经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON40010

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博弈论是对理性主体之间战略互动的数学模型的研究。它在社会科学的所有领域,以及逻辑学、系统科学和计算机科学中都有应用。最初,它针对的是两人的零和博弈,其中每个参与者的收益或损失都与其他参与者的收益或损失完全平衡。在21世纪,博弈论适用于广泛的行为关系;它现在是人类、动物以及计算机的逻辑决策科学的一个总称。

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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON40010

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Sums of Nim Heaps

In this section, we derive how to compute the Nim value for a general Nim position, which is a sum of different Nim heaps. This will be the Nim sum that we have defined using the binary representation, now cast in the language of game sums and equivalent games, and without assuming the binary representation.

For example, we know that $* 1+* 2+* 3 \equiv 0$, so by Lemma $1.12, * 1+* 2$ is equivalent to $* 3$. In general, however, the sizes of the Nim heaps cannot simply be added to obtain the equivalent Nim heap, because $* 2+* 3$ is also equivalent to $* 1$, and $* 1+* 3$ is equivalent to $* 2$.

If $* k \equiv * n+* m$, then we call $k$ the Nim sum of $n$ and $m$, written $k=n \oplus m$. The following theorem states that the Nim sum of distinct powers of two is their arithmetic sum. For example, $1=2^{0}$ and $2=2^{1}$, so $1 \oplus 2=1+2=3$.

Theorem 1.15. Let $n \geq 1$, and $n=2^{a}+2^{b}+2^{c}+\cdots$, where $a>b>c>\cdots \geq 0$. Then
$$

  • n \equiv \left(2^{a}\right)+\left(2^{b}\right)+*\left(2^{c}\right)+\cdots .
    $$
    We first discuss the implications of this theorem, and then prove it. The expression $n=2^{a}+2^{b}+2^{c}+\cdots$ is an arithmetic sum of distinct powers of two. Any $n$ is uniquely given as such a sum. It amounts to the binary representation of $n$, which, if $n<2^{a+1}$, gives $n$ as the sum of all powers $2^{a}, 2^{a-1}, 2^{a-2}, \ldots, 2^{0}$ where each power of two is multiplied with 0 or 1 , the binary digit for the respective position. For example,
    $$
    9=8+1=1 \cdot 2^{3}+0 \cdot 2^{2}+0 \cdot 2^{1}+1 \cdot 2^{0}
    $$
    so that 9 in decimal is written as 1001 in binary. Theorem $1.15$ uses only the distinct powers of two $2^{a}, 2^{b}, 2^{c}, \ldots$ that correspond to the digits 1 in the binary representation of $n$.

The right-hand side of (1.19) is a game sum. Equation (1.19) states that the single Nim heap $* n$ is equivalent to a game sum of Nim heaps whose sizes are distinct powers of two. If we visualize the tokens in a Nim heap as dots like in (1.4), then an example of this equation is
$$

  • 14=: \because: \because: \equiv: \because+:=
    $$
    for $n=14$. In addition to $* n$, consider a second Nim heap $* m$ and represent it as its equivalent game sum of several Nim heaps, all of which have a size that is a power of two. Then $* n+* m$ is a game sum of many such heaps, where equal heaps cancel out in pairs because a game sum of two identical games is losing and can be omitted. The remaining heap sizes are all distinct powers of two, which can be added to give the size of the single Nim heap $* k$ that is equivalent to $* n+* m$. As an example, let $n=9=8+1$ and $m=14=8+4+2$. Then $* n+* m \equiv * 8+* 1+* 8+* 4+* 2 \equiv * 4+* 2+* 1 \equiv * 7$, which we can also write as $9 \oplus 14=7$. In particular, 9 $+ 14+* 7$ is a losing game, which would be very laborious to show without the theorem.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Finding Nim Values

In this section, we analyze some impartial games using the mex rule in Theorem $1.14 .$

