统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Examples in R

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Examples in R

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Examples in R

In this section, we consider several real data examples for PCA and illustrate the use of software R for PCA.

Example 1. In this study (Johnson and Wichern, 2007), 48 individuals who had applied for a job with a large firm were interviewed and rated on 15 criteria. Individuals were rated on the form of their letter of application (FL), their appearance (APP), academic ability (AA), likability (LA), self-confidence (SC), lucidity (LC), honesty(HON), salesmanship (SMS), experience (EXP), drive (DRV), ambition (AMB), ability to grasp concepts (GSP), potential (POT), keenness to join (KJ), and their suitability (SUIT). Each criterion was evaluated on a scale ranging from 0 to 10 , with 0 being a very low and very unsatisfactory rating, and 10 being a very high rating. In this example, there are 15 variables, so the dimension of the data is 15 . So it is difficult to graphically display the data, and to check any outliers and multivariate normality of the data. We consider a PCA to reduce the dimension.

We see that all 15 variables are correlated and some are highly correlated (e.g., $\mathrm{POT}$ and GSP have a correlation of $0.9, \mathrm{LC}$ and $\mathrm{GSP}$ also have a correlation of $0.9$, etc). Since all variables here have comparable scales, we may perform PCA on the sample covariance matrix $S=\hat{\Sigma}$.

In the above results, the “Cumulative Proportion” row gives the cumulative proportions of variation explained by the first $\mathrm{PC}$, the first two $\mathrm{PCs}$, the first three $\mathrm{PCs}$, etc. We see that the first $2 \mathrm{PCs}$ explain $69 \%$ variations (the first two eigenvalues of $\hat{\Sigma}$ are $66.54$ and $18.18$ respectively): the first $\mathrm{PC}$ explains $54 \%$ variation and the second $\mathrm{PC}$ explains $15 \%$ variation. The first $3 \mathrm{PC}$ ‘s explain about $78 \%$ of total variations. Thus, the 15 -dimensional original data may be reduced to 2 or 3 dimensions!

The “new data” (i.e., the PC scores) can be obtained from the original data. To show graphical displays of the new data, we consider PC scores from the first two PCs and then we graphically display the PC scores to check normality of the new data and any possible outliers.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Basic Idea

In principal components analysis (PCA), we try to reduce the dimension of multivariate data to simplify multivariate analysis. A PCA gives us some idea about the minimal number of variables which contain most information in the original set of variables. A disadvantage of PCA is that the principal components may not always have practical interpretations. That is, sometimes the principal components do not have meaningful interpretations in practice, which is a disadvantage in real data analysis. In this section, we try to determine the minimal set of variables which also have meaningful interpretations in practice. Such analysis is called factor analysis, and the factors usually have practical interpretations.

Factor analysis (FA) tries to describe the variance-covariance relationship among variables in terms of a smaller set of unobservable and uncorrelated new random variables called factors. These factors cannot be directly observed, but they have practical meanings and can be used for data analysis. The essential idea of factor analysis is to group the original variables so that all variables in the same group are highly correlated. Each group then represents a factor (a new variable) that explains the variation and correlation in the original variables in the group. The original set of variables may then be replaced by these factors in data analysis. Thus, factor analysis is closely related to PCA. A main difference is that the factors have practical meanings while the principal components may not have practical meanings.

