统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MAST90085

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MAST90085

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Data Mechanisms

The commonly adopted ontology of missing data [27] distinguishes among three cases: missing completely at random (MCAR), missing at random (MAR), and missing not at random (MNAR). These are called missing data mechanisms.

In our set up, let $\mathbf{Y}$ denote an $n$ by $p$ matrix of continuous measurements obtained from $n$ units on $p$ possibly correlated random variables $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{p}$. Let also $\mathbf{M}$ denote an $n$ by $p$ matrix with row vectors $\mathrm{m}{i}, i=1,2, \ldots, n$, whose $j$ th entry is given by the binary indicator $$ m{i j}= \begin{cases}1 & \text { if the } i j \text { th entry of } \mathbf{Y} \text { is missing, } \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
The matrix M describes the pattern of missing data. In a likelihood framework, each element of $\mathbf{M}$ is assumed to be a random variable with marginal distribution given by a Bernoulli with probability $\pi_{i j}$, that is, $m_{i j} \sim \operatorname{Bin}\left(1, \pi_{i j}\right.$. All statements regarding how missing data are generated arise from assumptions on the joint distribution of $\mathbf{Y}$ and $\mathbf{M}$, and these assumptions, in turn, determine which methods are most appropriate to deal with the missing data. Before we discuss MCAR, MAR, and MNAR assumptions in detail, let us introduce some additional notation. Suppose that the $i$ th row of $\mathbf{Y}$ contains $s_{i} \geq 0$ missing values. Then, $\mathbf{y}{i}$ is partitioned into the $s{i} \times 1$ vector $\mathbf{z}{i}$ and the $\left(p-s{i}\right) \times 1$ vector $\mathbf{x}{i}$. That is, $\mathbf{x}{i}$ is the observed part of $\mathbf{y}{i}$ while $\mathbf{z}{i}$ is its unobserved part, which would have been recorded if at all possible. Finally, let $\mathbf{I}_{n}$ denote the identity matrix of order $n$.

The MCAR mechanism assumes that $\mathbf{y}{i}$ and $\mathrm{m}{i}$ are marginally independent. In other words, if in addition we assume independence among the $m_{i j}$ ‘s, this is equivalent to tossing a coin whose probability of heads equals $\pi_{i j}$, and to deleting the $j$ th entry of $\mathbf{y}_{i}$ if heads comes up. This is the strongest of the three assumptions, seldom tenable in practice.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Completely at Random

When the distribution of the missing data indicator does not depend on either the observed or unobserved data, i.e. when
$$
\operatorname{Pr}\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{z}{i}, \mathbf{x}{i}\right)=\operatorname{Pr}\left(\mathbf{m}{i}\right)
$$
then the missing data are said to be missing completely at random.
Lack of measurement is therefore unpredictable (as if tossing a coin, so to speak) and, as such, not informative. One could therefore proceed with a complete case (CC) analysis without the risk of incurring into estimation bias. As mentioned in our introductory example, there are two possible choices for a $\mathrm{CC}$ analysis in the multivariate context: observations can be discarded listwise or component-wise. A listwise approach proceeds by discarding $\mathbf{y}{i}$ as soon as $s{i}>0$, that is, if any variable has not been measured, then the entire unit is discarded. A component-wise approach proceeds by using as much information contained in $\mathbf{x}{i}$ as possible (“nothing goes to waste”). For instance, if $m{i 1}=m_{i 2}=0$ and $m_{i 3}=1$, then $y_{i 1}$ and $y_{i 2}$ will contribute to the estimation of $s_{12}$ in a component-wise approach, but not in a listwise approach.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing at Random

When the distribution of the missing data indicator depends only on the observed data, i.e. when
$$
\operatorname{Pr}\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{z}{i}, \mathbf{x}{i}\right)=\operatorname{Pr}\left(\mathbf{m}{i} \mid \mathbf{x}_{i}\right),
$$

then the missing data are said to be missing at random. This setting is more general than MCAR’s. Indeed, MCAR data are always MAR. However, the converse is false.
The event that a measurement is missing may depend on the measurement itself (e.g., wealthy people may be prone to refuse disclosing their income in a survey). However, conditional on the observed data, this dependence disappears (e.g., the propensity of people to disclose their income is completely explained by the knowledge of their assets).

On the one hand, in many cases a CC analysis under a MAR assumption is perfectly valid. As most statistical procedures are conditional on the observed data, $m$ cannot give any additional information on $z$. Hence, missing values can be simply ignored. On the other hand, it might be possible to incorporate in the analysis the uncertainty for not knowing $z$ by predicting $z$ from $x$. This procedure is known as imputation. There are several techniques that fall under this label.

A popular technique is hot deck single imputation. This involves selecting a number of donors, that is, units that are “similar” to the unit with missing values and then predicting the missing values through the average of the donors’ observed values. This method is simple and grounded on the fact that units that are similar with respect to the observed values should also be similar with respect to the unobserved ones (provided there is a strong association among variables). There are, however, some difficulties with this technique. Firstly, choosing the number of donors can be sometimes difficult. Secondly, hot deck imputation is not based on a statistical model, hence it lacks theoretical ground and it is difficult to adapt to specific problems. Finally, and most importantly, hot deck single imputation (as any other technique based on a single imputation) fails to take into account the uncertainty brought about by imputation. In other words, a predicted value replacing the missing value is effectively treated as a direct measurement.

