natural objects are projective representations.

The following explains an important relationship between representations and projective representations.

Definition 2.11.1 Given a true representation $V$ of $G$, and for $a \in G$ a number $\lambda(a)$ of modulus 1 , the formula
$$
U(a):=\lambda(a) V(a)
$$
defines a projective representation, since (2.45) holds for the function
$$
r(a, b)=\lambda(a b) /(\lambda(a) \lambda(b)) .
$$
When this is the case we will say that the projective representation Uarises from the true representation $V$.

More generally, there is an important idea behind this definition: two projective representations $U, U^{\prime}$ such for each $a \in G$ one has $U(a)=\lambda(a) U^{\prime}(a)$ for some complex number $\lambda(a)$ with $|\lambda(a)|=1$ are to be thought of as “the same projective representation”.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Mathematicians Look at Projective Representations

This material is not needed to follow the main story. It assumes that you know some very basic group theory. A map $U$ from $G$ to the group $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ of unitary transformations of $\mathcal{H}$ is a true representation if and only if it is a group homomorphism. The group $\mathcal{U}(\mathcal{H}$ ) has a remarkable subgroup, the subgroup consisting of the transformations $\lambda 1$ with $|\lambda|=1$. Let us denote by $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$ the quotient of $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ by this subgroup, and by $\Phi$ the quotient map $\mathcal{U}(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. Thus the elements of $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$ are unitary operators “up to a phase”, i.e. up to a multiplicative constant of modulus 1 . It is immediate to check that a map $U$ from a group $G$ into $\mathcal{U}(\mathcal{H})$ is a projective representation in the sense of Definition $2.10 .1$ if and only $\Phi \circ U$ is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. The important object is thus the map $\Phi \circ U$. Accordingly, mathematicians define a projective representation as a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$. This formalizes the idea that two projective representations $U$ and $U^{\prime}$ such that $U(a)=\lambda(a) U^{\prime}(a)$ “are the same projective representation” (because this is the case if and only if $\Phi \circ U=\Phi \circ U^{\prime}$ ). Another benefit of this approach is that it becomes natural to define “continuous projective representations”, a topic which is investigated in Section A.2. In mathematical language, the fundamental question, is, given a projective representation $U$ of $G$, that is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}{p}(\mathcal{H})$, whether there exists a true representation $V$, that is a group homomorphism from $G$ to $\mathcal{U}(\mathcal{H})$, such that $U=\Phi \circ V$.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective Representations of R

We do not investigate in detail how true and projective representations are related in general, but we examine this question in the centrally important case $G=\mathbb{R}$. However, we must first discuss a technical question. In the cases of greatest interest, $G$ is a topological group, and to avoid pathologies, one requires also a mild continuity assumption.

Definition 2.13.1 The map $a \mapsto U(a)$ which associates to each element $a$ of $G$ a unitary operator $U(a)$ is called strongly continuous if for each $x \in \mathcal{H}$ the map $a \mapsto U(a)(x)$ from $G$ to $\mathcal{H}$ is continuous.

The topology on $\mathcal{H}$ is the topology induced by its norm, so the condition of strong continuity means that for each $x \in \mathcal{H}$ the norm $\left|U(a)(x)-U\left(a_{0}\right)(x)\right|$ goes to 0 as $a \rightarrow a_{0}$. Despite the adjective “strong”, this condition is much weaker than the continuity of the map $a \mapsto U(a)$ in the operator norm.

A simple but instructive example of a representation is the case where $G=\mathbb{R}$, $\mathcal{H}=L^{2}(\mathbb{R})$ and $U(a)(f) \in L^{2}(\mathbb{R})$ is the function $w \mapsto f(w-a)$. The map $a \mapsto U(a)$ is not continuous when the space of unitary operators is provided with the topology induced by the operator norm but it is strongly continuous (as one sees by approximating $f$ with a continuous function of bounded support).

When the map $a \mapsto U(a)$ is strongly continuous, then for $x, y \in \mathcal{H}$ the map $a \mapsto(x, U(a)(y))$ is continuous. This apparently weaker condition is equivalent to strong continuity. To prove this, assume the weaker condition. Then as $a \rightarrow a_{0},\left(U(a)(x), U\left(a_{0}\right)(x)\right)$ tends to the square of the norm of $U\left(a_{0}\right)(x)$, and since both vectors $U(a)(x)$ and $U\left(a_{0}\right)(x)$ have the same norm they become close to each other (as follows from the relation $\left.|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2 \operatorname{Re}(u, v)\right)$

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量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective versus True Unitary Representations

让我们开始讨论定义中涉及的概念2.10.1和 2.10.3。“单一”一词当然是指每个运算符在(一个)是单一的。除非另有说明,否则所有表示都是单一的,因此我们几乎总是会省略“单一”一词,并且“表示”和“投影表示”必须默认理解为“单一表示”和“投影单一表示” .