For example, suppose that a multivariate dataset contains exam scores on mathematics, physics, computer science, English, Chinese, French, income, education, and professionals. We wish to perform a multivariate analysis on this dataset. We see that the dimension of the original data is 9 , and we hope to reduce the dimension in data analysis. Note that exam scores on mathematics $\left(x_{1}\right)$, physics $\left(x_{2}\right)$, and computer science $\left(x_{3}\right)$ may be represented by an unobservable factor called intelligence $\left(f_{1}\right)$. Exam scores on English $\left(x_{4}\right)$, Chinese $\left(x_{5}\right)$, and French $\left(x_{6}\right)$ may be represented by an unobservable factor called verbal ability $\left(f_{2}\right)$. Data on income $\left(x_{7}\right)$, education $\left(x_{8}\right)$, and professionals $\left(x_{9}\right)$ may be represented by an unobservable factor called social status $\left(f_{3}\right)$. Thus, we have grouped the original 9 variables that are highly correlated, and obtain three factors $\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)$ : intelligence, verbal ability, and social status. These factors are unobservable and uncorrelated, and they have practical meanings. Therefore, the original 9 variables may be represented by three factors, which is a big reduction of data dimension. Although these three factors may not completely represent the original 9 variables, the three factors should contain most information in the original variables or explain most variability in the original variables. Compared to $\mathrm{PCA}$, an attractive feature of factor analysis is that the factors have practical interpretation, since intelligence, verbal ability, and social status are meaningful variables. This is the idea behind factor analysis.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Factor Analysis Model

The idea of factor analysis can be formally stated as follows. Let $\mathbf{x}=\left(x_{1}, \cdots, x_{p}\right)^{\mathrm{T}} \sim$ $(\mu, \Sigma)$ be the original set of variables with mean vector $\mu=\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{p}\right)^{\mathrm{T}}$ and covariance matrix $\Sigma=\left(\sigma_{i j}\right){p \times p}$. Note that $\mathbf{x} \sim(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ means that the random vector $\mathrm{x}$ has a mean vector $\mu$ and covariance matrix $\Sigma$, without a distributional assumption. The factor analysis (FA) model can be written as $$ x{i}=\mu_{i}+\lambda_{i 1} f_{1}+\cdots+\lambda_{i m} f_{m}+\eta_{i}, \quad i=1,2, \cdots, p, \quad m \leqslant p,
$$
where the $f_{j}$ ‘s are random variables called factors or common factors, the quantities $\lambda_{i j}$ ‘s are called loadings, $m$ is an positive integer smaller than the original number of variables $p$, and $\eta_{i}$ ‘s are random errors.

In the factor analysis model (3.1), the original set of variables $x_{j}$ ‘s are written as linear combinations of the common factors $f_{j}$ ‘s plus random errors. In other words, the variation in the original set of variables can be partially explained by the variation in the common factors. Typically, the number of factors is less than the number of original variables, i.e., $m<p$. The factors are unobservable. The loading $\lambda_{i j}$ ‘s represent the contribution (importance) of factor $f_{j}$ to variable $x_{i}$. The random errors $\eta_{i}$ ‘s represent variations that cannot be explained by the factors.

Note that the FA model (3.1) is different from a regression model. In a regression model, both the responses and the predictors are observed (or known). In the FA model, however, the common factors $f_{j}$ ‘s are not observed (or unknown). Thus, statistical methods for FA models are different from those for regression models.
To estimate the unknown parameters and factors based on given data, we must make some assumptions for the FA model. The common assumptions for the FA model (3.1) are

  • the factors $f_{j}$ ‘s are i.i.d, $\sim(0,1)$, i.e., the factors are independently and identically distributed with mean 0 and variance 1 ;
  • the random errors $\eta_{j}$ ‘s $\sim\left(0, \psi_{j}\right)$, and are independent, i.e., the random errors are independent with mean 0 and variances $\psi_{j}$ ‘s;
  • the factor $f_{k}$ and the random error $\eta_{j}$ are independent for any $k, j$.
    These assumptions are needed for a standard factor analysis.
    The FA model and its assumptions can be written in the following compact matrix form:
    $$
    \begin{aligned}
    &\mathbf{x}=\boldsymbol{\mu}+\Lambda \mathbf{f}+\eta \
    &\mathbf{f} \sim(0, I), \quad \eta \sim(0, \Psi), \quad \mathbf{f} \text { and } \eta \text { are independent, }
    \end{aligned}
    $$
    where $\Lambda=\left(\lambda_{i j}\right){p \times m}$ is the loading matrix, $\mathbf{f}=\left(f{1}, \cdots, f_{m}\right)^{\mathrm{T}}, \eta=\left(\eta_{1}, \cdots, \eta_{p}\right)^{\mathrm{T}}$, and $\Psi=\operatorname{diag}\left(\psi_{1}, \cdots, \psi_{p}\right)$ is a diagonal matrix. This matrix form is convenient for presentation and mathematical arguments. Like $\mathrm{PCA}$, the covariance matrix $\Sigma$ of $\mathbf{x}$ plays a key role in factor analysis, since the covariance matrix measures the variation and correlation in the data. The mean vector $\mu$ simply measures the location of the data, so it does not contain any information about the variation and correlation in the data.