To overcome the latter limitation, one can consider a multiple imputation approach which consists in repeatedly predicting the missing values. The results based on several predictions can be averaged to produce a final estimate, or they can be evaluated with respect to their sensitivity to specific imputed values.

Imputation (either single or multiple) can be made theoretically sound by drawing imputations from probability models. The latter are used to capture the generating mechanism of the missing values and can often formally take into account the imputation’s uncertainty.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MAST90085

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Data Mechanisms

普遍采用的缺失数据本体[27]区分三种情况:完全随机缺失(MCAR)、随机缺失(MAR)和非随机缺失(MNAR)。这些被称为缺失数据机制。

在我们的设置中,让是表示一个n经过p从获得的连续测量矩阵n单位开p可能相关的随机变量是1,是2,…,是p. 也让米表示一个n经过p行向量矩阵米一世,一世=1,2,…,n,谁的j第一项由二进制指标给出

米一世j={1 如果 一世j 的第 是 不见了,  0 否则。 
矩阵 M 描述了缺失数据的模式。在似然框架中,每个元素米假设为具有由伯努利给出的边际分布的随机变量,概率为圆周率一世j, 那是,米一世j∼垃圾桶⁡(1,圆周率一世j. 所有关于如何生成缺失数据的陈述都来自对联合分布的假设是和米,而这些假设反过来又决定了哪些方法最适合处理缺失的数据。在详细讨论 MCAR、MAR 和 MNAR 假设之前,让我们介绍一些额外的符号。假设一世第 行是包含s一世≥0缺失值。然后,是一世被划分为s一世×1向量和一世和(p−s一世)×1向量X一世. 那是,X一世是观察到的部分是一世尽管和一世是它未被观察到的部分,如果可能的话,它会被记录下来。最后,让我n表示阶单位矩阵n.

MCAR 机制假设是一世和米一世是边缘独立的。换句话说,如果另外我们假设米一世j的,这相当于抛硬币,正面的概率等于圆周率一世j,并删除j的第是一世如果出现正面。这是三个假设中最强的一个,在实践中很少成立。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing Completely at Random

当缺失数据指标的分布不依赖于观察到的或未观察到的数据时,即当

公关⁡(米一世∣和一世,X一世)=公关⁡(米一世)
那么缺失的数据被称为完全随机缺失。
因此,缺乏测量是不可预测的(可以说,就像扔硬币一样),因此也不能提供信息。因此,人们可以继续进行完整的案例 (CC) 分析,而不会产生估计偏差的风险。正如我们在介绍性示例中提到的,有两种可能的选择CC多变量上下文中的分析:观察可以按列表或按分量丢弃。listwise 方法通过丢弃是一世立刻s一世>0,也就是说,如果没有测量任何变量,则丢弃整个单元。通过使用包含在X一世尽可能(“没有浪费”)。例如,如果米一世1=米一世2=0和米一世3=1, 然后是一世1和是一世2将有助于估计s12在组件式方法中,但不是在列表式方法中。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Missing at Random

当缺失数据指标的分布仅取决于观察到的数据时,即当

公关⁡(米一世∣和一世,X一世)=公关⁡(米一世∣X一世),

那么缺失的数据被称为随机缺失。此设置比 MCAR 更通用。事实上,MCAR 数据总是 MAR。然而,反过来是错误的。
缺少测量的事件可能取决于测量本身(例如,富人可能倾向于拒绝在调查中披露他们的收入)。然而,根据观察到的数据,这种依赖性消失了(例如,人们披露其收入的倾向完全可以通过对其资产的了解来解释)。

一方面,在许多情况下,MAR 假设下的 CC 分析是完全有效的。由于大多数统计程序都以观察到的数据为条件,米不能提供任何额外的信息和. 因此,可以简单地忽略缺失值。另一方面,有可能在分析中加​​入不知道的不确定性和通过预测和从X. 此过程称为插补。有几种技术属于这个标签。

一种流行的技术是热甲板单一插补。这涉及选择多个供体,即与具有缺失值的单位“相似”的单位,然后通过供体观察值的平均值预测缺失值。这种方法很简单,并且基于这样一个事实,即与观察值相似的单位也应该与未观察到的相似(假设变量之间存在强关联)。然而,这种技术存在一些困难。首先,有时很难选择捐赠者的数量。其次,热甲板插补不是基于统计模型,因此缺乏理论基础,难以适应具体问题。最后,也是最重要的,热甲板单一插补(与任何其他基于单一插补的技术一样)未能考虑插补带来的不确定性。换句话说,替换缺失值的预测值被有效地视为直接测量。

为了克服后一个限制,可以考虑一种多重插补方法,该方法包括重复预测缺失值。可以对基于多个预测的结果进行平均以产生最终估计,或者可以根据它们对特定估算值的敏感性来评估它们。

通过从概率模型中绘制插补,可以使插补(单个或多个)在理论上合理。后者用于捕获缺失值的生成机制,并且通常可以正式考虑插补的不确定性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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