统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MATH5855

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MATH5855

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Segmented Principal Component Analysis

In hyperspectral images, the correlations between neighboring spectral bands are generally higher than for bands further apart. If conventional PCA based method is modified so that the transformation is carried out by avoiding the low correlations between the highly correlated blocks, the efficiency of PCA will be improved. Also, the computational load is a major consideration in the case of hyperspectral data transformation, i.e., it is inefficient to transform the complete data set. So, a segmented principal component analysis comes into picture.

In this scheme [20], the complete data set is first partitioned into several subgroups, depending on the correlations of neighboring features of hyperspectral images. Highly correlated features are selected as subgroups. Then, PCA based transformation is conducted separately on each subgroup of data.

At the onset, the $D$ number of bands of a hyperspectral images is partitioned into a few number of contiguous intervals with constant intensities (i.e., $K$ subgroups). Highly correlated bands should be in a subgroup. Let $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{k}$, be the number of bands in the $1 \mathrm{st}, 2 \mathrm{nd}$, and $K$ th group, correspondingly. The purpose is to obtain a set of $\mathrm{K}$ breakpoints $P=\left{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{K}\right}$, which defines the contiguous intervals $I_{k}=\left[p_{k}, p_{k+1}\right)$. The partition should follow the principle that each band should be inside one block.

Let $\Gamma$ be a correlation matrix of size $D \times D$, where $D$ is the number of bands present in a hyperspectral image. Each element of $\Gamma$ is $\gamma_{i j}$, where $\gamma_{i j}$ represents the correlation between band images $B_{i}$ and $B_{j}$. Let the size of each band image be $M \times N$. The correlation coefficient between $B_{i}$ and $B_{j}$ is defined as
$$
\gamma_{i, j}=\frac{\Sigma_{x=1}^{M} \Sigma_{y=1}^{N}\left|B_{i}(x, y)-\mu_{i}\right|\left|B_{j}(x, y)-\mu_{j}\right|}{\sqrt{\left(\Sigma_{x=1}^{M} \Sigma_{y=1}^{N}\left[B_{i}(x, y)-\mu_{i}\right]^{2}\right)\left(\Sigma_{x=1}^{M} \Sigma_{y=1}^{N}\left[B_{j}(x, y)-\mu_{j}\right]^{2}\right)}}
$$
where $\mu_{i}$ and $\mu_{j}$ are the mean of band images $B_{i}$ and $B_{j}$, respectively. $\left|B_{i}(x, y)-\mu_{i}\right|$ measures the difference between the reflectance value of pixel $(x, y)$ from the mean value of the total image.

It is observed that the correlation between neighboring spectral bands are generally higher than for bands further apart. Partitioning is performed based on the results obtained by first considering only correlations whose absolute value exceeds a given threshold, and simultaneously searching for edges in the “image” of the correlation matrix [20]. Each value of the correlation matrix is compared with a threshold (correlation). If the magnitude is greater than the threshold value (i.e., denoted by $\Theta$ ), then replace it by 1 ; otherwise by 0 . The value of $\Theta$ has been determined depending on the value of average correlation $\left(\mu_{c a r r}\right)$ and standard deviation $\left(\sigma_{c a r r}\right)$ of correlation matrix $\Gamma$ as
$$
\Theta=\mu_{\text {corr }}+\sigma_{\text {corr }}
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Kernel Principal Component Analysis

PCA, basically, rotates the original axes, so that the new coordinate system aligns with the orientation of maximum variability of data. Rotation is a linear transformation and the new coordinate axes are then a linear combination of the original axes. So, PCA as a linear algorithm is inadequate to extract the non linear structures of the data. Also, PCA only considers variance between patterns which is a second order statistics, that may limit the effectiveness of the method. So, a non-linear version of PCA is considered, which is called kernel PCA (KPCA). It is capable of capturing

a part of higher order statistics. So it is useful for representing the information from the original data set which is more useful to discriminate among themselves.

