统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Location and Simple Linear Models

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似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。

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Ridge and Lasso Regression - Andrea Perlato
统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Location and Simple Linear Models

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Location Model

In this section, we introduce two basic penalty estimators, namely, the ridge regression estimator (RRE) and the least absolute shrinkage and selection operator (LASSO) estimator for the location parameter of a distribution. The penalty estimators have become viral in statistical literature. The subject evolved as the solution to ill-posed problems raised by Tikhonov (1963) in mathematics. In 1970 , Hoerl and Kennard applied the Tikhonov method of solution to obtain the $R R E$ for linear models. Further, we compare the estimators with the LSE in terms of $\mathrm{L}_{2}$-risk function.

Consider the simple location model,
$$
Y=\theta \mathbf{1}{n}+\boldsymbol{\epsilon}, \quad n>1, $$ where $Y=\left(Y{1}, \ldots, Y_{n}\right)^{\top}, \mathbf{1}{n}=(1, \ldots, 1)^{\top}=n$-tuple of 1’s, and $\boldsymbol{\epsilon}=\left(\varepsilon{1}, \ldots, \epsilon_{n}\right)^{\top}$ $n$-vector of i.i.d. random errors such that $\mathbb{E}(\boldsymbol{\epsilon})=\mathbf{0}$ and $\mathbb{E}\left(\boldsymbol{\epsilon} \boldsymbol{\epsilon}^{\top}\right)=\sigma^{2} \boldsymbol{I}{n}, \boldsymbol{I}{n}$ is the identity matrix of rank $n(n \geq 2), \theta$ is the location parameter, and, in this case, $\sigma^{2}$ may be unknown.
The LSE of $\theta$ is obtained by
$$
\min {\theta}\left{\left(Y-\theta \mathbf{1}{n}\right)^{\top}\left(\boldsymbol{Y}-\theta \mathbf{1}{n}\right)\right}=\tilde{\theta}{n}=\frac{1}{n} \mathbf{1}{n}^{\top} \boldsymbol{Y}=\bar{y} . $$ Alternatively, it is possible to minimize the log-likelihood function when the errors are normally distributed: $$ l(\theta)=-n \log \sigma+\frac{n}{2} \log (2 \pi)-\frac{1}{2}\left(Y-\theta \mathbf{1}{n}\right)^{\top}\left(\boldsymbol{Y}-\theta \mathbf{1}{n}\right), $$ giving the same solution (2.4) as in the case of LSE. It is known that the $\ddot{\theta}{n}$ is unbiased, i.e. $\mathbb{E}\left(\tilde{\theta}{n}\right)=\theta$ and the variance of $\tilde{\theta}{n}$ is given by
$$
\operatorname{Var}\left(\tilde{\theta}{n}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n} . $$ The unbiased estimator of $\sigma^{2}$ is given by $$ s{n}^{2}=(n-1)^{-1}\left(Y-\tilde{\theta}{n} \mathbf{1}{n}\right)^{\top}\left(Y-\tilde{\theta}{n} \mathbf{1}{n}\right) .
$$
The mean squared error (MSE) of $\theta_{n}^{}$, any estimator of $\theta$, is defined as $$ \operatorname{MSE}\left(\theta_{n}^{}\right)=\mathbb{E}\left(\theta_{n}^{*}-\theta\right)^{2} .
$$
Test for $\theta=0$ when $\sigma^{2}$ is known:
For the test of null-hypothesis $\mathcal{H}{\mathrm{o}}: \theta=0$ vs. $\mathcal{H}{\mathrm{A}}: \theta \neq 0$, we use the test statistic
$$
Z_{n}=\frac{\sqrt{n} \tilde{\theta}_{n}}{\sigma}
$$

Under the assumption of normality of the errors, $Z_{n} \sim \mathcal{N}(\Delta, 1)$, where $\Delta=\frac{\sqrt{n} \theta}{\sigma}$. Hence, we reject $\mathcal{H}{\mathrm{o}}$ whenever $\left|Z{n}\right|$ exceeds the threshold value from the null distribution. An interesting threshold value is $\sqrt{2 \log 2}$.

