经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON90022

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博弈论是对理性主体之间战略互动的数学模型的研究。它在社会科学的所有领域,以及逻辑学、系统科学和计算机科学中都有应用。最初,它针对的是两人的零和博弈,其中每个参与者的收益或损失都与其他参与者的收益或损失完全平衡。在21世纪,博弈论适用于广泛的行为关系;它现在是人类、动物以及计算机的逻辑决策科学的一个总称。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECON90022

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Normal-Form Games

In this section, we introduce normal-form games (NFGs) and formally introduce the solution concepts we mentioned in Section 2.2. Most of the notations and definitions are adapted from Leyton-Brown and Shoham 2008. The normal form is the most basic form of games to represent players’ interactions and strategy space. An NFG captures all possible combinations of actions or strategies for the players and their corresponding payoffs in a matrix, or multiple matrices for more than two players. A player can choose either a pure strategy that deterministically selects a single strategy or play a mixed strategy that specifies a probability distribution over the pure strategies. The goal for all players is to maximize their expected utility. Formally, a finite, $N$-person NFG is described by a tuple $(\mathcal{N}, \mathcal{A}, u)$, where:

  • $\mathcal{N}={1, \ldots, N}$ is a finite set of $N$ players, indexed by $i$.
  • $\mathcal{A}=\mathcal{A}{1} \times \cdots \times \mathcal{A}{N}$ is a set of joint actions of the players, where $\mathcal{A}{i}$ is a finite set of actions available to player $i . a=\left(a{1}, \ldots, a_{N}\right) \in \mathcal{A}$ is called an action profile with $a_{i} \in \mathcal{A}_{i}$.
  • $u=\left(u_{1}, \ldots, u_{N}\right)$ where $u_{i}: \mathcal{A} \mapsto \mathbb{R}$ is a utility (or payoff) function for player $i$. It maps an action profile $a$ to a real value. An important characteristic of a game is that player $i$ ‘s utility depends on not only his own action $a_{i}$ but also the actions taken by other players; thus, the utility function is defined over the space of $\mathcal{A}$ instead of $\mathcal{A}_{i}$.

A player can choose a mixed strategy. We use $S_{i}=\Delta^{\left|\mathcal{A}{i}\right|}$ to denote the set of mixed strategies for player $i$, which is the probability simplex with dimension $\left|\mathcal{A}{i}\right|$. Similarly, $S=S_{1} \times \cdots \times S_{N}$ is the set of joint strategies and $s=\left(s_{1}, \ldots, s_{N}\right) \in S$ is called a strategy profile. The support of a mixed strategy is defined as the set of actions that are chosen with a nonzero probability. An action of player $i$ is a pure strategy and can be represented by a probability distribution with support size 1 (of value 1 in one dimension and 0 in all other dimensions). The utility function can be extended to mixed strategies by using expected utility. That is, if we use $s_{i}\left(a_{i}\right)$ to represent the probability of choosing action $a_{i}$ in strategy $s_{i}$, the expected utility for player $i$ given strategy profile $s$ is $u_{i}(s)=\sum_{a \in \mathcal{A}} u_{i}(a) \prod_{\eta^{n}=1}^{n} s_{i^{\prime}}\left(a_{\eta}\right)$. A game is zero-sum if the utilities of all the players always sum up to zero, i.e. $\sum_{i} u_{i}(s)=0, \forall s$ and is nonzero-sum or general-sum otherwise.

Many classic games can be represented in normal form. Table $2.3$ shows the game Prisoner’s Dilemma (PD). Each player can choose between two actions, Cooperate (C) and Defect (D). If they both choose $C$, they both suffer a small loss of $-1$. If they both choose $D$, they both suffer a big loss of $-2$. However, if one chooses $\mathrm{C}$ and the other chooses $\mathrm{D}$, the one who chooses $\mathrm{C}$ suffers a huge loss while the other one does not suffer any loss. If the row player chooses a mixed strategy of playing C with probability $0.4$ and D $0.6$, while the column player chooses the uniform random strategy, then the row player’s expected utility is $-1.4=(-1) \cdot 0.4 \cdot 0.5+(-3) \cdot 0.4 \cdot 0.5+(-2) \cdot 0.6 \cdot 0.5$.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Solution Concepts

We will now introduce the formal definition of maxmin, minmax, and Nash equilibrium.
Definition 2.2 (Maxmin Strategy): The maxmin strategy for player $i$ is a strategy that maximizes the worst-case expected utility for player $i$, i.e. $\operatorname{arg~max}{s{i}} \min {s{-i}} u_{i}\left(s_{i}, s_{-i}\right)$.