Kernel principal component analysis [22], a nonlinear version of the PCA is capable of capturing a part of higher order statistics, which may represent the information in a better way from the original data set to reduced data set [25]. This technique is used for reducing the dimensionality of hyperspectral images. Here, the data of the input space $\Re^{D}$ is mapped into another space, called feature space $F$, to capture higher-order statistics. A non-linear mapping function $\Phi$ is used to transfer the data from input feature space to a new feature space by
$$
\begin{gathered}
\Phi: \mathfrak{R}^{D} \rightarrow F \
x \rightarrow \Phi(x)
\end{gathered}
$$
The non-linear function $\Phi$ transforms a pattern $x$ from $D$-dimensional input space to another feature space $F$. The covariance matrix in this feature space is calculated as
$$
\Sigma_{\Phi(x)}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \Phi\left(x_{i}\right) \Phi\left(x_{i}\right)^{T}
$$
The principal components are then computed by solving the eigenvalue problem
$$
\lambda V=\Sigma_{\Phi(x)} V=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\Phi\left(x_{i}\right) \cdot V\right) \Phi\left(x_{i}\right) .
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Clustering Oriented Kernel Principal Component

The clustering oriented KPCA based feature extraction method [26] performs kernel principal component analysis to transform the original data set of dimension $D$ into $d$ dimensional space. The KPCA is non linear in nature and uses higher order statistics of data set to discriminate the classes. The most important thing is to select the proper training set for calculating kernel matrix for KPCA. A randomly selected training pattern may not represent the overall data set properly. Also, it should not be too large so that the method becomes computationally prohibitive. So, a proper subset of original hyperspectral data set which can represent the total data set properly should be selected and this training set should not contain any noisy data. DBSCAN clustering technique is used for choosing the proper representative training set. In this section, selection of $N$ representative patterns using DBSCAN clustering technique is described and then discuss about the KPCA based transformation using these data.
KPCA shares the same properties as the PCA, but in a different space. Both PCA and KPCA need to solve eigenvalue problem, but the dimensions of the problem are different, $D \times D$ for PCA and $N \times N$ for KPCA, where $D$ is the dimensions of data set and $N$ is number of representative patterns required to calculate kernel matrix $\Psi$. The size of the matrix becomes problematic for large $N$. Number of pixel points $(N)$ in hyperspectral images is huge, so it is difficult to perform KPCA by taking all the pixels. If some percentage of total pixels are selected randomly, then the selected pixels may not represent the characteristics of total data. So, it is better to make small group of pixels according to their similarity, and then take some representative pixels from each group to make the representative pattern set for KPCA.

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主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Segmented Principal Component Analysis

在高光谱图像中,相邻光谱波段之间的相关性通常高于相距较远的波段。如果对传统的基于 PCA 的方法进行修改,使得通过避免高相关块之间的低相关性来进行转换,将提高 PCA 的效率。此外,计算负荷是高光谱数据转换的主要考虑因素,即转换完整数据集效率低下。因此,分段主成分分析应运而生。

在该方案[20]中,根据高光谱图像相邻特征的相关性,首先将完整的数据集划分为几个子组。高度相关的特征被选为子组。然后,对每个数据子组分别进行基于 PCA 的转换。

一开始,D高光谱图像的波段数被划分为几个具有恒定强度的连续间隔(即,ķ亚组)。高度相关的波段应该在一个子组中。让我1,我2,…,我ķ, 是频带的数量1s吨,2nd, 和ķ组,相应地。目的是获得一组ķ断点P=\left{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{K}\right}P=\left{p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{K}\right},它定义了连续的区间我ķ=[pķ,pķ+1). 分区应遵循每个频带应在一个块内的原则。

让Γ是大小的相关矩阵D×D, 在哪里D是高光谱图像中存在的波段数。的每个元素Γ是C一世j, 在哪里C一世j表示波段图像之间的相关性乙一世和乙j. 设每个波段图像的大小为米×ñ. 之间的相关系数乙一世和乙j定义为