For large samples, when the distribution of errors has zero mean and finite variance $\sigma^{2}$, under a sequence of local alternatives,
$$
\mathcal{K}{(n)}: \theta{(n)}=n^{-\frac{1}{2}} \delta, \quad \delta \neq 0,
$$
and assuming $\mathbb{E}\left(\epsilon_{j}\right)=0$ and $\mathbb{E}\left(\epsilon_{j}^{2}\right)=\sigma^{2}(<\infty), j=1, \ldots, n$, the asymptotic distribution of $\sqrt{n} \tilde{\theta}{n} / s{n}$ is $\mathcal{N}(\Delta, 1)$. Then the test procedure remains the same as before.

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考| Shrinkage Estimation of Location

In this section, we consider a shrinkage estimator of the location parameter $\theta$ of the form
$$
\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}(c)=c \tilde{\theta}{n}, \quad 0 \leq c \leq 1,
$$
where $\tilde{\theta}{n} \sim \mathcal{N}\left(\theta, \sigma^{2} / n\right)$. The bias and the $\operatorname{MSE}$ of $\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}(c)$ are given by
$$
\begin{aligned}
\mathrm{b}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}(c)\right) &=\mathbb{E}\left[c \tilde{\theta}{n}\right]-\theta=c \theta-\theta=-(1-c) \theta \
\operatorname{MSE}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}(c)\right) &=c^{2} \frac{\sigma^{2}}{n}+(1-c)^{2} \theta^{2} \end{aligned} $$ Minimizing $\operatorname{MSE}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}(c)\right)$ w.r.t. $c$, we obtain
$$
c^{}=\frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}, \quad \Delta^{2}=\frac{n \theta^{2}}{\sigma^{2}} $$ So that $$ \operatorname{MSE}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}\left(c^{}\right)\right)=\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}} .
$$
Thus, $\operatorname{MSE}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}\left(c^{}\right)\right)$ is an increasing function of $\Delta^{2} \geq 0$ and the relative efficiency (REff) of $\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}\left(c^{}\right)$ compared to $\tilde{\theta}{n}$ is
$$
\operatorname{REff}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}\left(c^{}\right) ; \tilde{\theta}{n}\right)=1+\frac{1}{\Delta^{2}}, \quad \Delta^{2} \geq 0 .
$$
Further, the MSE difference is
$$
\frac{\sigma^{2}}{n}-\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{1}{1+\Delta^{2}} \geq 0, \quad \forall \Delta^{2} \geq 0 .
$$
Hence, $\hat{\theta}{n}^{\text {Shrinkage }}\left(c^{}\right)$ outperforms the $\tilde{\theta}{n}$ uniformly.

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Ridge Regression–Type Estimation of Location Parameter

Consider the problem of estimating $\theta$ when one suspects that $\theta$ may be 0 . Then following Hoerl and Kennard (1970), if we define
$$
\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)=\operatorname{argmin}{\theta}\left{\left|Y-\theta \mathbf{1}{n}\right|^{2}+n k \theta^{2}\right}, \quad k \geq 0 . $$ Then, we obtain the ridge regression-type estimate of $\theta$ as $$ n \theta+n k \theta=n \tilde{\theta}{n}
$$
or
$$
\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)=\frac{\tilde{\theta}{n}}{1+k}
$$
Note that it is the same as taking $c=1 /(1+k)$ in (2.8).
Hence, the bias and MSE of $\theta_{n}^{\mathrm{R}}(k)$ are given by
$$
b\left(\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)\right)=-\frac{k}{1+k} \theta $$ and $$ \begin{aligned} \operatorname{MSE}\left(\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)\right) &=\frac{\sigma^{2}}{n(1+k)^{2}}+\frac{k^{2} \theta^{2}}{(1+k)^{2}} \
&=\frac{\sigma^{2}}{n(1+k)^{2}}\left(1+k^{2} \Delta^{2}\right)
\end{aligned}
$$
It may be seen that the optimum value of $k$ is $\Delta^{-2}$ and MSE at (2.18) equals
$$
\frac{\sigma^{2}}{n}\left(\frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}\right)
$$
Further, the MSE difference equals
$$
\frac{\sigma^{2}}{n}-\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{1}{1+\Delta^{2}} \geq 0,
$$
which shows $\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}\left(\Delta^{-2}\right)$ uniformly dominates $\tilde{\theta}{n}$.
The REff of $\theta_{n}^{\mathrm{R}}\left(\Delta^{-2}\right)$ is given by
$$
\operatorname{REff}\left(\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}\left(\Delta^{-2}\right): \tilde{\theta}{n}\right)=1+\frac{1}{\Delta^{2}} .
$$

