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主成分分析（PCA）是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程，有时只使用前几个主成分，而忽略其余部分。
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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Sparse PCA via Rotation and Truncation
SPCArt was motivated by the Eckart-Young theorem [6]. This theorem considers the problem of approximating a matrix by the product of two low-rank matrices.
Theorem 1 (Eckart-Young Theorem) Assume the $S V D$ of a matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times p}$ is $A=U \Sigma V^{T}$, where $U \in \mathbb{R}^{n \times m}, m \leq \min {n, p}, \Sigma \in \mathbb{R}^{m \times m}$ is diagonal with
$\Sigma_{11} \geq \Sigma_{22} \geq \cdots \geq \Sigma_{m m}$, and $V \in \mathbb{R}^{p \times m}$. A rank-r $(r \leq m)$ approximation of $A$ is to solve the following problem:
$$
\min {Y, X}\left|A-Y X^{T}\right|{F}^{2}, \text { s.t. } X^{T} X=I,
$$
where $Y \in \mathbb{R}^{n \times r}$, and $X \in \mathbb{R}^{p \times r} .$ A solution is
$$
X^{}=V_{1: r}, Y^{}=A X^{} $$ where $V_{1: r}$ is the first $r$ columns of $V$. Alternatively, the solution can be expressed as $$ Y^{}=U_{1 r} \Sigma_{1: r,}, X^{}=\operatorname{Polar}\left(A^{T} Y^{}\right),
$$
where Polar( ) is the orthonormal component of the polar decomposition [13]. From the SVD perspective, its equivalent definition is provided in Table $2 .$
Note that if $A$ is a mean-removed data matrix with $n$ samples, then $V_{1: r}$ are the loadings obtained by PCA. Clearly, $X^{}=V_{1: r} R$ and $Y^{}=A X^{*}=U_{1: r} \Sigma_{1: r} R$ are also a solution of (1), $\forall$ rotation matrix $R$. This implies that any rotation of the $r$ orthonormal leading eigenvectors, $V_{1: r}$, is a solution of the best rank- $r$ approximation of $A$. That is, any orthonormal basis in the corresponding eigensubspace is capable of representing the original data distribution as well as the original basis. Thus, a natural idea for sparse $\mathrm{PCA}$ is to find a rotation matrix, $R$, so that $X=V_{1 s} R$ becomes sparse, i.e.,
$$
\min {R \in \mathbb{R}{r \times r}}\left|V_{1: r} R\right|_{0}, s . t . R^{T} R=I,
$$
where $|$ – $|_{0}$ denotes the sum of $\ell_{0}$ (pseudo) norm of the columns of a matrix, i.e., the count of non-zeros of a matrix.
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Objective and Optimization
Unfortunately, the above problem is difficult to solve, so SPCArt approximates it. Since $X=V_{1 r} R \Leftrightarrow V_{1: r}=X R^{T}$, SPCArt wants to find a rotation matrix, $R$, through which a sparse basis, $X$, approximates the PCA loadings. Without confusion, we use $V$ to denote $V_{1: r}$ hereafter. Let us first consider the $\ell_{1}$ version:
$$
\begin{aligned}
&\min {X, R} \frac{1}{2}|V-X R|{F}^{2}+\lambda \sum_{i}\left|X_{i}\right|_{1}, \
&\text { s.t. } \forall i,\left|X_{i}\right|_{2}=1, R^{T} R=I,
\end{aligned}
$$
where $|\cdot|_{1}$ is the $\ell_{1}$ norm of a vector, i.e., the sum of absolute values. The $\ell_{0}$ version will be introduced in the next section. It is well-known that $\ell_{1}$ norm is sparsity inducing, which is a convex surrogate of the $\ell_{0}$ norm [5]. Under this objective, the solution may not be orthogonal, and may deviate from the eigensubspace spanned by $V$. However, if the approximation is accurate enough, i.e., $V \approx X R$, then $X \approx V R^{T}$ would be nearly orthogonal and explain similar variance as $V$. Note that the above objective turns out to be a matrix approximation problem of the EckartYoung theorem. The key difference is that a sparsity penalty is added, but the solutions still share some common features.
There are no closed-form solutions for $R$ and $X$ simultaneously. To find a local minimum, SPCArt solves the problem by fixing one and optimizing the other alternately, i.e., the block coordinate descent [23]. Fortunately, both subproblems have closed-form solutions.
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Fixing R and Solving X
When $R$ is fixed, it becomes
$$
\min {X} \frac{1}{2}\left|V R^{T}-X\right|{F}^{2}+\lambda \sum_{i}\left|X_{i}\right|_{1}, \text { s.t. } \forall i,\left|X_{i}\right|_{2}=1 .
$$
There are $r$ independent subproblems, one for each column: $\min {X{i}} 1 / 2\left|Z_{i}-X_{i}\right|_{2}^{2}+$ $\lambda\left|X_{i}\right|_{1}$, s.t. $\left|X_{i}\right|_{2}=1$, where $Z=V R^{T}$. It is equivalent to $\max {X{i}} Z_{i}^{T} X_{i}-\lambda$ $\left|X_{i}\right|_{1}$, s.t. $\left|X_{i}\right|_{2}=1$. The solution is $X_{i}^{*}=S_{\lambda}\left(Z_{i}\right) /\left|S_{\lambda}\left(Z_{i}\right)\right|_{2}[13]$. $S_{\lambda}(\cdot)$ is the entry-wise soft thresholding, defined in Table 2 . This is the truncation type T- $\ell_{1}$, i.e., soft thresholding.
