统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|A Short Excursion into Matrix Algebra

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|A Short Excursion into Matrix Algebra

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Derivatives

For later sections of this book, it will be useful to introduce matrix notation for derivatives of a scalar function of a vector $x$, i.e. $f(x)$, with respect to $x$. Consider $f: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}$ and a $(p \times 1)$ vector $x$, then $\frac{\partial f(x)}{\partial x}$ is the column vector of partial derivatives $\left{\frac{\partial f(x)}{\partial x_{j}}\right}, j=1, \ldots, p$ and $\frac{\partial f(x)}{\partial x T}$ is the row vector of the same derivative $\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right.$ is called the gradient of $\left.f\right)$.

We can also introduce second order derivatives: $\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x \partial x^{\top}}$ is the $(p \times p)$ matrix of elements $\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}, i=1, \ldots, p$ and $j=1, \ldots, p\left(\frac{\partial^{2} f(x)}{\partial x \partial x}\right.$ is called the Hessian of $\left.f\right)$. Suppose that $a$ is a $(p \times 1)$ vector and that $\mathcal{A}=\mathcal{A}^{\top}$ is a $(p \times p)$ matrix. Then
$$
\frac{\partial a^{\top} x}{\partial x}=\frac{\partial x^{\top} a}{\partial x}=a
$$
The Hessian of the quadratic form $Q(x)=x^{\top} \mathcal{A} x$ is:
$$
\frac{\partial^{2} x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x \partial x^{\top}}=2 . \mathcal{A}
$$
Example $2.8$ Consider the matrix
$$
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \
2 & 3
\end{array}\right)
$$

From formulas $(2.24)$ and $(2.25)$ it immediately follows that the gradient of $Q(x)=$ $x^{\top} \mathcal{A} x$ is
$$
\frac{\partial x^{\top} \mathcal{A} x}{\partial x}=2, A x=2\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \
2 & 3
\end{array}\right) x=\left(\begin{array}{ll}
2 x & 4 x \
4 x & 6 x
\end{array}\right)
$$
and the Hessian is
$$
\frac{\partial^{2} x^{\top} \mathcal{A x}}{\partial x \partial x^{\top}}=2, A=2\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \
2 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
2 & 4 \
4 & 6
\end{array}\right)
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Partitioned Matrices