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Location and Simple Linear Models

似然估计代考

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Location Model

在本节中,我们介绍了两个基本的惩罚估计器,即岭回归估计器(RRE)和用于分布位置参数的最小绝对收缩和选择算子(LASSO)估计器。惩罚估计器已经在统计文献中流行起来。该主题演变为对 Tikhonov (1963) 在数学中提出的不适定问题的解决方案。1970 年,Hoerl 和 Kennard 应用 Tikhonov 解法得到RR和对于线性模型。此外,我们将估计量与 LSE 在以下方面进行比较大号2-风险函数。

考虑简单的位置模型,
是=θ1n+ε,n>1,在哪里是=(是1,…,是n)⊤,1n=(1,…,1)⊤=n- 1 的元组,和ε=(e1,…,εn)⊤ n-iid 随机误差向量,使得和(ε)=0和和(εε⊤)=σ2一世n,一世n是秩的单位矩阵n(n≥2),θ是位置参数,在这种情况下,σ2可能是未知数。
伦敦证交所θ由获得
\min {\theta}\left{\left(Y-\theta \mathbf{1}{n}\right)^{\top}\left(\boldsymbol{Y}-\theta \mathbf{1}{n }\right)\right}=\tilde{\theta}{n}=\frac{1}{n} \mathbf{1}{n}^{\top} \boldsymbol{Y}=\bar{y} .\min {\theta}\left{\left(Y-\theta \mathbf{1}{n}\right)^{\top}\left(\boldsymbol{Y}-\theta \mathbf{1}{n }\right)\right}=\tilde{\theta}{n}=\frac{1}{n} \mathbf{1}{n}^{\top} \boldsymbol{Y}=\bar{y} .或者, 当误差呈正态分布时,可以最小化对数似然函数:l(θ)=−n日志⁡σ+n2日志⁡(2圆周率)−12(是−θ1n)⊤(是−θ1n),给出与 LSE 相同的解(2.4)。据了解,θ¨n是无偏的,即和(θ~n)=θ和方差θ~n是(谁)给的
曾是⁡(θ~n)=σ2n.的无偏估计量σ2是(谁)给的sn2=(n−1)−1(是−θ~n1n)⊤(是−θ~n1n).
均方误差 (MSE)θn, 的任何估计量θ, 定义为MSE⁡(θn)=和(θn∗−θ)2.
测试θ=0什么时候σ2已知:
用于零假设检验H这:θ=0对比H一种:θ≠0,我们使用检验统计量
从n=nθ~nσ

在误差正常的假设下,从n∼ñ(Δ,1), 在哪里Δ=nθσ. 因此,我们拒绝 $\mathcal{H} {\mathrm{o}}在H和n和在和r\left|Z {n}\right|和XC和和ds吨H和吨Hr和sH这ld在一种l在和Fr这米吨H和n在lld一世s吨r一世b在吨一世这n.一种n一世n吨和r和s吨一世nG吨Hr和sH这ld在一种l在和一世s\sqrt{2 \log 2}$。