A game similar to the Rook-move game is the Queen-move game shown in Figure $1.3$ where the rook is replaced by a Chess queen, which may move horizontally, vertically, and diagonally (left or up). The squares on the main diagonal are therefore no longer losing positions. This game can also be played with two heaps of tokens where in one move, the player may either remove tokens from one heap as in Nim, or reduce both heaps by the same number of tokens (so this is no longer a sum of two Nim heaps!). In order to illustrate that we are not just interested in the winning and losing squares, we add to this game a Nim heap of size $4 .$

Figure $1.4$ shows the equivalent Nim heaps for the positions of the Queen-move game, determined by the mex rule. The square in row 3 and column 4 occupied by the queen in Figure $1.3$ has entry $* 2$. So a winning move is to remove two tokens from the Nim heap to turn it into the heap $* 2$, creating the losing position $* 2+* 2$. Because 2 is the mex of the Nim values of the options of the queen, these may include (as in Poker Nim) higher Nim values. Indeed, the queen can reach two positions equivalent to $* 4$, in row 3 column 1 , and row 0 column 4 . If the queen moves there this creates the game sum $* 4+* 4$ which is losing, so these are two further winning moves in Figure 1.3.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|A Glimpse of Partizan Games

A combinatorial game is called partizan if the available moves in a game position may be different for the two players. These games have a rich theory of which we sketch the first concepts here, in particular the four outcome classes, and numbers as strengths of positions in certain games, pioneered by Conway (2001).

The two players are called Left and Right. Consider the game Domineering, given by a board of squares (the starting position is typically rectangular but does not have to be), where in a move Left may occupy two vertically adjacent free squares with a vertical domino, and Right two horizontally adjacent squares with a horizontal domino. (At least in lower case, the letter ” 1 ” is more vertical than the letter ” $\mathrm{r}$ ” to remember this.) Hence, starting from a 3-row, 2-column board, we have, up to symmetry,

This game is very different from the impartial game Cram (see Exercise 1.4) where each player may place a domino in either orientation. As (1.23) shows, in Domineering the options of Left and Right are usually different. As before, we assume the normal play convention that a player who can no longer move loses.
We always assume optimal play. In (1.23), this means Right would choose the first option and place the domino in the middle, after which Left can no longer move, whereas the second option that leaves a $2 \times 2$ board would provide Left with two further moves.

An impartial game can only be losing or winning as stated in Lemma 1.1. For partizan games, there are four possible outcome classes, which are denoted by the following calligraphic letters:
$\mathcal{L}:$ Left wins no matter who moves first.
$\mathcal{R}$ : Right wins no matter who moves first.
$\mathcal{P}$ : The first player to move loses, so the previous player wins.
$\mathcal{N}$ : The first player to move wins. (Sometimes called the “next player”, although this is as ambiguous as “next Friday”, because it is the current player who wins.)

Every game belongs to exactly one of these outcome classes. The $\mathcal{P}$-positions are what we have called losing positions, and $\mathcal{N}$-positions are what we have called winning positions. For partizan games we have to consider the further outcome classes $\mathcal{L}$ and $\mathcal{R}$. In Domineering, a single vertical strip of at least two squares, in its smallest form $B$, belongs to $\mathcal{L}$, whereas a horizontal strip such as belongs to $\mathcal{R}$. The starting $3 \times 2$ board in (1.23) belongs to $\mathcal{N}$.
The first move of Right in (1.23) creates two disjoint $1 \times 2$ games which represent, as before, a game sum, here $\square+\square \square$. This game clearly belongs to $\mathcal{R}$, as does the game $\square$. In order to distinguish games more finely than just according to the four outcome classes, games $G$ and $H$ are called equivalent, written $G \equiv H$, if and only if $G+J$ and $H+J$ always belong to the same outcome class, for any other game $J$; this extends Definition 1.5. Every losing game (any game in $\mathcal{P}$ ) is equivalent to the zero game 0 that has no options, as in Lemma 1.8, by the same argument. As before, Lemma $1.10$ holds, that is, adding a losing game does not change the outcome class of a game.

