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复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构成的网络结构。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Mapping the Problem
Common to all of the before-mentioned approaches is their attempt to discover patterns in the link structure of networks. Patterns were either block structures in the adjacency matrix or-more specifically-cohesive subgroups. We will try to define a quality function for block structure in networks and optimize the ordering of rows and columns of the matrix as to maximize the quality of the blocking. The search for cohesive subgroups will prove to be a special case of this treatment. It makes sense to require that our quality function will be independent of the order of rows and columns within one block. It will depend only on the assignment of nodes, i.e., rows and columns, into blocks. Finding a good assignment into blocks is hence a combinatorial optimization problem. In many cases, it is possible to map such a combinatorial optimization problem onto minimizing the energy of a spin system [1]. This approach had been suggested for the first time by Fu and Anderson in 1986 [2] in the context of bi-partitioning of graphs and it has been applied successfully to other problems such as vertex cover [3], k-sat [4], the traveling salesmen [5] and many others as well.
Before introducing such a quality function, it is instructive to leave the field of networks for a moment and take a detour into the dimensionality reduction of multivariate data.
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Dimensionality Reduction with Minimal Squared Error
Suppose we are given a set of real valued measurements of some objects. As an example, for all boats in a marina, we measure length over all, width, height of the mast, the area of the sail, power of the engine, length of the waterline, and so forth. Let $N$ be the number of measurements, i.e., the number of boats in the marina, and let the measurements be vectors of dimension $d$, i.e., the number of things we have measured. We compile our measurements into a
data matrix $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times d}$, i.e., we write the individual measurement vectors as the rows of matrix A. Let us further assume that we have already subtracted the mean across all measurements from each individual sample such that the columns of A sum to zero, i.e., we have centered our data.
Now we see that $\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}$ is a $d \times d$ matrix describing the covariance of the individual dimensions in which we measured our data.
We now ask if we can drop some of the $d$ dimensions and still describe our data well. Naturally, we want to drop those dimensions in which our data do not vary much or we would like to replace two dimensions which are correlated by a single dimension. We can discard the unnecessary dimensions by projecting our data from the $d$-dimensional original space in a lower dimensional space of dimension $q<d$. Such a projection can be achieved by a matrix $\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{d \times q}$. Taking measurement $\mathbf{a}{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}^{d}$ from row $i$ of $\mathbf{A}$. we find the coordinates in the new space to be $\mathbf{b}{\mathrm{i}}=\mathbf{a}{\mathrm{i}} \mathbf{V}$ with $\mathbf{b}{\mathrm{i}} \in \mathbb{R}^{q}$. We can also use the transpose of $\mathbf{V}$ to project back into the original space of dimension $d$ via $\mathbf{a}{\mathrm{i}}^{\prime}=\mathbf{b}{\mathrm{i}} \mathbf{V}^{T}$. Since in the two projections we have visited a lower dimensional space, we find that generally the reconstructed data point does not coincide with the original datum $\mathbf{a}{\mathbf{i}} \mathbf{V V}^{T}=\mathbf{a}{\mathbf{i}}^{\prime} \neq \mathbf{a}_{\mathbf{i}}$.
However, if we would have first started in the $q$-dimensional space with $\mathbf{b}{\mathrm{i}}$ and projected it into the $d$-dimensional space via $\mathbf{V}^{T}$ and then back again via $V$ we require that our projection does not lose any information and hence $\mathbf{b}{\mathbf{i}} \mathbf{V}^{T} \mathbf{V}=\mathbf{b}_{\mathbf{i}}$. This means that we require $\mathbf{V}^{T} \mathbf{V}=\mathbb{1}$ or in other words we require that our projection matrix $V$ be unitary.
The natural question is now how to find a unitary matrix such that it minimizes some kind of reconstruction error. Using the mean square error, we could write
$$
\begin{aligned}
E \propto \sum_{i}^{N} \sum_{j}^{d}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right){i j}^{2} &=\sum{i}^{N} \sum_{j}^{d}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V V ^ { \mathbf { T } } ) _ { i j } ^ { 2 }}\right.\
&=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V V ^ { T }}\right)^{T}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V V ^ { T }}\right)
\end{aligned}
$$
The new coordinates that we project our data onto are called “principal components” of the data set and the technique of finding them is known as “principal component analysis” or PCA for short. Already at this point, we can mention that the $q$ columns of $V$ must be made of the eigenvectors belonging to the largest $q$ eigenvalues of $\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}$. To show this, we discuss a slightly different problem, solve it and then show that it is equivalent to the above.