坚持表示满足r(一个,b)=1对所有人一个,b我们有时会说真实再现,尽管在整本书中,“再现”一词的意思是“真实再现”。当我们考虑一个只是投影表示的表示时,我们总是会这样明确地说出来。理解表征和投影表征之间的关系是最重要的。

  • “表示”的概念比“投影表示”的概念要严格得多。
  • 从数学的角度来看,好的对象是表示。群表示的研究是数学中的一门广泛的学科。
  • 从量子力学的角度来看,自然物体是射影表示。

下面解释表示和投影表示之间的重要关系。

定义 2.11.1 给定一个真实的表示在的G,并且对于一个∈G一个号码λ(一个)模数 1 , 公式

在(一个):=λ(一个)在(一个)
定义了一个投影表示,因为 (2.45) 对函数成立

r(一个,b)=λ(一个b)/(λ(一个)λ(b)).
在这种情况下,我们将说投影表示来自真实表示在.

更一般地说,这个定义背后有一个重要的思想:两个投影表示在,在′这样对于每个一个∈G一个有在(一个)=λ(一个)在′(一个)对于一些复数λ(一个)和|λ(一个)|=1被认为是“相同的投影表示”。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Mathematicians Look at Projective Representations

跟随主要故事不需要此材料。它假设你知道一些非常基本的群论。一张地图在从G到组在(H)的酉变换H是一个真实的表示当且仅当它是一个群同态。群组在(H) 有一个显着的子群,该子群由变换组成λ1和|λ|=1. 让我们用在p(H)的商在(H)由这个子组,并由披商图在(H)→在p(H). 因此元素在p(H)是“直到一个阶段”的酉算子,即直到模数为 1 的乘法常数。立即检查地图在从一组G进入在(H)是定义意义上的投射表示2.10.1当且仅披∘在是来自的群同态G至在p(H). 因此,重要的对象是地图披∘在. 因此,数学家将射影表示定义为群同态G至在p(H). 这形式化了两个投影表示的想法在和在′这样在(一个)=λ(一个)在′(一个)“是相同的投影表示”(因为这是当且仅当披∘在=披∘在′)。这种方法的另一个好处是定义“连续投影表示”变得很自然,这是 A.2 节中研究的主题。在数学语言中,基本问题是,给定一个投影表示在的G, 那是一个群同态G至在p(H), 是否存在真实表示在, 那是一个群同态G至在(H), 这样在=披∘在.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Projective Representations of R

我们没有详细研究真实和投影表示一般是如何相关的,但我们在中心重要的情况下研究了这个问题G=R. 但是,我们必须首先讨论一个技术问题。在最感兴趣的情况下,G是一个拓扑群,为了避免病态,还需要一个温和的连续性假设。

定义 2.13.1 地图一个↦在(一个)与每个元素相关联一个的G单一算子在(一个)被称为强连续如果对于每个X∈H地图一个↦在(一个)(X)从G至H是连续的。

上的拓扑H是由其范数引出的拓扑,所以强连续性条件意味着对于每个X∈H规范|在(一个)(X)−在(一个0)(X)|变为 0 为一个→一个0. 尽管有形容词“强”,但这种情况比地图的连续性要弱得多一个↦在(一个)在运营商规范中。

表示的一个简单但有启发性的例子是G=R, H=大号2(R)和在(一个)(F)∈大号2(R)是函数在↦F(在−一个). 地图一个↦在(一个)当酉算子的空间具有算子范数诱导的拓扑时,它是不连续的,但它是强连续的(如通过近似F有界支持的连续函数)。

当地图一个↦在(一个)是强连续的,那么对于X,是∈H地图一个↦(X,在(一个)(是))是连续的。这种明显较弱的条件相当于强连续性。为了证明这一点,假设条件较弱。那么作为一个→一个0,(在(一个)(X),在(一个0)(X))趋于范数的平方在(一个0)(X),并且由于两个向量在(一个)(X)和在(一个0)(X)具有相同的范数,它们变得彼此接近(如下关系|在−在|2=|在|2+|在|2−2回覆⁡(在,在))

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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