经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Nonlinear Regression Models

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计量经济学是将统计方法应用于经济数据,以赋予经济关系以经验内容。

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  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等楖率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Nonlinear Regression Models

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Nonlinear Regression Models

Suppose that one is given a vector $\boldsymbol{y}$ of observations on some dependent variable, a vector $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ of, in general nonlinear, regression functions, which may and normally will depend on independent variables, and the data needed to evaluate $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$. Then, assuming that these data allow one to identify all elements of the parameter vector $\beta$ and that one has access to a suitable computer program for nonlinear least squares and enough computer time, one can always obtain NLS estimates $\boldsymbol{\beta}$. In order to interpret these estimates, one generally makes the heroic assumption that the model is “correct,” which means that $\boldsymbol{y}$ is in fact generated by a DGP from the family
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{IID}\left(\mathbf{0}, \sigma^{2} \mathbf{I}\right)
$$
Without this assumption, or some less restrictive variant, it would be very difficult to say anything about the properties of $\hat{\boldsymbol{\beta}}$, although in certain special cases one can do so.

It is clear that $\boldsymbol{\beta}$ must be a vector of random variables, since it will depend on $\boldsymbol{y}$ and hence on the vector of error terms $\boldsymbol{u}$. Thus, if we are to make inferences about $\boldsymbol{\beta}$, we must recognize that $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is random and quantify its randomness. In Chapter 5 , we will demonstrate that it is reasonable, when the sample size is large enough, to treat $\hat{\beta}$ as being normally distributed around the true value of $\boldsymbol{\beta}$, which we may call $\beta_{0}$. Thus the only thing we need to know if we are to make asymptotically valid inferences about $\boldsymbol{\beta}$ is the covariance matrix of $\hat{\boldsymbol{\beta}}$, say $\boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}})$. In the next section, we discuss how this covariance matrix may be estimated for linear and nonlinear regression models. In Section $3.3$, we show how the resulting estimates may be used to make inferences about $\boldsymbol{\beta}$. In Section $3.4$, we discuss the basic ideas that underlie all types of hypothesis testing. In Section 3.5, we then discuss procedures for testing hypotheses in linear regression models. In Section 3.6. we discuss similar procedures for testing hypotheses in nonlinear regression models. The latter section provides an opportunity to introduce the three fundamental principles on which most hypothesis tests are based: the Wald, Lagrange multiplier, and likelihood ratio principles. Finally, in Section $3.7$, we discuss the effects of imposing incorrect restrictions and introduce the notion of preliminary test estimators.

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Covariance Matrix Estimation

In the case of the linear regression model
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim \operatorname{\Pi DD}\left(\mathbf{0}, \sigma^{2} \mathbf{I}\right),
$$
it is well known that when the DGP satisfies (3.02) for specific parameter values $\boldsymbol{\beta}{0}$ and $\sigma{0}$, the covariance matrix of the vector of OLS estimates $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ is
$$
\boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\sigma_{0}^{2}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1}
$$
The proof of this familiar result is quite straightforward. The covariance matrix $\boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}})$ is defined as the expectation of the outer product of $\hat{\boldsymbol{\beta}}-E(\hat{\boldsymbol{\beta}})$ with itself, conditional on the independent variables $\boldsymbol{X}$. Starting with this definition and using the fact that $E(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\boldsymbol{\beta}{0}$, we first replace $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ by what it is equal to under the DGP, then take expectations conditional on $\boldsymbol{X}$, and finally simplify the algebra to obtain (3.03): $$ \begin{aligned} \boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) & \equiv E\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)^{\top} \ &=E\left(\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)\left(\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)^{\top} \ &=E\left(\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top}\left(\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}{0}+\boldsymbol{u}\right)-\boldsymbol{\beta}{0}\right)\left(\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top}\left(\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}{0}+\boldsymbol{u}\right)-\boldsymbol{\beta}{0}\right)^{\top} \ &=E\left(\boldsymbol{\beta}{0}+\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)\left(\boldsymbol{\beta}{0}+\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u}-\boldsymbol{\beta}{0}\right)^{\top} \ &=E\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{u} \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1}\right.\ &=\left(\boldsymbol{X}^{\top} \mathbf{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top}\left(\sigma{0}^{2} \mathbf{I}\right) \boldsymbol{X}^{\top}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \
&=\sigma_{0}^{2}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1} \
&=\sigma_{0}^{2}\left(\boldsymbol{X}^{\top} \boldsymbol{X}\right)^{-1}
\end{aligned}
$$
Deriving an analogous result for the nonlinear regression model (3.01) requires a few concepts of asymptotic analysis that we have not yet developed, plus a certain amount of mathematical manipulation. We will therefore postpone this derivation until Chapter 5 and merely state an approximate result here.
For a nonlinear model, we cannot in general obtain an exact expression for $\boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}})$ in the finite-sample case. In Chapter 5 , on the assumption that the data are generated by a DGP which is a special case of (3.01), we will, however, obtain an asymptotic result which allows us to state that
$$
\boldsymbol{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) \cong \sigma_{0}^{2}\left(\boldsymbol{X}^{\top}\left(\boldsymbol{\beta}{0}\right) \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}{0}\right)\right)^{-1}
$$