C一世,j=ΣX=1米Σ是=1ñ|乙一世(X,是)−μ一世||乙j(X,是)−μj|(ΣX=1米Σ是=1ñ[乙一世(X,是)−μ一世]2)(ΣX=1米Σ是=1ñ[乙j(X,是)−μj]2)
在哪里μ一世和μj是波段图像的平均值乙一世和乙j, 分别。|乙一世(X,是)−μ一世|测量像素的反射率值之间的差异(X,是)从整个图像的平均值。

据观察,相邻光谱带之间的相关性通常高于相距较远的波段。分区是基于首先只考虑绝对值超过给定阈值的相关性获得的结果执行的,同时在相关性矩阵的“图像”中搜索边缘[20]。相关矩阵的每个值都与一个阈值(相关)进行比较。如果幅度大于阈值(即,表示为θ),然后将其替换为 1 ;否则为 0 。的价值θ已根据平均相关性的值确定(μC一个rr)和标准差(σC一个rr)相关矩阵Γ作为

θ=μ更正 +σ更正 

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Kernel Principal Component Analysis

PCA 基本上旋转原始轴,以便新坐标系与数据最大可变性的方向对齐。旋转是一种线性变换,新的坐标轴是原始坐标轴的线性组合。因此,PCA 作为一种线性算法不足以提取数据的非线性结构。此外,PCA 仅考虑模式之间的方差,这是二阶统计量,这可能会限制方法的有效性。因此,考虑了 PCA 的非线性版本,称为内核 PCA (KPCA)。它能够捕捉

高阶统计的一部分。因此,它对于表示来自原始数据集的信息很有用,这对于区分它们更有用。

核主成分分析 [22] 是 PCA 的非线性版本,能够捕获一部分高阶统计数据,这可能以更好的方式表示从原始数据集到简化数据集的信息 [25]。该技术用于降低高光谱图像的维数。这里,输入空间的数据ℜD被映射到另一个空间,称为特征空间F, 以捕获高阶统计数据。非线性映射函数披用于将数据从输入特征空间转移到新的特征空间

披:RD→F X→披(X)
非线性函数披转换模式X从D维输入空间到另一个特征空间F. 该特征空间中的协方差矩阵计算为

Σ披(X)=1ñ∑一世=1ñ披(X一世)披(X一世)吨
然后通过求解特征值问题来计算主成分

λ在=Σ披(X)在=1ñ∑一世=1ñ(披(X一世)⋅在)披(X一世).

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Clustering Oriented Kernel Principal Component

面向聚类的基于 KPCA 的特征提取方法 [26] 进行核主成分分析以变换维度的原始数据集D进入d维空间。KPCA 本质上是非线性的,它使用数据集的高阶统计来区分类别。最重要的是选择合适的训练集来计算 KPCA 的核矩阵。随机选择的训练模式可能无法正确表示整个数据集。此外,它不应太大,以免该方法在计算上变得过于昂贵。因此,应选择能够正确表示整个数据集的原始高光谱数据集的适当子集,并且该训练集不应包含任何噪声数据。DBSCAN 聚类技术用于选择合适的代表性训练集。在本节中,选择ñ描述了使用 DBSCAN 聚类技术的代表性模式,然后讨论了使用这些数据的基于 KPCA 的转换。
KPCA 与 PCA 具有相同的属性,但在不同的空间中。PCA和KPCA都需要求解特征值问题,但是问题的维度不同,D×D对于 PCA 和ñ×ñ对于 KPCA,其中D是数据集的维度和ñ是计算核矩阵所需的代表性模式数Ψ. 矩阵的大小对于大型ñ. 像素点数(ñ)在高光谱图像中是巨大的,因此很难通过取所有像素来执行 KPCA。如果随机选择总像素的某个百分比,则选择的像素可能不代表总数据的特征。因此,最好根据它们的相似性制作一小组像素,然后从每组中取出一些具有代表性的像素来制作KPCA的代表模式集。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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