The solution has the following physical explanations. $Z$ contains the rotated PCA loadings, so it is orthonormal. $X$ is obtained via truncating small entries of $Z$. On one hand, because of the unit length of each column in $Z$, a single threshold $0 \leq \lambda<1$ is feasible to make the sparsity distribute evenly among the columns in $X$; otherwise we have to apply different thresholds for different columns, which would be difficult to determine. On the other hand, because of the orthogonality of $Z$ and small truncations, $X$ is still possible to be nearly orthogonal. These are the most distinctive features of SPCArt, which enable simple analysis and parameter setting.
The algorithm of SPCArt is presented in Algorithm 1, where the truncation in line 7 can be any type, including $\mathrm{T}-\ell_{1}$ and the others that will be introduced in next section.
The computational complexity of SPCArt is shown in Table 1. Except for the computational cost of PCA loadings, SPCArt scales linearly with the data dimension. When the number of loadings is not too large, it is efficient.
主成分分析代考
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Sparse PCA via Rotation and Truncation
SPCArt 受到 Eckart-Young 定理 [6] 的启发。该定理考虑了通过两个低秩矩阵的乘积来逼近矩阵的问题。
定理 1 (Eckart-Young Theorem) 假设小号在D矩阵的一个∈Rn×p是一个=在Σ在吨， 在哪里在∈Rn×米,米≤分钟n,p,Σ∈R米×米是对角线
Σ11≥Σ22≥⋯≥Σ米米， 和在∈Rp×米. 秩-r(r≤米)的近似值一个是解决以下问题：
分钟是,X|一个−是X吨|F2, 英石 X吨X=我,
在哪里是∈Rn×r， 和X∈Rp×r.一个解决方案是
X=在1:r,是=一个X在哪里在1:r是第一个r列在. 或者，解决方案可以表示为
是=在1rΣ1:r,,X=极性(一个吨是),
其中 Polar(·) 是极分解的正交分量 [13]。从 SVD 的角度来看，其等效定义见表2.
请注意，如果一个是一个均值去除的数据矩阵n样品，然后在1:r是 PCA 获得的载荷。清楚地，X=在1:rR和是=一个X∗=在1:rΣ1:rR也是 (1) 的解，∀旋转矩阵R. 这意味着任何旋转r正交主要特征向量，在1:r, 是最佳等级的解决方案-r的近似值一个. 也就是说，相应特征子空间中的任何正交基都能够表示原始数据分布以及原始基。因此，稀疏的一个自然想法磷C一个就是找一个旋转矩阵，R， 以便X=在1sR变得稀疏，即
分钟R∈Rr×r|在1:rR|0,s.吨.R吨R=我,
在哪里| – |0表示总和ℓ0（伪）矩阵列的范数，即矩阵的非零数。
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Objective and Optimization
不幸的是，上述问题很难解决，因此 SPCArt 对其进行了近似。自从X=在1rR⇔在1:r=XR吨, SPCArt 想找一个旋转矩阵,R，通过它一个稀疏的基础，X，近似于 PCA 载荷。没有混淆，我们使用在表示在1:r此后。让我们首先考虑ℓ1版本：
分钟X,R12|在−XR|F2+λ∑一世|X一世|1, 英石 ∀一世,|X一世|2=1,R吨R=我,
在哪里|⋅|1是个ℓ1向量的范数，即绝对值之和。这ℓ0版本将在下一节介绍。众所周知，ℓ1norm 是稀疏诱导的，它是ℓ0规范 [5]。在这个目标下，解可能不是正交的，并且可能偏离由在. 但是，如果近似值足够准确，即在≈XR， 然后X≈在R吨几乎是正交的，并解释类似的方差在. 请注意，上述目标是 EckartYoung 定理的矩阵逼近问题。关键区别在于添加了稀疏惩罚，但解决方案仍然具有一些共同特征。
没有封闭形式的解决方案R和X同时。为了找到一个局部最小值，SPCArt 通过固定一个并交替优化另一个来解决这个问题，即块坐标下降[23]。幸运的是，这两个子问题都有封闭形式的解决方案。
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Fixing R and Solving X
什么时候R是固定的，它变成
分钟X12|在R吨−X|F2+λ∑一世|X一世|1, 英石 ∀一世,|X一世|2=1.
有r独立的子问题，每列一个：分钟X一世1/2|从一世−X一世|22+ λ|X一世|1， 英石|X一世|2=1， 在哪里从=在R吨. 它相当于最大限度X一世从一世吨X一世−λ |X一世|1， 英石|X一世|2=1. 解决方案是X一世∗=小号λ(从一世)/|小号λ(从一世)|2[13]. 小号λ(⋅)是逐项软阈值，在表 2 中定义。这是截断类型 T-ℓ1，即软阈值。
该解决方案有以下物理解释。从包含旋转的 PCA 载荷，因此它是正交的。X是通过截断的小条目获得的从. 一方面，由于每列的单位长度从, 单个阈值0≤λ<1使稀疏度在列之间均匀分布是可行的X; 否则我们必须对不同的列应用不同的阈值，这很难确定。另一方面，由于正交性从和小截断，X仍然可能是几乎正交的。这些是 SPCArt 最显着的特点，可以进行简单的分析和参数设置。
SPCArt 的算法在算法 1 中给出，其中第 7 行的截断可以是任何类型，包括吨−ℓ1以及将在下一节中介绍的其他内容。
SPCArt 的计算复杂度如表 1 所示。除了 PCA 加载的计算成本外，SPCArt 与数据维度呈线性关系。当加载的数量不太大时，它是有效的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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