Definition 2.3 (Minmax Strategy): The minmax strategy for player $i$ against player $i^{\prime}$ is the strategy player $i$ uses when she coordinates with all other players except player $i^{\prime}$ to minimize the best possible expected utility player $i^{\prime} s$ can get, i.e. player $i^{\prime}$ ‘s component in the strategy profile $\arg \min {s{-l}} \max {s{i}} u_{i^{\prime}}\left(s_{-i^{\prime}}, s_{i^{\prime}}\right)$.

The minmax strategy is defined in this way because when there are more than two players, a player’s utility depends on the strategy used by all other players. When there are only two players, the minmax strategy defined in Definition $2.3$ becomes $\arg ^{2} \min {s{1}} \max {s{-i}} u_{-i}\left(s_{i}, s_{-i}\right)$. The maximum and minimum value achieved by maxmin and minmax strategies is called the maxmin value and minmax value for the player. Similar to best responses, there can be more than one maxmin and minmax strategy for a player.

Definition 2.4 (Nash Equilibrium): A strategy profile $s=\left(s_{1}, \ldots, s_{N}\right)$ is a Nash equilibrium if $s_{i} \in B R\left(s_{-i}\right), \forall i .$

There can be multiple NEs in a game, and the strategies in an NE can either be a pure strategy or a mixed strategy. If all players use pure strategies in an NE, we call it a pure strategy NE (PSNE). If at least one player randomly chooses between multiple actions, i.e. the support set of their strategy has a size larger than 1 , we call it a mixed strategy NE.

In the PD game, the strategy profile (D,D) is an NE because when one player chooses D, the other player’s best response is D. Thus, both players are best responding to the other player’s strategy.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Extensive-Form Games

Extensive-form games (EFGs) represent the sequential interaction of players using a rooted game tree. Figure $2.1$ shows a simple example game tree. Each node in the tree belongs to one of the players and corresponds to a decision point for that player. Outgoing edges from a node represent actions that the corresponding player can take. The game starts from the root node, with the player corresponding to the root node taking an action first. The chosen action brings the game to the child node, and the corresponding player at the child node takes an action. The game continues until it reaches a leaf node (also called a terminal node), i.e. each leaf node in the game tree is a possible end state of the game. Each leaf node is associated with a tuple of utilities or payoffs that the players will receive when the game ends in that state. In the example in Figure 2.1, there are three nodes. Node 1 belongs to Player 1 (P1), and nodes 2 and 3 belong to Player 2 (P2). Player 1 first chooses between action L and R, and then Player 2 chooses between action 1 and r. Player l’s highest utility is achieved when Player 1 chooses L, and Player 2 chooses $1 .$

There is sometimes a special fictitious player called Chance (or Nature), who takes an action according to a predefined probability distribution. This player represents the stochasticity in many problems. For example, in the game of Poker, each player gets a few cards that are randomly dealt. This can be represented by having a Chance player taking an action of dealing cards. Unlike the

other real players, the Chance player does not rationally choose an action to maximize his utility since he does not have a utility function. In the special case where Nature only takes an action at the very beginning of the game, i.e. the root of the game tree, the game is essentially a Bayesian game, as we will detail in Section 2.7.

In a perfect information game, every player can perfectly observe the action taken by players in the previous decision points. For example, when two players are playing the classic board game of Go or Tic-Tac-Toe, each player can observe the other players’ previous moves before she decides her move. However, it is not the case in many other problems. An EFG can also capture imperfect information, i.e. a game where players are sometimes uncertain about the actions taken by other players and thus do not know which node they are at exactly when they take actions. The set of nodes belonging to each player is partitioned into several information sets. The nodes in the same information set cannot be distinguished by the player that owns those nodes. In other words, the player knows that she is at one of the nodes that belong to the same information set, but does not know which one exactly. For example, in a game of Poker where each player has private cards, a player cannot distinguish between certain nodes that only differ in the other players’ private cards. Nodes in the same information set must have the same set of actions since otherwise, a player can distinguish them by checking the action set. It is possible that an information set only contains one node, i.e. a singleton. If all information sets are singletons, the game is a perfect information game. The strategy of a player specifies what action to take at each information set. In the example game in Figure 2.1, the dashed box indicates that nodes 2 and 3 are in the same information set, and Player 2 cannot distinguish between them. Thus, nodes 2 and 3 have the same action set. This information set effectively makes the example game a simultaneous game as Player 2 has no information about Player $1 s$ previous actions when he makes a move.