In both PCA and FA, the variation in the original set of variables are partially explained by the variation in a smaller set of new and uncorrelated variables (principal components and factors). However, PCA mostly focuses on dimension reduction and the principal components may or may not have meaningful practical interpretation, while in factor analysis the factors typically have meaningful practical interpretation. Often, a PCA can be used to roughly determine the number $m$ of factors needed in factor analysis.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Examples in R

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Examples in R

在本节中,我们考虑几个 PCA 的真实数据示例,并说明如何使用软件 R 进行 PCA。

示例 1。在这项研究中(Johnson 和 Wichern,2007 年),对 48 名申请过大型公司工作的个人进行了面谈,并根据 15 项标准对其进行了评分。个人根据申请书(FL)、外表(APP)、学术能力(AA)、可爱度(LA)、自信(SC)、清醒(LC)、诚实(HON)、推销技巧的形式进行评分(SMS)、经验(EXP)、驱动力(DRV)、雄心(AMB)、把握概念的能力(GSP)、潜力(POT)、加入的热情(KJ)和适合性(SUIT)。每个标准的评价范围从 0 到 10,其中 0 是非常低和非常不满意的评级,而 10 是非常高的评级。在这个例子中,有 15 个变量,所以数据的维度是 15 。因此,很难以图形方式显示数据,也很难检查数据的任何异常值和多元正态性。

我们看到所有 15 个变量都是相关的,有些是高度相关的(例如,磷○吨和 GSP 的相关性为0.9,大号C和G小号磷也有相关性0.9, ETC)。由于这里的所有变量都有相当的尺度,我们可以对样本协方差矩阵执行 PCA小号=Σ^.

在上述结果中,“累积比例”行给出了第一个解释的累积变化比例磷C,前两个磷Cs,前三个磷Cs等。我们看到第一个2磷Cs解释69%变化(的前两个特征值Σ^是66.54和18.18分别):第一个磷C解释54%变化和第二磷C解释15%变化。首先3磷C的解释78%的总变化。因此,15 维的原始数据可能会缩减为 2 或 3 维!

“新数据”(即PC分数)可以从原始数据中获得。为了显示新数据的图形显示,我们考虑前两台 PC 的 PC 分数,然后我们以图形方式显示 PC 分数以检查新数据的正态性和任何可能的异常值。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Basic Idea

在主成分分析(PCA)中,我们尝试降低多元数据的维数以简化多元分析。PCA 让我们了解了包含原始变量集中大部分信息的变量的最小数量。PCA 的一个缺点是主成分可能并不总是有实际的解释。也就是说,有时主成分在实践中没有有意义的解释,这在实际数据分析中是一个缺点。在本节中,我们试图确定在实践中也有有意义的解释的最小变量集。这种分析称为因子分析,因子通常有实际解释。

因子分析 (FA) 试图用一组较小的不可观察且不相关的新随机变量(称为因子)来描述变量之间的方差-协方差关系。这些因素无法直接观察到,但具有实际意义,可用于数据分析。因子分析的基本思想是将原始变量分组,使同一组中的所有变量高度相关。然后,每个组代表一个因子(一个新变量),它解释了组中原始变量的变化和相关性。然后可以在数据分析中用这些因素替换原始变量集。因此,因子分析与 PCA 密切相关。一个主要区别是因素具有实际意义,而主要成分可能没有实际意义。