Consider the singular value decomposition (SVD) of a matrix of $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times d}$ into a unitary matrix $\mathbf{U} \in \mathbb{R}^{N \times N}$, a diagonal matrix $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{N \times d}$ (in case $N \neq d$ there are maximally $\min (N, d)$ non-zero entries, the number of nonzero entries in $\mathbf{S}$ is the rank of $\mathbf{A})$ and another unitary matrix $\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ such that $\mathbf{A}=\mathbf{U S V}^{T}$ and $\mathbf{S}=\mathbf{U}^{T} \mathbf{A V}$. The entries on the diagonal of $\mathbf{S}$ are called singular values. We will assume that they are ordered decreasing in absolute value. It is straightforward to see some of the properties of this $\mathbf{S V D}: \mathbf{U}^{T} \mathbf{A}=\mathbf{S V}^{T}$ and $\mathbf{A V}=\mathbf{U S}$ follow from the $\mathbf{U}$ and $\mathbf{V}$ being unitary.
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Squared Error for Multivariate Data and Networks
Let us consider in the following the reconstruction of the adjacency matrix of a network $\mathbf{A} \in{0,1}^{N \times N}$ of rank $r$ by another adjacency matrix $\mathbf{B} \in{0,1}^{N \times N}$ possibly of lower rank $q<r$ as before. For the squared error we have
$$
E=\sum_{i j}(\mathbf{A}-\mathbf{B})_{i j}^{2}
$$
Then, there are only four different cases we need to consider in Table 3.1. The squared error gives equal value to the mismatch on the edges and missing edges in A. We could say it weighs every error by its own magnitude. While this is a perfectly legitimate approach for multivariate data, it is, however, highly problematic for networks. The first reason is that many networks are sparse. The fraction of non-zero entries in $\mathbf{A}$ is generally very, very small compared to the fraction of zero entries. A low rank approximation under the squared error will retain this sparsity to the point that $\mathrm{B}$ may be completely zero. Furthermore, we have seen that real networks tend to have a very heterogeneous degree distribution, i.e., the distribution of zeros and ones per row and column in $\mathbf{A}$ is also very heterogeneous. Why give every entry the same weight in the error function? Most importantly, for multivariate data, all entries of $\mathbf{A}_{i j}$ are equally important measurements in principle. For networks this is not the case: the edges are in principle more important than the missing edges. There are fewer of them and they should hence be given more importance than missing edges. Taken all of these arguments together, we see that our first goal will have to be the derivation of an error function specifically tailored for networks that does not suffer from these deficiencies.
复杂网络代写
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Mapping the Problem
所有上述方法的共同点是他们试图发现网络链接结构中的模式。模式要么是邻接矩阵中的块结构，要么是更具体的内聚子组。我们将尝试为网络中的块结构定义一个质量函数，并优化矩阵的行和列的顺序以最大化块的质量。寻找有凝聚力的子群将被证明是这种处理的一个特例。要求我们的质量函数独立于一个块内的行和列的顺序是有意义的。它将仅取决于将节点（即行和列）分配到块中。因此，找到一个好的分配到块中是一个组合优化问题。在很多情况下，可以将这样的组合优化问题映射到最小化自旋系统的能量 [1]。这种方法由 Fu 和 Anderson 在 1986 年 [2] 在图的双向划分的背景下首次提出，并已成功应用于其他问题，例如顶点覆盖 [3]、k-sat [4] ，旅行推销员 [5] 以及许多其他人。
在引入这样的质量函数之前，暂时离开网络领域并绕道研究多元数据的降维是有益的。
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Dimensionality Reduction with Minimal Squared Error
假设我们得到了一些对象的一组实值测量值。例如，对于码头中的所有船只，我们测量总长度、宽度、桅杆高度、帆面积、发动机功率、吃水线长度等。让ñ是测量的数量，即码头中的船只数量，并且让测量是维度的向量d，即我们测量的事物的数量。我们将测量结果编译成
数据矩阵一种∈Rñ×d，即，我们将单独的测量向量写为矩阵 A 的行。让我们进一步假设我们已经从每个单独的样本中减去了所有测量值的平均值，使得 A 的列总和为零，即，我们已经将我们的数据。
现在我们看到了一种吨一种是一个d×d矩阵描述了我们测量数据的各个维度的协方差。
我们现在问是否可以放弃一些d维度并且仍然很好地描述了我们的数据。自然地，我们希望删除那些我们的数据变化不大的维度，或者我们希望替换由单个维度相关的两个维度。我们可以通过从d维的低维空间中的维原始空间q<d. 这样的投影可以通过矩阵来实现在∈Rd×q. 进行测量一种一世∈Rd从行一世的一种. 我们发现新空间中的坐标为b一世=一种一世在和b一世∈Rq. 我们也可以使用转置在投射回原来的维度空间d通过一种一世′=b一世在吨. 由于在两个投影中我们访问了较低维空间，我们发现通常重建的数据点与原始数据不重合一种一世在在吨=一种一世′≠一种一世.
