经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECOS3012

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博弈论是对理性主体之间战略互动的数学模型的研究。它在社会科学的所有领域,以及逻辑学、系统科学和计算机科学中都有应用。最初,它针对的是两人的零和博弈,其中每个参与者的收益或损失都与其他参与者的收益或损失完全平衡。在21世纪,博弈论适用于广泛的行为关系;它现在是人类、动物以及计算机的逻辑决策科学的一个总称。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECOS3012

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Top-down Induction

When talking about combinatorial games, we will often use for brevity the word game for “game position”. Every game $G$ has finitely many options $G_{1}, \ldots, G_{m}$ that are reached from $G$ by one of the allowed moves in $G$, as in this picture:
CC=CC
If $m=0$ then $G$ has no options. We denote the game with no options by 0 , which by the normal play convention is a losing game. Otherwise the options of $G$ are themselves games, defined by their respective options according to the rules of the game. In that way, any game is completely defined by its options. In short, the starting position defines the game completely.

We introduce a certain type of mathematical induction for games, which is applied to a partial order (see the background material text box on the next page).
Consider a set $S$ of games, defined, for example, by a starting game and all the games that can reached from it via any sequence of moves of the players. For two games $G$ and $H$ in $S$, call $H$ simpler than $G$ if there is a sequence of moves that leads from $G$ to $H$. We allow $G=H$ where this sequence is empty. The relation of being “simpler than” defines a partial order which for the moment we denote by $\leq$. Note that $\leq$ is antisymmetric because it is not possible to reach $G$ from $G$ by a nonempty sequence of moves because this would violate the ending condition. The ending condition for games implies the following property:
Every nonempty subset of $S$ has a minimal element.
If there was a nonempty subset $T$ of $S$ without a minimal element, then we could produce an infinite play as follows: Start with some $G$ in $T$. Because $G$ is not minimal, there is some $H$ in $T$ with $H<G$, so there is some sequence of moves from $G$ to $H$. Similarly, $H$ is not minimal, so another game in $T$ is reached from $H$. Continuing in this manner creates an infinite sequence of moves, which contradicts the ending condition.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Game Sums and Equivalence of Games

Combinatorial games often “decompose” into parts in which players can move independently, and the players then have to decide in which part to make their move. This is captured by the important concept of a sum of games.

Definition 1.4. Suppose that $G$ and $H$ are game positions with options (positions reached by one move) $G_{1}, \ldots, G_{k}$ and $H_{1}, \ldots, H_{m}$, respectively. Then the options of the game sum $G+H$ are
$$
G_{1}+H, \ldots, G_{k}+H, \quad G+H_{1}, \ldots, G+H_{m} .
$$
The first list of options $G_{1}+H, \ldots, G_{k}+H$ in (1.11) simply means that the player makes his move in $G$, the second list $G+H_{1}, \ldots, G+H_{m}$ that he makes his move in $H$; the other part of the game sum remains untouched. As an example, a Nim position is simply the game sum of its individual Nim heaps, because the player moves in exactly one of the heaps.

Definition $1.4$ is a recursive definition, because the game sum is defined in terms of its options, which are themselves game sums (but they are simpler games).
The sum of games turns out to define an abelian group on the (appropriately defined) set of games. It is a commutative and associative operation: for any games $\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{J}$,
$$
G+H=H+G \quad \text { and } \quad(G+H)+J=G+(H+J) .
$$
The first condition (commutativity) holds because the order of the options of a game, used in (1.11), does not matter. The second condition (associativity) holds because both $(G+H)+J$ and $G+(H+J)$ mean in effect that the player decides to move in $G$, in $H$, or in $J$, leaving the other two parts of the game sum unchanged. We can therefore assume the equalities (1.12). More generally, in a sum of several games $G_{1}, \ldots, G_{n}$ the player moves in exactly one of these games, which does not depend on how these games are arranged, so that we can write this sum unambiguously without parentheses as $G_{1}+\cdots+G_{n}$.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Nim, Poker Nim, and the Mex Rule

In this section, we prove a sweeping statement (Theorem 1.14): Every impartial game is equivalent to some Nim heap. Note that this means a single Nim heap, even if the game itself is rather complicated, for example a general Nim position, which is a game sum of several Nim heaps. This can proved without any reference to playing Nim optimally. As we will see at the end of this section with the help of Figure 1.2, the so-called mex rule that underlies Theorem $1.14$ can be used to discover the role of powers of two for playing sums of Nim heaps.