Very often we will have to consider certain groups of rows and columns of a matrix $\mathcal{A}(n \times p)$. In the case of two groups, we have
$$
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ll}
\mathcal{A}{11} & \mathcal{A}{12} \
\mathcal{A}{21} & \mathcal{A}{22}
\end{array}\right)
$$
where $\mathcal{A}{i j}\left(n{i} \times p_{j}\right), i, j=1,2, n_{1}+n_{2}=n$ and $p_{1}+p_{2}=p$.
If $\mathcal{B}(n \times p)$ is partitioned accordingly, we have:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A}+\mathcal{B} &=\left(\begin{array}{ll}
\mathcal{A}{11}+\mathcal{B}{11} & \mathcal{A}{12}+\mathcal{B}{12} \
\mathcal{A}{21}+\mathcal{B}{21} & \mathcal{A}{22}+\mathcal{B}{22}
\end{array}\right) \
\mathcal{B}^{\top} &=\left(\begin{array}{l}
\mathcal{B}{11}^{\top} \mathcal{B}{21}^{\top} \
\mathcal{B}{12}^{\top} \mathcal{B}{22}^{\top}
\end{array}\right) \
\mathcal{A B} &=\left(\begin{array}{l}
\mathcal{A}{11} \mathcal{B}{11}^{\top}+\mathcal{A}{12} \mathcal{B}{12}^{\top} \mathcal{A}{11} \mathcal{B}{21}^{\top}+\mathcal{A}{12} \mathcal{B}{22}^{\top} \
\mathcal{A}{21} \mathcal{B}{11}^{\top}+\mathcal{A}{22} \mathcal{B}{12}^{\top} \mathcal{A}{21} \mathcal{B}{21}^{\top}+\mathcal{A}{22} \mathcal{B}{22}^{\top}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
An important particular case is the square matrix $\mathcal{A}(p \times p)$, partitioned in such a way that $\mathcal{A}{11}$ and $\mathcal{A}{22}$ are both square matrices (i.e. $n_{j}=p_{j}, j=1,2$ ). It can be verified that when $\mathcal{A}$ is non-singular $\left(\mathcal{A}, \mathcal{A}^{-1}=\mathcal{I}{p}\right)$ : $$ \mathcal{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} \mathcal{A}^{11} & \mathcal{A}^{12} \ \mathcal{A}^{21} & \mathcal{A}^{22} \end{array}\right) $$ where $$ \left{\begin{array}{l} \mathcal{A}^{11}=\left(\mathcal{A}{11}-\mathcal{A}{12} \mathcal{A}{22}^{-1} \mathcal{A}{21}\right)^{-1} \stackrel{\text { def }}{=}\left(\mathcal{A}{11 \cdot 2}\right)^{-1} \
\mathcal{A}^{12}=-\left(\mathcal{A}{11 \cdot 2}\right)^{-1} \mathcal{A}{12} \mathcal{A}{22}^{-1} \ \mathcal{A}^{21}=-\mathcal{A}{22}^{-1} \mathcal{A}{21}\left(\mathcal{A}{11 \cdot 2}\right)^{-1} \
\mathcal{A}^{22}=\mathcal{A}{22}^{-1}+\mathcal{A}{22}^{-1} \mathcal{A}{21}\left(\mathcal{A}{11 \cdot 2}\right)^{-1} \mathcal{A}{12} \mathcal{A}{22}^{-1}
\end{array}\right.
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Column Space and Null Space of a Matrix

Define for $\mathcal{X}(n \times p)$
$$
\operatorname{Im}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} C(\mathcal{X})=\left{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \exists a \in \mathbb{R}^{p} \text { so that } \mathcal{X} a=x\right},
$$
the space generated by the columns of $\mathcal{X}$ or the column space of $\mathcal{X}$. Note that $C(\mathcal{X}) \subseteq \mathbb{R}^{n}$ and $\operatorname{dim}{C(\mathcal{X})}=\operatorname{rank}(\mathcal{X})=r \leq \min (n, p)$
$$
\operatorname{Ker}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} N(\mathcal{X})=\left{y \in \mathbb{R}^{p} \mid \mathcal{X} y=0\right}
$$
is the null space of $\mathcal{X}$. Note that $N(\mathcal{X}) \subseteq \mathbb{R}^{p}$ and that $\operatorname{dim}{N(\mathcal{X})}=p-r$.
Remark $2.2 N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$ is the orthogonal complement of $C(\mathcal{X})$ in $\mathbb{R}^{n}$, i.e. given a vector $b \in \mathbb{R}^{n}$ it will hold that $x^{\top} b=0$ for all $x \in C(\mathcal{X})$, if and only if $b \in N\left(\mathcal{X}^{\top}\right)$.
Example $2.12$ Let $\mathcal{X}=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \ 4 & 6 & 7 \ 6 & 8 & 6 \ 8 & 2 & 4\end{array}\right)$. It is easy to show (e.g. by calculating the determinant of $\mathcal{X})$ that $\operatorname{rank}(\mathcal{X})=3$. Hence, the column space of $\mathcal{X}$ is $C(\mathcal{X})=\mathbb{R}^{3}$. The null space of $\mathcal{X}$ contains only the zero vector $(0,0,0)^{\top}$ and its dimension is equal to $\operatorname{rank}(\mathcal{X})-3=0$.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|A Short Excursion into Matrix Algebra

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Derivatives

对于本书的后面部分,介绍向量标量函数的导数的矩阵表示法将很有用X, IEF(X), 关于X. 考虑F:Rp→R和一个(p×1)向量X, 然后∂F(X)∂X是偏导数的列向量\left{\frac{\partial f(x)}{\partial x_{j}}\right}, j=1, \ldots, p\left{\frac{\partial f(x)}{\partial x_{j}}\right}, j=1, \ldots, p和∂F(X)∂X吨是同导数的行向量(∂F(X)∂X被称为梯度F).

