统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Inference for a Multivariate Normal

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Inference for a Multivariate Normal

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Population

In previous chapters, we have mostly focused on multivariate exploratory analyses, without statistical inference. That is, our focus is mostly on finding important descriptive features of data, such as data dimensions and data classifications, without extending the results or conclusions to the whole population. Distributional assumptions for the data are often not required for such exploratory analysis. Exploratory data analysis is an important component of statistical analysis. However, exploratory analysis is not sufficient. Often we wish to extend the conclusions from exploratory analysis to the whole population. That is, we also wish to make statistical inference, such as hypothesis testing or confidence intervals.

In this chapter, we consider statistical inference for multivariate continuous data, i.e., we try to extend the results from the data to the whole population. In order to make inference, the following assumptions are often required: (i) the sample is a random and representative subset of the population, e.g., an i.i.d. (independent and identically distributed) sample from the population, and (ii) the population is assumed to follow a parametric distribution, such as a multivariate normal distribution. In this chapter, we focus on the most important distribution for multivariate continuous data, i.e., the multivariate normal distribution. A multivariate normal distribution, denoted by $N(\mu, \Sigma)$, is completely determined by its mean vector $\mu=\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \cdots, \mu_{p}\right)^{\mathrm{T}}$ and its covariance matrix $\Sigma=\left(\sigma_{i j}\right)_{p \times p}$.

Inference for a multivariate normal distribution is often the main focus of many classic multivariate analysis books. Many nice features of the multivariate normal distribution allow us to do theoretical arguments and derive many elegant results. In practice, a multivariate normal distributional assumption may be reasonable for continuous data in many cases (perhaps after some transformations of the original data), especially when the sample size is large so the central limit theorems can be used to justify the normality assumption for the sample means. In some other cases in practice, such as small sample sizes or skewed data or discrete data, the multivariate

normal assumption may be too strong or unreasonable. In real data analysis, when we use a method or model which require normality assumption, we should check to see if this assumption is indeed reasonable.

In the following sections, we consider inference for both the mean vector and the covariance matrix of a multivariate normal distribution. Since theoretical derivations of these results are available in many classic books and our focus is to use these methods in practice, we skip the theoretical derivations and focus on explaining the methods and their applicability in data analysis. Readers interested in mathematical derivations are referred to many classic multivariate analysis books (e.g., Johnson and Wichern 2007).

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Inference for Multivariate Means

We first review the well-known $t$-test for inference of a univariate mean. In univariate analysis, the $t$-test is widely used to test the mean parameter assumed for a continuous variable. Suppose that $\left{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right}$ is a random sample from a univariate normal population $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$. Consider a two-sided test for the mean parameter $\mu$ :
$$
H_{0}: \mu=\mu_{0} \quad \text { versus } \quad H_{1}: \mu \neq \mu_{0}
$$
where $\mu_{0}$ is known. Let the sample mean and the sample standard deviation be $\bar{x}$ and $s$ respectively. The $t$ test statistic is given by
$$
t=\frac{\sqrt{n}\left(\bar{x}-\mu_{0}\right)}{s}
$$
which is in fact a standardize version of the sample mean $\bar{x}$ under $H_{0}$. Under the null hypothesis $H_{0}$, the test statistic $t$ follows a $t$-distribution with $n-1$ degrees of freedom. An alternative and equivalent test statistic is given by
$$
t^{2}=\frac{n\left(\bar{x}-\mu_{0}\right)^{2}}{s^{2}},
$$
which follows a $F(1, n-1)$-distribution. These tests are relatively robust against small to moderate departure from the assumed normality of the population, especially when the sample size is large. In fact, when the sample size is large, the sample mean $\bar{x}$ will approximately follow a normal distribution for any population distribution, based on the central limit theorem. In other words, $t$-tests can be used as long as the sample size is large, even if the population is not normally distributed.