但是，如果我们首先从q维空间b一世并将其投影到d维空间通过在吨然后再次通过在我们要求我们的投影不会丢失任何信息，因此b一世在吨在=b一世. 这意味着我们需要在吨在=1或者换句话说，我们要求我们的投影矩阵在是单一的。
现在自然的问题是如何找到一个酉矩阵，以使其最小化某种重构误差。使用均方误差，我们可以写
和∝∑一世ñ∑jd(一种−一种′)一世j2=∑一世ñ∑jd(一种−一种在在吨)一世j2 =Tr(一种−一种在在吨)吨(一种−一种在在吨)
我们将数据投影到的新坐标称为数据集的“主成分”，找到它们的技术称为“主成分分析”或简称 PCA。在这一点上，我们已经可以提到q列在必须由属于最大的特征向量组成q的特征值一种吨一种. 为了证明这一点，我们讨论了一个稍微不同的问题，解决它，然后证明它与上面的等价。
考虑矩阵的奇异值分解 (SVD)一种∈Rñ×d成酉矩阵在∈Rñ×ñ, 对角矩阵小号∈Rñ×d（如果ñ≠d最大有分钟(ñ,d)非零条目，非零条目的数量小号是等级一种)和另一个酉矩阵在∈Rd×d这样一种=在小号在吨和小号=在吨一种在. 对角线上的条目小号称为奇异值。我们将假设它们按绝对值递减顺序排列。很容易看到它的一些属性小号在D:在吨一种=小号在吨和一种在=在小号从在和在是单一的。
统计代写|复杂网络代写complex networks代考|Squared Error for Multivariate Data and Networks
下面让我们考虑网络邻接矩阵的重构一种∈0,1ñ×ñ等级r由另一个邻接矩阵乙∈0,1ñ×ñ可能等级较低q<r像之前一样。对于平方误差，我们有
和=∑一世j(一种−乙)一世j2
那么，在表 3.1 中我们只需要考虑四种不同的情况。平方误差为 A 中边缘和缺失边缘的不匹配提供了相等的值。我们可以说它根据自己的大小来衡量每个错误。虽然这对于多变量数据来说是一种完全合法的方法，但是对于网络来说，它是非常有问题的。第一个原因是许多网络是稀疏的。中非零条目的比例一种与零条目的比例相比，通常非常非常小。平方误差下的低秩近似将保持这种稀疏性乙可能完全为零。此外，我们已经看到，真实网络往往具有非常异构的度分布，即在网络中每行和每列的零和一分布一种也很异类。为什么在误差函数中给每个条目相同的权重？最重要的是，对于多变量数据，所有条目一种一世j原则上是同样重要的测量。对于网络，情况并非如此：原则上，边缘比缺失的边缘更重要。它们的数量较少，因此应该比缺失边缘更重要。综合所有这些论点，我们看到我们的第一个目标必须是推导一个专门为没有这些缺陷的网络量身定制的误差函数。
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。