我们还可以引入二阶导数:∂2F(X)∂X∂X⊤是个(p×p)元素矩阵∂2F(X)∂X一世∂Xj,一世=1,…,p和j=1,…,p(∂2F(X)∂X∂X被称为 Hessian 的F). 假设一个是一个(p×1)矢量和那个一个=一个⊤是一个(p×p)矩阵。然后

∂一个⊤X∂X=∂X⊤一个∂X=一个
二次形式的 Hessian问(X)=X⊤一个X是:

∂2X⊤一个X∂X∂X⊤=2.一个
例子2.8考虑矩阵

一个=(12 23)

从公式(2.24)和(2.25)紧接着就是梯度问(X)= X⊤一个X是

∂X⊤一个X∂X=2,一个X=2(12 23)X=(2X4X 4X6X)
黑森州是

∂2X⊤一个X∂X∂X⊤=2,一个=2(12 23)=(24 46)

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Partitioned Matrices

很多时候,我们将不得不考虑矩阵的某些行和列组一个(n×p). 在两组的情况下,我们有

一个=(一个11一个12 一个21一个22)
在哪里一个一世j(n一世×pj),一世,j=1,2,n1+n2=n和p1+p2=p.
如果乙(n×p)被相应地划分,我们有:

一个+乙=(一个11+乙11一个12+乙12 一个21+乙21一个22+乙22) 乙⊤=(乙11⊤乙21⊤ 乙12⊤乙22⊤) 一个乙=(一个11乙11⊤+一个12乙12⊤一个11乙21⊤+一个12乙22⊤ 一个21乙11⊤+一个22乙12⊤一个21乙21⊤+一个22乙22⊤)
一个重要的特例是方阵一个(p×p), 以这样的方式划分一个11和一个22都是方阵(即nj=pj,j=1,2)。可以验证当一个是非奇异的(一个,一个−1=我p) :

一个−1=(一个11一个12 一个21一个22)$$ \左{

一个11=(一个11−一个12一个22−1一个21)−1= 定义 (一个11⋅2)−1 一个12=−(一个11⋅2)−1一个12一个22−1 一个21=−一个22−1一个21(一个11⋅2)−1 一个22=一个22−1+一个22−1一个21(一个11⋅2)−1一个12一个22−1\正确的。
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Column Space and Null Space of a Matrix

定义为X(n×p)

\operatorname{Im}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} C(\mathcal{X})=\left{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \存在一个 \in \mathbb{R}^{p} \text { 使得 } \mathcal{X} a=x\right},\operatorname{Im}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} C(\mathcal{X})=\left{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \存在一个 \in \mathbb{R}^{p} \text { 使得 } \mathcal{X} a=x\right},
的列产生的空间X或的列空间X. 注意C(X)⊆Rn和暗淡⁡C(X)=秩⁡(X)=r≤分钟(n,p)

\operatorname{Ker}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} N(\mathcal{X})=\left{y \in \mathbb{R}^{p} \mid \mathcal{X} y=0\right}\operatorname{Ker}(\mathcal{X}) \stackrel{\text { def }}{=} N(\mathcal{X})=\left{y \in \mathbb{R}^{p} \mid \mathcal{X} y=0\right}
是零空间X. 注意ñ(X)⊆Rp然后暗淡⁡ñ(X)=p−r.
评论2.2ñ(X⊤)是的正交补C(X)在Rn,即给定一个向量b∈Rn它会认为X⊤b=0对所有人X∈C(X), 当且仅当b∈ñ(X⊤).
例子2.12让X=(235 467 686 824). 它很容易显示(例如通过计算行列式X)那秩⁡(X)=3. 因此,列空间为X是C(X)=R3. 的零空间X仅包含零向量(0,0,0)⊤它的维度等于秩⁡(X)−3=0.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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