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博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Normal-Form Games

在本节中,我们将介绍标准形式博弈(NFG),并正式介绍我们在 2.2 节中提到的解决方案概念。大部分符号和定义都改编自 Leyton-Brown 和 Shoham 2008。范式是表示玩家互动和策略空间的最基本的游戏形式。NFG 将参与者的所有可能的行动或策略组合以及它们在矩阵中的相应收益捕获,或者为两个以上参与者捕获多个矩阵。玩家可以选择确定性地选择单一策略的纯策略,也可以选择指定纯策略上的概率分布的混合策略。所有玩家的目标是最大化他们的预期效用。形式上,一个有限的,ñ-person NFG 由一个元组描述(ñ,一个,在), 在哪里:

  • ñ=1,…,ñ是一个有限集ñ球员,由一世.
  • 一个=一个1×⋯×一个ñ是玩家的一组联合动作,其中一个一世是玩家可用的一组有限动作一世.一个=(一个1,…,一个ñ)∈一个被称为动作配置文件一个一世∈一个一世.
  • 在=(在1,…,在ñ)在哪里在一世:一个↦R是玩家的效用(或收益)函数一世. 它映射了一个动作配置文件一个到一个真正的价值。游戏的一个重要特征是玩家一世的效用不仅仅取决于他自己的行动一个一世还有其他玩家采取的行动;因此,效用函数定义在一个代替一个一世.

玩家可以选择混合策略。我们用小号一世=Δ|一个一世|表示玩家的混合策略集一世,这是有维度的概率单纯形|一个一世|. 相似地,小号=小号1×⋯×小号ñ是一组联合策略和s=(s1,…,sñ)∈小号称为策略配置文件。混合策略的支持定义为以非零概率选择的一组动作。玩家的一个动作一世是一种纯策略,可以用支持大小为 1 的概率分布表示(一个维度的值为 1,所有其他维度的值为 0)。通过使用预期效用,效用函数可以扩展到混合策略。也就是说,如果我们使用s一世(一个一世)表示选择动作的概率一个一世在战略上s一世, 玩家的期望效用一世给定的战略概况s是在一世(s)=∑一个∈一个在一世(一个)∏这n=1ns一世′(一个这). 如果所有玩家的效用总和为零,则游戏是零和游戏,即∑一世在一世(s)=0,∀s并且是非零和或一般和。

许多经典游戏都可以用正常的形式表示。桌子2.3显示游戏囚徒困境 (PD)。每个玩家可以选择两个动作,合作(C)和缺陷(D)。如果他们都选择C,他们都遭受了小的损失−1. 如果他们都选择D, 他们都遭受了很大的损失−2. 但是,如果选择C另一个选择D, 选择的人C遭受巨大损失,而另一个没有遭受任何损失。如果排玩家选择以概率玩 C 的混合策略0.4和 D0.6,当列玩家选择统一随机策略时,行玩家的期望效用为−1.4=(−1)⋅0.4⋅0.5+(−3)⋅0.4⋅0.5+(−2)⋅0.6⋅0.5.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Solution Concepts

我们现在将介绍 maxmin、minmax 和 Nash 均衡的正式定义。
定义 2.2(Maxmin 策略):玩家的 maxmin 策略一世是一种最大化玩家最坏情况预期效用的策略一世,即$\operatorname{arg~max} {s {i}} \min {s {-i}} u_{i}\left(s_{i}, s_{-i}\right)$。

定义 2.3(Minmax 策略):玩家的 minmax 策略一世对抗球员一世′是战略玩家一世当她与除玩家之外的所有其他玩家协调时使用一世′最小化可能的最佳预期效用参与者一世′s可以得到,即播放器一世′的策略配置文件中的组件参数⁡分钟s−l最大限度s一世在一世′(s−一世′,s一世′).