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博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Sums of Nim Heaps

在本节中,我们推导如何计算一般 Nim 位置的 Nim 值,该位置是不同 Nim 堆的总和。这将是我们使用二进制表示定义的 Nim 和,现在以游戏和和等效游戏的语言进行转换,并且不假设二进制表示。

例如,我们知道∗1+∗2+∗3≡0, 所以引理1.12,∗1+∗2相当于∗3. 然而,一般来说,不能简单地将 Nim 堆的大小相加以获得等效的 Nim 堆,因为∗2+∗3也相当于∗1, 和∗1+∗3相当于∗2.

如果∗ķ≡∗n+∗米,那么我们称ķ尼姆总和n和米, 写ķ=n⊕米. 以下定理指出,两个不同幂的 Nim 和是它们的算术和。例如,1=20和2=21, 所以1⊕2=1+2=3.

定理 1.15。让n≥1, 和n=2一个+2b+2C+⋯, 在哪里一个>b>C>⋯≥0. 然后
$$

  • n \equiv \left(2^{a}\right)+\left(2^{b}\right)+*\left(2^{c}\right)+\cdots 。
    在和F一世rs吨d一世sC在ss吨H和一世米pl一世C一个吨一世○ns○F吨H一世s吨H和○r和米,一个nd吨H和npr○在和一世吨.吨H和和Xpr和ss一世○n$n=2一个+2b+2C+⋯$一世s一个n一个r一世吨H米和吨一世Cs在米○Fd一世s吨一世nC吨p○在和rs○F吨在○.一个n是$n$一世s在n一世q在和l是G一世在和n一个ss在CH一个s在米.我吨一个米○在n吨s吨○吨H和b一世n一个r是r和pr和s和n吨一个吨一世○n○F$n$,在H一世CH,一世F$n<2一个+1$,G一世在和s$n$一个s吨H和s在米○F一个llp○在和rs$2一个,2一个−1,2一个−2,…,20$在H和r和和一个CHp○在和r○F吨在○一世s米在l吨一世pl一世和d在一世吨H0○r1,吨H和b一世n一个r是d一世G一世吨F○r吨H和r和sp和C吨一世在和p○s一世吨一世○n.F○r和X一个米pl和,
    9=8+1=1 \cdot 2^{3}+0 \cdot 2^{2}+0 \cdot 2^{1}+1 \cdot 2^{0}
    $$
    以便写入十进制的 9作为二进制的 1001。定理1.15只使用两个不同的权力2一个,2b,2C,…对应于二进制表示中的数字 1n.

(1.19) 的右边是博弈和。等式 (1.19) 表明单个 Nim 堆∗n等价于大小为 2 的不同幂的 Nim 堆的游戏总和。如果我们将 Nim 堆中的标记可视化为 (1.4) 中的点,那么这个等式的示例是
$$

  • 14=:\因为:\因为:\equiv:\因为+:=
    $$
    forn=14. 此外∗n,考虑第二个 Nim 堆∗米并将其表示为几个 Nim 堆的等效游戏总和,所有 Nim 堆的大小都是 2 的幂。然后∗n+∗米是许多这样的堆的游戏和,其中相等的堆成对抵消,因为两个相同游戏的游戏和正在失败并且可以省略。剩余的堆大小都是 2 的不同幂,可以相加得到单个 Nim 堆的大小∗ķ相当于∗n+∗米. 例如,让n=9=8+1和米=14=8+4+2. 然后∗n+∗米≡∗8+∗1+∗8+∗4+∗2≡∗4+∗2+∗1≡∗7,我们也可以写成9⊕14=7. 尤其是9 $+ 14+* 7$ 是一场失败的游戏,如果没有这个定理,这将是非常费力的。

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在本节中,我们使用 Theorem 中的 mex 规则分析一些不偏不倚的游戏1.14.