The above univariate $t$-test can be extended to the multivariate case. For multivariate data, a key consideration is to incorporate the correlation or covariance between the variables. The most well-known extension is the so-called Hotelling’s $T$ test, which is described as follows. Let $\mathbf{x}{1}, \cdots, \mathbf{x}{n}$ be a random sample from the

multivariate normal population $N_{p}(\mu, \Sigma)$, where $\mathbf{x}{i}=\left(x{i 1}, \cdots, x_{i p}\right)^{\mathrm{T}}$ and both $\boldsymbol{\mu}$ and $\Sigma$ are unknown. Let
$$
\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} \mathbf{x}{i}}{n}, \quad \boldsymbol{S}=\frac{1}{n-1} \sum{i=1}^{n}\left(\mathbf{x}{i}-\overline{\mathrm{x}}\right)\left(\mathbf{x}{i}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{T}}
$$
be the sample mean vector and sample covariance matrix respectively. Suppose that we wish to test the following two-sided multivariate hypotheses
$$
H_{0}: \boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}{0} \quad \text { versus } \quad H{1}: \boldsymbol{\mu} \neq \boldsymbol{\mu}{0}, $$ where $\boldsymbol{\mu}{0}$ is a known vector. The Hotelling’s $T^{2}$ test statistic is given by
$$
T^{2}=n\left(\overline{\mathrm{x}}-\mu_{0}\right)^{\mathrm{T}} S^{-1}\left(\overline{\mathrm{x}}-\mu_{0}\right) .
$$
Under $H_{0}$, we have
$$
T^{* 2}=\frac{n-p}{p(n-1)} T^{2} \sim F(p, n-p) .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Inference for Covariance Matrices

For a multivariate normal population $N_{p}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$, inference for the covariance matrix $\Sigma$ can also be performed. However, the computation associated with the test can be tedious since closed-form null distributions of test statistics are often unavailable, so computer software is needed for computation.

In practice, it is common to test the equality of two covariance matrices, For example, when testing two multivariate mean vectors, it is assumed that the two unknown covariance matrices are equal (as noted in the previous section). This assumption can be tested. Specifically, we can test the equality of two population covariance matrices
$$
H_{0}: \Sigma_{1}=\Sigma_{2} \quad \text { versus } \quad \Sigma_{1} \neq \Sigma_{2} \text {. }
$$
Let $\left{\mathbf{x}{1}, \cdots, \mathbf{x}{n_{1}}\right}$ be a random sample from population $N_{p}\left(\boldsymbol{\mu}{1}, \Sigma{1}\right)$, and let $\left{\mathbf{y}{1}, \cdots\right.$, $\left.\mathbf{y}{n_{2}}\right}$ be an independent random sample from population $N_{p}\left(\mu_{2}, \Sigma_{2}\right)$. The test statistic is given by
$$
\Lambda=\frac{\left|\hat{\Sigma}{1}\right|^{\left(n{1}-1\right) / 2}\left|\hat{\Sigma}{2}\right|^{\left(n{2}-1\right) / 2}}{|\hat{\Sigma}|(n-2) / 2}
$$

where $\hat{\Sigma}{1}$ and $\hat{\Sigma}{2}$ are sample covariance matrices of $\Sigma_{1}$ and $\Sigma_{2}$ respectively,
$$
\hat{\Sigma}=\left(\left(n_{1}-1\right) \hat{\Sigma}{1}+\left(n{2}-1\right) \hat{\Sigma}{2}\right) /(n-2) $$ is the pooled estimate of the covariance matrix, and $n=n{1}+n_{2}$ is the total sample size. The null distribution of $\Lambda$ is complicated, but computer software can be used to obtain p-values of the test.

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多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Population

在前面的章节中,我们主要关注多变量探索性分析,没有进行统计推断。也就是说,我们的重点主要是寻找数据的重要描述性特征,例如数据维度和数据分类,而不是将结果或结论扩展到整个人群。这种探索性分析通常不需要数据的分布假设。探索性数据分析是统计分析的重要组成部分。然而,探索性分析是不够的。我们经常希望将探索性分析的结论扩展到整个人群。也就是说,我们还希望进行统计推断,例如假设检验或置信区间。

在本章中,我们考虑多元连续数据的统计推断,即我们尝试将结果从数据扩展到整个人群。为了进行推断,通常需要以下假设:(i)样本是总体的随机且具有代表性的子集,例如,来自总体的 iid(独立同分布)样本,以及(ii)总体是假设遵循参数分布,例如多元正态分布。在本章中,我们关注多元连续数据最重要的分布,即多元正态分布。多元正态分布,表示为ñ(μ,Σ), 完全由其均值向量确定μ=(μ1,μ2,⋯,μp)吨及其协方差矩阵Σ=(σ一世j)p×p.