minmax 策略是这样定义的,因为当有两个以上的玩家时,一个玩家的效用取决于所有其他玩家使用的策略。当只有两个玩家时,定义中定义的 minmax 策略2.3变为 $\arg ^{2} \min {s {1}} \max {s {-i}} u_{-i}\left(s_{i}, s_{-i}\right)$。maxmin 和 minmax 策略达到的最大值和最小值称为玩家的 maxmin 值和 minmax 值。与最佳响应类似,玩家可以有不止一个 maxmin 和 minmax 策略。

定义 2.4(纳什均衡):战略概况s=(s1,…,sñ)是纳什均衡,如果s一世∈乙R(s−一世),∀一世.

一个游戏中可以有多个 NE,一个 NE 中的策略可以是纯策略,也可以是混合策略。如果所有玩家都在一个 NE 中使用纯策略,我们称其为纯策略 NE(PSNE)。如果至少有一个玩家在多个动作之间随机选择,即他们的策略支持集的大小大于 1,我们称其为混合策略 NE。

在 PD 博弈中,策略配置文件 (D,D) 是 NE,因为当一个玩家选择 D 时,另一个玩家的最佳响应是 D。因此,两个玩家都对另一个玩家的策略做出了最佳响应。

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Extensive-Form Games

广泛形式的博弈 (EFG) 表示使用有根博弈树的玩家的顺序交互。数字2.1显示了一个简单的示例游戏树。树中的每个节点都属于其中一个玩家,并对应于该玩家的一个决策点。节点的出边表示相应玩家可以采取的行动。游戏从根节点开始,根节点对应的玩家先行动。选择的动作将游戏带到子节点,子节点的相应玩家采取动作。游戏继续进行,直到它到达一个叶节点(也称为终端节点),即博弈树中的每个叶节点都是游戏可能的结束状态。每个叶节点都与一组效用或收益相关联,当游戏在该状态下结束时,玩家将收到这些效用或收益。在图 2.1 的示例中,有三个节点。节点 1 属于玩家 1 (P1),节点 2 和 3 属于玩家 2 (P2)。玩家 1 首先在动作 L 和 R 之间进行选择,然后玩家 2 在动作 1 和 r 之间进行选择。当玩家 1 选择 L 并且玩家 2 选择时,玩家 l 的效用最高1.

有时有一个特殊的虚构玩家,称为 Chance(或 Nature),他根据预定义的概率分布采取行动。这个玩家代表了许多问题中的随机性。例如,在扑克游戏中,每个玩家都会得到几张随机发的牌。这可以通过让机会玩家采取发牌动作来表示。不像

其他真实玩家,机会玩家不会理性地选择一个动作来最大化他的效用,因为他没有效用函数。在自然只在博弈开始时采取行动的特殊情况下,即博弈树的根部,博弈本质上是贝叶斯博弈,我们将在 2.7 节详细介绍。

在完美信息博弈中,每个玩家都可以完美地观察到玩家在之前的决策点所采取的行动。例如,当两个玩家在玩经典的围棋或井字棋棋盘游戏时,每个玩家都可以观察其他玩家之前的动作,然后再决定自己的动作。然而,在许多其他问题中并非如此。EFG 还可以捕获不完美的信息,即玩家有时不确定其他玩家采取的行动,因此不知道他们在采取行动时确切在哪个节点。属于每个玩家的节点集被划分为几个信息集。拥有这些节点的玩家无法区分同一信息集中的节点。换句话说,玩家知道她在属于同一信息集的节点之一,但不知道具体是哪一个。例如,在每个玩家都有私人牌的扑克游戏中,玩家无法区分仅在其他玩家的私人牌上不同的某些节点。同一信息集中的节点必须具有相同的动作集,否则,玩家可以通过检查动作集来区分它们。一个信息集可能只包含一个节点,即一个单例。如果所有信息集都是单例,则该博弈是完美信息博弈。参与者的策略指定在每个信息集上要采取的行动。在图 2.1 的示例游戏中,虚线框表示节点 2 和节点 3 在同一个信息集中,玩家 2 无法区分它们。因此,节点 2 和 3 具有相同的操作集。1s他移动时的先前动作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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