统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Examples of Mixed Data Modeling

The problem of modeling mixed data is quite representative of many data sets that one often encounters in practical applications. To further motivate the importance of modeling mixed data, we give below a few real-world problems that arise in image processing and computer vision. Most of these problems will be revisited later in this book, and more detailed and principled solutions will be given.
Face Clustering under Varying Illumination
The first example arises in the context of image-based face clustering. Given a collection of unlabeled images $\left{I_{j}\right}_{j=1}^{N}$ of several different faces taken under varying illumination, we would like to cluster the images corresponding to the face of the same person. For a Lambertian object, ${ }^{10}$ it has been shown that the set of all images taken under all lighting conditions forms a cone in the image space, which can be well approximated by a low-dimensional subspace called the “illumination subspace” (Belhumeur and Kriegman 1998; Basri and Jacobs 2003).” For example, if $I_{j}$ is the $j$ th image of a face and $d$ is the dimension of the illumination subspace associated with that face, then there exists a mean face $\mu$ and $d$ eigenfaces $\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{d}$ such that $I{j} \approx \boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u}{1} y{1 j}+\boldsymbol{u}{2} y{2 j}+\cdots+\boldsymbol{u}{d j} y{d j}$. Now, since the images of different faces will live in different “illumination subspaces,” we can cluster the collection of images by estimating a basis for each one of those subspaces. As we will see later, this is a special case of the subspace clustering problem addressed in Part II of this book. In the example shown in Figure 1.3, we use a subset of the Yale Face Database B consisting of $n=64 \times 3$ frontal views of three faces (subjects 5,8 and 10 ) under 64 varying lighting conditions. For computational efficiency, we first down-sample each image to a size of $30 \times 40$ pixels. We then project the data onto their first three principal components using PCA, as shown in Figure $1.3$ (a). $.^{12}$ By modeling the projected data with a mixture model of linear subspaces in $\mathbb{R}^{3}$, we obtain three affine subspaces of dimension 2, 1, and 1, respectively. Despite the series of down-sampling and projection, the subspaces lead to a perfect clustering of the face images, as shown in Figure 1.3(b).

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Mathematical Representations of Mixture Models

The examples presented in the previous subsection argue forcefully for the development of modeling and estimation techniques for mixture models. Obviously, whether the model associated with a given data set is mixed depends on the class of primitive models considered. In this book, the primitives are normally chosen to be simple classes of geometric models or probabilistic distributions.

For instance, one may choose the primitive models to be linear subspaces. Then one can use an arrangement of linear subspaces $\left{S_{i}^{}_{i=1}^{n}} \subset \mathbb{R}^{D}\right.$,
$$
Z \doteq S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n},
$$
also called a piecewise linear model, to approximate many nonlinear manifolds or piecewise smooth topological spaces. This is the standard model considered in geometric approaches to generalized principal component analysis (GPCA), which will be studied in Part II of this book.

The statistical counterpart to the geometric model in (1.7) is to assume instead that the sample points are drawn independently from a mixture of (near singular) Gaussian distributions $\left{p_{\theta_{i}}(\boldsymbol{x}){i=1}^{n}\right.$, where $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{D}$ but each distribution has mass concentrated near a subspace. The overall probability density function can be expressed as a sum: $$ q{\theta}(x) \doteq \pi_{1} p_{\theta_{1}}(x)+\pi_{2} p_{\theta_{2}}(x)+\cdots+\pi_{n} p_{\theta_{n}}(x),
$$
where $\theta=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}, \pi_{1}, \ldots, \pi_{n}\right)$ are the model parameters and $\pi_{i}>0$ are mixing weights with $\pi_{1}+\pi_{2}+\cdots+\pi_{n}=1$. This is the typical model studied in mixtures of probabilistic principal component analysis (PPCA) (Tipping and Bishop $1999 \mathrm{a}$ ), where each component distribution $p_{\theta_{i}}(\boldsymbol{x})$ is a nearly degenerate Gaussian distribution. A classical way of estimating such a mixture model is the expectation maximization (EM) algorithm, where the membership of each sample is represented as a hidden random variable. Appendix B reviews the general EM method, and Chapter 6 shows how to apply it to the case of multiple subspaces.

In the special case that there is only one subspace or one component distribution (i.e., $n=1$ ), the model reduces to the classical (probabilistic) PCA, and we will see that the geometric and statistical formulations are equivalent in the sense that they both give very much the same solution (see Chapter 2). However, in the case of incomplete or corrupted data, or in the general case of a mixture of multiple components, the two formulations can be very different, and their optimal solutions need to be found by very different techniques. In this book, we will study and clarify the similarities and differences between these geometric models and statistical models in Chapters 5 and $6 .