We use the following notation for Nim heaps. If $G$ is a single Nim heap with $n$ tokens, $n \geq 0$, then we denote this game by $* n$. This game is completely specified by its $n$ options, and they are defined recursively as follows:
$$
\text { options of } * n: * 0, * 1, * 2, \ldots, (n-1) \text {. } $$ Note that $ 0$ is the empty heap with no tokens, that is, $* 0=0$; we will normally continue to just write 0 .

We can use $(1.18)$ as the definition of $* n$. For example, the game $* 4$ is defined by its options $* 0, * 1, * 2, * 3$. It is very important to include $* 0$ in that list of options, because it means that $* 4$ has a winning move. Condition (1.18) is a recursive definition of the game $* n$, because its options are also defined by reference to such games $* k$, for numbers $k$ smaller than $n$. This game fulfills the ending condition because the heap gets successively smaller in any sequence of moves.

A general Nim position is a game sum of several Nim heaps. Earlier we had written such a position by just listing the sizes of the Nim heaps, such as $1,2,3$ in (1.1). The fancy way to write this is now $* 1+* 2+* 3$, a sum of games.

The game of Poker Nim is a variation of Nim. Suppose that each player is given, at the beginning of the game, some extra “reserve” tokens. Like Nim, the game is played with heaps of tokens. In a move, a player can choose, as in ordinary Nim, a heap and remove some tokens, which he can add to his reserve tokens. A second, new kind of move is to add some of the player’s reserve tokens to some heap (or even to create an entire new heap with these tokens). These two kinds of moves are the only ones allowed.

Suppose that there are three heaps, of sizes $1,2,5$, and that the game has been going on for some time, so that both players have accumulated substantial reserves of tokens. It is player I’s turn, who moves to $1,2,3$ because that is a good move in ordinary Nim. But then player II adds 50 tokens to the heap of size 2 , creating the position $1,52,3$, which seems complicated.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|ECOS3012

博弈论代考

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Top-down Induction

在谈到组合博弈时,为了简洁,我们经常会使用“博弈位置”这个词游戏。每场比赛G有有限多的选择G1,…,G米从G通过允许的移动之一G,如图所示:
CC=CC
If米=0然后G没有选择。我们用 0 表示没有选项的游戏,按照正常的游戏惯例,这是一场失败的游戏。否则的选项G本身就是游戏,根据游戏规则由各自的选项定义。这样,任何游戏都完全由其选项定义。简而言之,起始位置完全定义了游戏。

我们介绍了某种类型的游戏数学归纳法,它应用于偏序(参见下一页的背景材料文本框)。
考虑一个集合小号游戏的数量,例如,由开始游戏和通过玩家的任何移动序列可以到达的所有游戏来定义。两场比赛G和H在小号, 称呼H比简单G如果有一连串的动作从G至H. 我们允许G=H这个序列是空的。“比”简单的关系定义了一个偏序,我们暂时将其表示为≤. 注意≤是反对称的,因为它不可能达到G从G通过非空的移动序列,因为这会违反结束条件。游戏的结束条件意味着以下属性:
每个非空子集小号有一个最小的元素。
如果有一个非空子集吨的小号如果没有最小元素,那么我们可以产生如下的无限游戏:从一些开始G在吨. 因为G不是最小的,有一些H在吨和H<G,所以有一些从G至H. 相似地,H不是最小的,所以另一个游戏吨从到达H. 以这种方式继续会产生无限的移动序列,这与结束条件相矛盾。

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Game Sums and Equivalence of Games