多元正态分布的推断通常是许多经典多元分析书籍的主要焦点。多元正态分布的许多不错的特性使我们能够进行理论论证并得出许多优雅的结果。在实践中,多元正态分布假设在许多情况下对于连续数据可能是合理的(可能是在对原始数据进行一些变换之后),特别是当样本量很大时,因此可以使用中心极限定理来证明正态性假设的合理性样本手段。在实践中的其他一些情况下,例如小样本量或倾斜数据或离散数据,多变量

正常的假设可能太强或不合理。在实际数据分析中,当我们使用需要正态假设的方法或模型时,我们应该检查这个假设是否确实合理。

在以下部分中,我们考虑对多元正态分布的均值向量和协方差矩阵进行推断。由于这些结果的理论推导在许多经典书籍中都有,而我们的重点是在实践中使用这些方法,我们跳过理论推导,重点解释这些方法及其在数据分析中的适用性。对数学推导感兴趣的读者可以参考许多经典的多元分析书籍(例如,Johnson 和 Wichern 2007)。

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我们先回顾一下众所周知的吨- 测试单变量均值的推断。在单变量分析中,吨-test 广泛用于测试为连续变量假设的平均参数。假设\left{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right}\left{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right}是来自单变量正态总体的随机样本ñ(μ,σ2). 考虑平均参数的双边检验μ :

H0:μ=μ0 相对 H1:μ≠μ0
在哪里μ0是已知的。设样本均值和样本标准差为X¯和s分别。这吨检验统计量由下式给出

吨=n(X¯−μ0)s
这实际上是样本均值的标准化版本X¯在下面H0. 在原假设下H0, 检验统计量吨遵循一个吨-分布与n−1自由程度。另一种等效的检验统计量由下式给出

吨2=n(X¯−μ0)2s2,
紧随其后的是F(1,n−1)-分配。这些检验相对稳健,相对于假设的总体正态性的小到中度偏离,特别是当样本量很大时。实际上,当样本量很大时,样本均值X¯根据中心极限定理,任何人口分布都将近似服从正态分布。换句话说,吨只要样本量很大,即使总体不是正态分布的,也可以使用 -tests。

上述单变量吨-test 可以扩展到多变量情况。对于多变量数据,一个关键考虑因素是纳入变量之间的相关性或协方差。最著名的扩展是所谓的 Hotelling’s吨测试,描述如下。令 $\mathbf{x} {1}, \cdots, \mathbf{x} {n}$ 是来自

多元正态人群ñp(μ,Σ), 在哪里X一世=(X一世1,⋯,X一世p)吨和两者μ和Σ是未知的。让

X¯=∑一世=1nX一世n,小号=1n−1∑一世=1n(X一世−X¯)(X一世−X¯)吨
分别为样本均值向量和样本协方差矩阵。假设我们希望检验以下双边多元假设

H0:μ=μ0 相对 H1:μ≠μ0,在哪里μ0是一个已知向量。霍特林的吨2检验统计量由下式给出

吨2=n(X¯−μ0)吨小号−1(X¯−μ0).
在下面H0, 我们有

吨∗2=n−pp(n−1)吨2∼F(p,n−p).

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Inference for Covariance Matrices

对于多元正态人群ñp(μ,Σ), 协方差矩阵的推断Σ也可以进行。然而,与测试相关的计算可能很繁琐,因为测试统计的封闭形式的空分布通常不可用,因此需要计算机软件进行计算。

在实践中,测试两个协方差矩阵是否相等是很常见的,例如,在测试两个多元均值向量时,假设两个未知协方差矩阵相等(如上一节所述)。这个假设是可以检验的。具体来说,我们可以检验两个总体协方差矩阵的相等性

H0:Σ1=Σ2 相对 Σ1≠Σ2. 
让\left{\mathbf{x}{1}, \cdots, \mathbf{x}{n_{1}}\right}\left{\mathbf{x}{1}, \cdots, \mathbf{x}{n_{1}}\right}是来自总体的随机样本ñp(μ1,Σ1), 然后让\left{\mathbf{y}{1}, \cdots\right.$, $\left.\mathbf{y}{n_{2}}\right}\left{\mathbf{y}{1}, \cdots\right.$, $\left.\mathbf{y}{n_{2}}\right}是来自总体的独立随机样本ñp(μ2,Σ2). 检验统计量由下式给出

Λ=|Σ^1|(n1−1)/2|Σ^2|(n2−1)/2|Σ^|(n−2)/2

在哪里Σ^1和Σ^2是样本协方差矩阵Σ1和Σ2分别,

Σ^=((n1−1)Σ^1+(n2−1)Σ^2)/(n−2)是协方差矩阵的合并估计,并且n=n1+n2是总样本量。的零分布Λ很复杂,但是可以使用计算机软件来获得检验的 p 值。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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