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Confidence Intervals and Confidence Regions

A confidence interval for a single parameter at some level $\alpha$ (between 0 and 1 ) is an interval of the real line constructed in such a way that we are confident that the true value of the parameter will lie in that interval $(1-\alpha) \%$ of the time. A confidence region is conceptually the same, except that it is a region in an l-dimensional space (usually the l-dimensional analog of an ellipse) which is constructed so that we are confident that the true values of an l-vector of parameters will lie in that region $(1-\alpha) \%$ of the time. Notice that, when we find a confidence interval or region, we are not making a statement about the distribution of the parameter itself but rather about the probability that our random interval, because of the way it is constructed in terms of the estimates of the parameters and of their covariance matrix, will include the true value.
In the context of regression models, we normally construct a confidence interval by using an estimate of the single parameter in question, an estimate of its standard error, and, in addition, a certain critical value taken from either the normal or the Student’s $t$ distribution. The estimated standard error is of course simply the square root of the appropriate diagonal element of the estimated covariance matrix. The critical value depends on $1-\alpha$, the probability that the confidence interval will include the true value; if we want this probability to be very close to one, the critical value must be relatively large, and hence so must be the confidence interval.

Suppose that the parameter we are interested in is $\beta_{1}$, that the NLS estimate of it is $\hat{\beta}{1}$, and that the estimated standard error of the estimator is $$ \hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right) \equiv s\left(\left(\hat{\boldsymbol{X}}^{\top} \hat{\boldsymbol{X}}\right){11}\right)^{-1 / 2} $$ We first need to know how long our confidence interval has to be in terms of the estimated standard errors $\hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right)$. We therefore look up $\alpha$ in a table of

two-tail critical values of the normal or Student’s $t$ distributions or look up $\alpha / 2$ in a table of one-tail critical values. ${ }^{1}$ This gives us a critical value $c_{\alpha}$. We then find an approximate confidence interval
$$
\hat{\beta}{1}-c{\alpha} \hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right) \text { to } \hat{\beta}{1}+c_{\alpha} \hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right) $$ that will include the true value of $\beta{1}$ roughly $(1-\alpha) \%$ of the time. For example, if $\alpha$ were $.05$ and we used tables for the normal distribution, we would find that a two-tail critical value was $1.96$. This means that for the normnl distribution with menn $\mu$ and variance $\omega^{2}, 95 \%$ of the probability maiks of this distribution lies between $\mu-1.96 \omega$ and $\mu+1.96 \omega$. Hence, in this case, our approximate confidence interval would be
$$
\hat{\beta}{1}-1.96 \hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right) \text { to } \hat{\beta}{1}+1.96 \hat{S}\left(\hat{\beta}{1}\right)
$$

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计量经济学代考

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Nonlinear Regression Models

假设给定一个向量是对一些因变量的观察,一个向量X(b)的,通常是非线性的,回归函数,它可能并且通常将取决于自变量,以及评估所需的数据X(b). 然后,假设这些数据允许识别参数向量的所有元素b并且可以使用适合非线性最小二乘法的计算机程序和足够的计算机时间,则总能获得 NLS 估计b. 为了解释这些估计,人们通常会大胆假设模型是“正确的”,这意味着是实际上是由家庭的 DGP 生成的
是=X(b)+在,在∼独立身份证⁡(0,σ2一世)
如果没有这个假设,或者一些限制较少的变体,就很难说出关于b^,尽管在某些特殊情况下可以这样做。