对于大样本,当误差分布具有零均值和有限方差时σ2,在一系列局部替代方案下,
ķ(n):θ(n)=n−12d,d≠0,
并假设和(εj)=0和和(εj2)=σ2(<∞),j=1,…,n, 的渐近分布nθ~n/sn是ñ(Δ,1). 然后测试过程与以前相同。

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考| Shrinkage Estimation of Location

在本节中,我们考虑位置参数的收缩估计器θ形式为
$$
\hat{\theta} {n}^{\text {收缩}}(c)=c \tilde{\theta} {n}, \quad 0 \leq c \leq 1,
在H和r和$θ~n∼ñ(θ,σ2/n)$.吨H和b一世一种s一种nd吨H和$MSE⁡$这F$θ^n收缩 (C)$一种r和G一世在和nb是
b(θ^n收缩 (C))=和[Cθ~n]−θ=Cθ−θ=−(1−C)θ MSE⁡(θ^n收缩 (C))=C2σ2n+(1−C)2θ2米一世n一世米一世和一世nG$MSE⁡(θ^n收缩 (C))$在.r.吨.$C$,在和这b吨一种一世n
c^{}=\frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}, \quad \Delta^{2}=\frac{n \theta^{2}}{\sigma^ {2}}小号这吨H一种吨\operatorname{MSE}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {收缩}}\left(c^{}\right)\right)=\frac{\sigma^{2}}{ n} \frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}} 。
吨H在s,$MSE⁡(θ^n收缩 (C))$一世s一种n一世nCr和一种s一世nGF在nC吨一世这n这F$Δ2≥0$一种nd吨H和r和l一种吨一世在和和FF一世C一世和nC是(R和FF)这F$θ^n收缩 (C)$C这米p一种r和d吨这$θ~n$一世s
\operatorname{REff}\left(\hat{\theta}{n}^{\text {收缩 }}\left(c^{}\right) ; \tilde{\theta}{n}\right)=1 +\frac{1}{\Delta^{2}}, \quad \Delta^{2} \geq 0 。
F在r吨H和r,吨H和米小号和d一世FF和r和nC和一世s
\frac{\sigma^{2}}{n}-\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{\Delta^{2}}{1+\Delta^{2}}=\frac {\sigma^{2}}{n} \frac{1}{1+\Delta^{2}} \geq 0, \quad \forall \Delta^{2} \geq 0 。
$$
因此,θ^n收缩 (C)优于θ~n均匀地。

统计代写|似然估计作业代写Probability and Estimation代考|Ridge Regression–Type Estimation of Location Parameter

考虑估计问题θ当有人怀疑θ可能是 0 。然后按照 Hoerl 和 Kennard (1970),如果我们定义
\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)=\operatorname{argmin}{\theta}\left{\left|Y-\theta \mathbf{1}{n}\right |^{2}+n k \theta^{2}\right}, \quad k \geq 0 。\tilde{\theta}{n}^{\mathrm{R}}(k)=\operatorname{argmin}{\theta}\left{\left|Y-\theta \mathbf{1}{n}\right |^{2}+n k \theta^{2}\right}, \quad k \geq 0 。然后,我们得到岭回归型估计θ作为nθ+nķθ=nθ~n
或者
θ~nR(ķ)=θ~n1+ķ
请注意,它与采取相同C=1/(1+ķ)在(2.8)中。
因此,偏差和 MSEθnR(ķ)由
b(θ~nR(ķ))=−ķ1+ķθ和MSE⁡(θ~nR(ķ))=σ2n(1+ķ)2+ķ2θ2(1+ķ)2 =σ2n(1+ķ)2(1+ķ2Δ2)
可以看出,最优值ķ是Δ−2(2.18) 处的 MSE 等于
σ2n(Δ21+Δ2)
此外,MSE 差异等于
σ2n−σ2nΔ21+Δ2=σ2n11+Δ2≥0,
这表明θ~nR(Δ−2)一致支配θ~n.
的 REFFθnR(Δ−2)是(谁)给的
REff⁡(θ~nR(Δ−2):θ~n)=1+1Δ2.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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