例如,假设一个多元数据集包含数学、物理、计算机科学、英语、汉语、法语、收入、教育和专业的考试成绩。我们希望对此数据集进行多变量分析。我们看到原始数据的维数是 9 ,我们希望在数据分析中降维。注意数学考试成绩(X1), 物理学(X2), 和计算机科学(X3)可以用一个称为智力的不可观察的因素来表示(F1). 英语考试成绩(X4), 中国人(X5), 和法语(X6)可以用一种叫做语言能力的不可观察的因素来表示(F2). 收入数据(X7), 教育(X8), 和专业人士(X9)可能由一种称为社会地位的不可观察的因素来表示(F3). 因此,我们将原始的 9 个高度相关的变量进行了分组,得到了 3 个因子(F1,F2,F3): 智力、语言能力和社会地位。这些因素是不可观察的、不相关的,具有实际意义。因此,原来的9个变量可以用三个因子来表示,是数据维数的大幅度缩减。虽然这三个因素可能不能完全代表原始 9 个变量,但三个因素应该包含原始变量中的大部分信息或解释原始变量中的大部分可变性。相比磷C一个,因子分析的一个吸引人的特点是因子具有实际的解释,因为智力、语言能力和社会地位是有意义的变量。这就是因子分析背后的思想。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Factor Analysis Model

因子分析的思想可以正式表述如下。让X=(X1,⋯,Xp)吨∼ (μ,Σ)是具有均值向量的原始变量集μ=(μ1,μ2,⋯,μp)吨和协方差矩阵Σ=(σ一世j)p×p. 注意X∼(μ,Σ)意味着随机向量X有一个平均向量μ和协方差矩阵Σ,没有分布假设。因子分析(FA)模型可以写成

X一世=μ一世+λ一世1F1+⋯+λ一世米F米+这一世,一世=1,2,⋯,p,米⩽p,
在哪里Fj是称为因子或公因子的随机变量,数量λ一世j被称为载荷,米是小于原始变量数的正整数p, 和这一世是随机错误。

在因子分析模型(3.1)中,原始变量集Xj的写成公因子的线性组合Fj的加上随机误差。换句话说,原始变量集的变化可以部分地用公因子的变化来解释。通常,因子的数量小于原始变量的数量,即米<p. 这些因素是不可观察的。装载λ一世j’ 代表因子的贡献(重要性)Fj可变X一世. 随机误差这一世’ 代表无法由因素解释的变化。

请注意,FA 模型 (3.1) 与回归模型不同。在回归模型中,响应和预测变量都被观察到(或已知)。然而,在 FA 模型中,公因子Fj没有观察到(或未知)。因此,FA 模型的统计方法不同于回归模型的统计方法。
为了根据给定的数据估计未知的参数和因素,我们必须对 FA 模型做一些假设。FA 模型 (3.1) 的常见假设是

  • 因素Fj是 iid,∼(0,1),即因子独立同分布,均值为0,方差为1;
  • 随机误差这j的∼(0,ψj), 并且是独立的,即随机误差独立于均值 0 和方差ψj的;
  • 因素Fķ和随机误差这j是独立的任何ķ,j.
    标准因子分析需要这些假设。
    FA 模型及其假设可以写成以下紧凑矩阵形式:
    X=μ+ΛF+这 F∼(0,我),这∼(0,Ψ),F 和 这 是独立的, 
    在哪里Λ=(λ一世j)p×米是加载矩阵,F=(F1,⋯,F米)吨,这=(这1,⋯,这p)吨, 和Ψ=诊断⁡(ψ1,⋯,ψp)是对角矩阵。这种矩阵形式便于表示和数学论证。喜欢磷C一个, 协方差矩阵Σ的X在因子分析中起着关键作用,因为协方差矩阵衡量了数据中的变化和相关性。平均向量μ只是测量数据的位置,因此它不包含任何有关数据变化和相关性的信息。

在 PCA 和 FA 中,原始变量集的变化部分可以通过较小的一组新的和不相关的变量(主要成分和因子)的变化来解释。然而,PCA 主要关注降维,主成分可能有也可能没有有意义的实际解释,而在因子分析中,因子通常具有有意义的实际解释。通常,PCA 可用于粗略确定数量米因子分析所需的因子。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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