一种类似于 Rook-move 游戏的游戏是如图所示的 Queen-move 游戏1.3车被国际象棋皇后取代,后者可以水平、垂直和对角线(左或上)移动。因此,主对角线上的方格不再失去位​​置。这个游戏也可以用两堆令牌玩,在一次移动中,玩家可以像在 Nim 中那样从一个堆中删除令牌,或者将两个堆减少相同数量的令牌(所以这不再是两个 Nim 的总和堆!)。为了说明我们不仅仅对输赢方格感兴趣,我们在这个游戏中添加了一个大小为 Nim 的堆4.

数字1.4显示了由 mex 规则确定的 Queen-move 博弈位置的等效 Nim 堆。图中女王占据的第 3 行第 4 列的方格1.3有条目∗2. 所以一个制胜的举措是从 Nim 堆中删除两个令牌以将其变成堆∗2, 创建失败的位置∗2+∗2. 因为 2 是皇后选项的 Nim 值的 mex,所以这些可能包括(如在 Poker Nim 中)更高的 Nim 值。确实,女王可以达到两个位置,相当于∗4,在第 3 行第 1 列和第 0 行第 4 列中。如果女王移动到那里,这将创建游戏总和∗4+∗4这是失败的,所以这是图 1.3 中的两个进一步获胜的举措。

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如果两个玩家在游戏位置的可用移动可能不同,则组合游戏称为游击队。这些博弈有一个丰富的理论,我们在这里勾勒出第一个概念,特别是四个结果类别,以及在某些博弈中作为位置优势的数字,由 Conway (2001) 开创。

这两名球员被称为左和右。考虑由棋盘给出的霸权游戏(起始位置通常是矩形,但不一定是),在移动中,左可能会占据两个垂直相邻的自由方格,其中有一个垂直骨牌,右方两个水平相邻的方格有水平多米诺骨牌。(至少在小写中,字母“1”比字母“更垂直”r”记住这一点。)因此,从一个 3 行 2 列的板开始,我们有,直到对称,

这个游戏与不偏不倚​​的 Cram 游戏(见练习 1.4)非常不同,后者每个玩家都可以在任一方向放置多米诺骨牌。如 (1.23) 所示,在 Domineering 中,Left 和 Right 的选项通常是不同的。和以前一样,我们假设不能再移动的玩家输掉的正常游戏惯例。
我们总是假设最佳发挥。在 (1.23) 中,这意味着 Right 会选择第一个选项并将多米诺骨牌放在中间,之后 Left 不能再移动,而第二个选项会留下一个2×2board 将为左提供两个进一步的移动。

如引理 1.1 所述,公平游戏只能输赢。对于游击队比赛,有四种可能的结果类别,用以下书法字母表示:
大号:不管谁先走,左路都赢。
R: 不管谁先走,对的就是赢。
磷:第一个移动的玩家输了,所以前一个玩家赢了。
ñ: 第一个移动的玩家获胜。(有时称为“下一个玩家”,尽管这与“下周五”一样含糊不清,因为获胜的是当前玩家。)

每场比赛都属于这些结果类别之一。这磷- 头寸就是我们所说的亏损头寸,并且ñ- 位置就是我们所说的获胜位置。对于游击队比赛,我们必须考虑进一步的结果类别大号和R. 在霸气中,至少有两个正方形的单个垂直条,以最小的形式乙, 属于大号,而水平条带如属于R. 开始的3×2(1.23)中的板属于ñ.
(1.23)中右的第一步产生了两个不相交的1×2像以前一样代表游戏总和的游戏,在这里+. 这游戏明明属于R, 就像游戏一样. 为了比仅仅根据四个结果类别更精细地区分游戏,游戏G和H被称为等价的,书面的G≡H, 当且仅当G+Ĵ和H+Ĵ对于任何其他游戏,总是属于相同的结果类别Ĵ; 这扩展了定义 1.5。每场输球(任何一场比赛磷) 等价于没有选项的零游戏 0,如引理 1.8 中的相同论点。和以前一样,引理1.10成立,也就是说,添加失败的游戏不会改变游戏的结果类别。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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