组合游戏通常“分解”成玩家可以独立移动的部分,然后玩家必须决定在哪个部分进行移动。博弈之和这一重要概念捕捉到了这一点。

定义 1.4。假设G和H是带有选项的游戏位置(一招达到的位置)G1,…,Gķ和H1,…,H米, 分别。然后游戏的选项总和G+H是

G1+H,…,Gķ+H,G+H1,…,G+H米.
第一个选项列表G1+H,…,Gķ+Hin (1.11) 仅仅意味着玩家进入G,第二个列表G+H1,…,G+H米他搬进来H; 游戏总和的另一部分保持不变。例如,一个 Nim 位置只是其各个 Nim 堆的游戏总和,因为玩家恰好在其中一个堆中移动。

定义1.4是一个递归定义,因为游戏总和是根据其选项定义的,这些选项本身就是游戏总和(但它们是更简单的游戏)。
结果证明,博弈之和在(适当定义的)博弈集上定义了一个阿贝尔群。它是一个交换和关联操作:对于任何游戏G,H,Ĵ,

G+H=H+G 和 (G+H)+Ĵ=G+(H+Ĵ).
第一个条件(交换性)成立,因为(1.11)中使用的游戏选项的顺序无关紧要。第二个条件(关联性)成立,因为(G+H)+Ĵ和G+(H+Ĵ)实际上意味着玩家决定搬进来G, 在H,或在Ĵ,游戏总和的其他两部分保持不变。因此我们可以假设等式(1.12)。更一般地说,在几场比赛的总和中G1,…,Gn玩家恰好在其中一个游戏中移动,这不取决于这些游戏的排列方式,因此我们可以明确地将这个总和写成不带括号的G1+⋯+Gn.

经济代写|博弈论代写Game Theory代考|Nim, Poker Nim, and the Mex Rule

在本节中,我们证明了一个全面的陈述(定理 1.14):每一个不偏不倚的游戏都等价于一些 Nim 堆。请注意,这意味着单个 Nim 堆,即使游戏本身相当复杂,例如一般的 Nim 位置,它是几个 Nim 堆的游戏总和。这可以在没有任何参考以最佳方式玩 Nim 的情况下证明。正如我们将在本节末尾借助图 1.2 看到的,作为定理基础的所谓 mex 规则1.14可用于发现 2 的幂在玩 Nim 堆总和中的作用。

我们对 Nim 堆使用以下表示法。如果G是一个 Nim 堆n代币,n≥0,那么我们将这个游戏表示为∗n. 该游戏完全由其指定n选项,它们被递归定义如下:

 的选项 ∗n:∗0,∗1,∗2,…,(n−1). 注意0是没有标记的空堆,即∗0=0; 我们通常会继续只写 0 。

我们可以用(1.18)作为的定义∗n. 例如,游戏∗4由其选项定义∗0,∗1,∗2,∗3. 包括在内非常重要∗0在那个选项列表中,因为这意味着∗4有一个获胜的举动。条件(1.18)是博弈的递归定义∗n,因为它的选项也是通过引用此类游戏来定义的∗ķ, 对于数字ķ小于n. 该游戏满足结束条件,因为堆在任何移动序列中都逐渐变小。

一般的 Nim 位置是几个 Nim 堆的游戏总和。早些时候,我们通过列出 Nim 堆的大小来编写这样的位置,例如1,2,3在(1.1)中。写这个的花哨的方式是现在∗1+∗2+∗3,游戏总和。

Poker Nim 游戏是 Nim 的变体。假设在游戏开始时给每个玩家一些额外的“储备”代币。像 Nim 一样,这个游戏是用大量的代币来玩的。在移动中,玩家可以像在普通 Nim 中一样选择一个堆并移除一些标记,他可以将这些标记添加到他的储备标记中。第二种新的举措是将玩家的一些储备代币添加到某个堆中(或者甚至用这些代币创建一个全新的堆)。这两种动作是唯一允许的。

假设有三个大小的堆1,2,5,并且该游戏已经进行了一段时间,以至于双方玩家都积累了可观的代币储备。轮到我的玩家了1,2,3因为这是普通 Nim 的好棋。但随后玩家 II 将 50 个令牌添加到大小为 2 的堆中,创建位置1,52,3,看起来很复杂。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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