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Examples of Mixed Data Modeling

混合数据建模问题非常具有代表性,在实际应用中经常遇到的许多数据集。为了进一步激发混合数据建模的重要 性,我们在下面给出了图像处理和计算机视觉中出现的一些实际问题。本书稍后将重新讨论这些问题中的大部 分,并给出更详细和更有原则的解决方案。
变化光照下的人脸聚类 拍摄的几张不同面孔中,我们希望将与同一个人的面孔相对应的图像聚类。对于朗伯物体, ${ }^{10}$ 已经表明,在所有 照明条件下拍摄的所有图像的集合在图像空间中形成一个圆雉体,可以很好地近似于称为“照明子空间”的低维子 空间 (Belhumeur 和 Kriegman 1998;Basri 和Jacobs 2003 )。”例如,如果 $I_{j}$ 是个 $j$ 一张脸的图像和 $d$ 是与该 人脸相关的照明子空间的维度,则存在平均人脸 $\mu$ 和 $d$ 特征脸 $\boldsymbol{u} 1, \boldsymbol{u} 2, \ldots, \boldsymbol{u} d$ 这样
$I j \approx \boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u} 1 y 1 j+\boldsymbol{u} 2 y 2 j+\cdots+\boldsymbol{u} d j y d j$. 现在,由于不同面孔的图像将存在于不同的“照明子空间”中, 我们可以通过估计每个子空间的基础来对图像集合进行聚类。正如我们稍后将看到的,这是本书第二部分中讨论 的子空间聚类问题的一个特例。在图 $1.3$ 所示的示例中,我们使用了耶鲁人脸数据库 $B$ 的子集,包括 $n=64 \times 3$ 在 64 种不同的照明条件下,三张脸(对象 5,8 和 10) 的正面视图。为了计算效率,我们首先将每 个图像下采样到 $30 \times 40$ 像素。然后我们使用 PCA 将数据投影到它们的前三个主成分上,如图 $1.3$ (一个)。 12 通过使用线性子空间的混合模型对投影数据进行建模 $\mathbb{R}^{3}$ ,我们分别获得了三个维数为 2、1 和 1 的仿射子空间。 尽管进行了一系列的下采样和投影,子空间仍然可以完美地聚类人脸图像,如图 1.3(b) 所示。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Mathematical Representations of Mixture Models

上一小节中的例子有力地证明了混合模型的建模和估计技术的发展。显然,与给定数据集相关的模型是否混合取 决于所考虑的原始模型的类别。在本书中,基元通常被选择为简单的几何模型类或概率分布。
例如,可以选择原始模型作为线性子空间。然后可以使用线性子空间的排列
$$
Z \doteq S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n},
$$
也称为分段线性模型,用于逼近许多非线性流形或分段平滑拓扑空间。这是广义主成分分析 (GPCA) 几何方法 中考虑的标准模型,本书的第二部分将对此进行研究。 ${\mathrm{i}=1} \wedge{\mathrm{n}} \backslash \mathrm{又}$ 。, where $\backslash$ boldsymbol ${\mathrm{x}} \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${\mathrm{R}} \wedge{\mathrm{D}}$
buteachdistributionhasmassconcentratednearasubspace. Theoverallprobabilitydensity function $q \theta(x) \doteq \pi_{1} p_{\theta_{1}}(x)+\pi_{2} p_{\theta_{2}}(x)+\cdots+\pi_{n} p_{\theta_{n}}(x)$, where Itheta=《left(Itheta_{1}, Vldots, Itheta_{n},
\pi_{1}, Vdots, \pi_{n}\right)arethemodelparametersand $\backslash$ pi_{i} $>0$ aremixingweightswith
. Thisisthetypicalmodelstudiedinmixturesofprobabilisticprincipalcomponentanalysis $(P P C A)$ 1999 Imathrm{a}), whereeachcomponentdistribution $\mathrm{p}{-}{$(theta{i}}((1boldsymbol{x})\$ 是一个几乎退化
的高斯分布。估计这种混合模型的经典方法是期望最大化 (EM) 算法,其中每个样本的成员资格表示为隐藏的随 机变量。附录 $\mathrm{B}$ 回顾了一般的 EM 方法,第 6 章展示了如何将其应用于多个子空间的情况。
在只有一个子空间或一个分量分布的特殊情况下 (即, $n=1$ ),模型简化为经典(概率) PCA,我们将看到几何 和统计公式在某种意义上是等价的,因为它们都给出了非常相同的解 (见第 2 章) 。然而,在数据不完整或损坏 的情况下,或者在混合多个成分的一般情况下,两种公式可能非常不同,需要通过非常不同的技术来找到它们的 最佳解决方案。在本书中,我们将在第 5 章和第 6 章中研究和阐明这些几何模型和统计模型之间的异同。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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