很清楚b必须是随机变量的向量,因为它将取决于是因此在误差项的向量上在. 因此,如果我们要推断b,我们必须认识到b^是随机的并量化其随机性。在第 5 章中,我们将证明当样本量足够大时,处理b^正态分布在真实值附近b,我们可以称之为b0. 因此,如果我们要对关于b是协方差矩阵b^, 说在(b^). 在下一节中,我们将讨论如何为线性和非线性回归模型估计此协方差矩阵。在部分3.3,我们展示了如何使用结果估计来推断b. 在部分3.4,我们讨论了构成所有类型假设检验的基本思想。在 3.5 节中,我们将讨论在线性回归模型中检验假设的程序。在第 3.6 节中。我们讨论了在非线性回归模型中检验假设的类似程序。后一部分提供了一个机会来介绍大多数假设检验所基于的三个基本原则:Wald、拉格朗日乘数和似然比原则。最后,在部分3.7,我们讨论了施加不正确限制的影响,并引入了初步测试估计器的概念。

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Covariance Matrix Estimation

在线性回归模型的情况下
是=Xb+在,在∼圆周率DD⁡(0,σ2一世),
众所周知,当 DGP 对于特定参数值满足 (3.02) 时b0和σ0, OLS 估计向量的协方差矩阵b^是
在(b^)=σ02(X⊤X)−1
这个熟悉的结果的证明非常简单。协方差矩阵在(b^)被定义为外积的期望b^−和(b^)本身,以自变量为条件X. 从这个定义开始并使用以下事实和(b^)=b0,我们首先替换b^根据 DGP 等于什么,然后以期望为条件X,最后将代数化简得到(3.03):在(b^)≡和(b^−b0)(b^−b0)⊤ =和((X⊤X)−1X⊤是−b0)((X⊤X)−1X⊤是−b0)⊤ =和((X⊤X)−1X⊤(Xb0+在)−b0)((X⊤X)−1X⊤(Xb0+在)−b0)⊤ =和(b0+(X⊤X)−1X⊤在−b0)(b0+(X⊤X)−1X⊤在−b0)⊤ =和(X⊤X−1X⊤在在⊤X(X⊤X)−1 =(X⊤X)−1X⊤(σ02一世)X⊤(X⊤X)−1 =σ02(X⊤X)−1X⊤X(X⊤X)−1 =σ02(X⊤X)−1
为非线性回归模型 (3.01) 推导类似的结果需要一些我们尚未开发的渐近分析概念,以及一定数量的数学操作。因此,我们将把这个推导推迟到第 5 章,在这里仅陈述一个近似结果。
对于非线性模型,我们通常无法获得精确的表达式在(b^)在有限样本的情况下。在第 5 章中,假设数据是由 DGP 生成的,它是 (3.01) 的一个特例,然而,我们将获得一个渐近的结果,它允许我们声明:
在(b^)≅σ02(X⊤(b0)X(b0))−1

经济代写|计量经济学作业代写Econometrics代考|Confidence Intervals and Confidence Regions

某个级别的单个参数的置信区间一种(介于 0 和 1 之间)是实线的区间,其构造方式使我们确信参数的真实值将位于该区间内(1−一种)%的时间。置信区域在概念上是相同的,只是它是 l 维空间(通常是椭圆的 l 维模拟)中的一个区域,它的构造是为了让我们确信参数 l 向量的真实值将位于该区域(1−一种)%的时间。请注意,当我们找到一个置信区间或区域时,我们并不是在陈述参数本身的分布,而是关于我们的随机区间的概率,因为它是根据参数估计的方式构建的以及它们的协方差矩阵,将包括真实值。
在回归模型的上下文中,我们通常使用所讨论的单个参数的估计值、标准误差的估计值以及从正常值或学生值中获取的某个临界值来构建置信区间吨分配。估计的标准误差当然只是估计协方差矩阵的适当对角元素的平方根。临界值取决于1−一种,置信区间将包含真值的概率;如果我们希望这个概率非常接近 1,那么临界值必须相对较大,因此置信区间也必须如此。

假设我们感兴趣的参数是b1, 它的 NLS 估计是b^1,并且估计量的估计标准误差是小号^(b^1)≡s((X^⊤X^)11)−1/2我们首先需要知道根据估计的标准误差,我们的置信区间必须有多长小号^(b^1). 因此,我们查找一种在一张表中

正常或学生的双尾临界值吨分布或查找一种/2在单尾临界值表中。1这给了我们一个临界值C一种. 然后我们找到一个近似的置信区间
b^1−C一种小号^(b^1) 到 b^1+C一种小号^(b^1)这将包括真正的价值b1大致(1−一种)%的时间。例如,如果一种是.05我们使用表格进行正态分布,我们会发现双尾临界值是1.96. 这意味着对于带有 menn 的 normnl 分布μ和方差ω2,95%该分布的概率 maiks 介于μ−1.96ω和μ+1.96ω. 因此,在这种情况下,我们的近似置信区间将是
b^1−1.96小号^(b^1) 到 b^1+1.96小号^(b^1)

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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