统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STATS7062

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多变量统计分析被认为是评估地球化学异常与任何单独变量和变量之间相互影响的意义的有用工具。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STATS7062

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformation of Statistics

Often in practical problems, one is interested in a function of parameters for which one has an asymptotically normal statistic. Suppose for instance that we are interested in a cost function depending on the mean $\mu$ of the process: $f(\mu)=$ $\mu^{\top} \mathcal{A} \mu$ where $\mathcal{A}>0$ is given. To estimate $\mu$ we use the asymptotically normal statistic $\bar{x}$. The question is: how does $f(\bar{x})$ behave? More generally, what happens to a statistic $t$ that is asymptotically normal when we transform it by a function $f(t)$ ? The answer is given by the following theorem.

Theorem $4.11$ If $\sqrt{n}(t-\mu) \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} N_{p}(0, \Sigma)$ and if $f=\left(f_{1}, \ldots, f_{q}\right)^{\top}: \mathbb{R}^{p} \rightarrow$ $\mathbb{R}^{q}$ are real valued functions which are differentiable at $\mu \in \mathbb{R}^{p}$, then $f(t)$ is asymptotically normal with mean $f(\mu)$ and covariance $\mathcal{D}^{\top} \Sigma \mathcal{D}$, i.e.
$$
\sqrt{n}{f(t)-f(\mu)} \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} N_{q}\left(0, \mathcal{D}^{\top} \Sigma \mathcal{D}\right) \quad \text { for } \quad n \longrightarrow \infty
$$
where
$$
\mathcal{D}=\left.\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial t_{i}}\right)(t)\right|{t=\mu} $$ is the $(p \times q)$ matrix of all partial derivatives. Example $4.20$ We are interested in seeing how $f(\bar{x})=\bar{x}^{\top} \mathcal{A} \bar{x}$ behaves asymptotically with respect to the quadratic cost function of $\mu, f(\mu)=\mu^{\top} \mathcal{A} \mu$, where $\mathcal{A}>0$ $$ D=\left.\frac{\partial f(\bar{x})}{\partial \bar{x}}\right|{\bar{x}=\mu}=2 \mathcal{A} \mu
$$
By Theorem $4.11$ we have
$$
\sqrt{n}\left(\bar{x}^{\top} \mathcal{A} \bar{x}-\mu^{\top} \mathcal{A} \mu\right) \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} N_{1}\left(0,4 \mu^{\top} \mathcal{A} \Sigma \mathcal{A} \mu\right)
$$
Example 4.21 Suppose
$$
X_{i} \sim(\mu, \Sigma) ; \quad \mu=\left(\begin{array}{l}
0 \
0
\end{array}\right), \quad \Sigma=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0.5 \
0.5 & 1
\end{array}\right), \quad p=2
$$
We have by the CLT (Theorem $4.10$ ) for $n \rightarrow \infty$ that
$$
\sqrt{n}(\bar{x}-\mu) \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} N(0, \Sigma) .
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Heavy-Tailed Distributions

Heavy-tailed distributions were first introduced by the Italian-born Swiss economist Pareto and extensively studied by Paul Lévy. Although in the beginning these distributions were mainly studied theoretically, nowadays they have found many applications in areas as diverse as finance, medicine, seismology, structural engineering. More concretely, they have been used to model returns of assets in financial markets, stream flow in hydrology, precipitation and hurricane damage in meteorology, earthquake prediction in seismology, pollution, material strength, teletraffic and many others.

A distribution is called heavy-tailed if it has higher probability density in its tail area compared with a normal distribution with same mean $\mu$ and variance $\sigma^{2}$. Figure $4.6$ demonstrates the differences of the pdf curves of a standard Gaussian distribution and a Cauchy distribution with location parameter $\mu=0$ and scale parameter $\sigma=1$. The graphic shows that the probability density of the Cauchy distribution is much higher than that of the Gaussian in the tail part, while in the area around the centre, the probability density of the Cauchy distribution is much lower.

In terms of kurtosis, a heavy-tailed distribution has kurtosis greater than 3 (see Chap. 4 , formula (4.40)), which is called leptokurtic, in contrast to mesokurtic distribution (kurtosis $=3$ ) and platykurtic distribution (kurtosis $<3$ ). Since univariate heavy-tailed distributions serve as basics for their multivariate counterparts and their density properties have been proved useful even in multivariate cases, we will start from introducing some univariate heavy-tailed distributions. Then we will move on to analyse their multivariate counterparts and their tail behaviour.

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Generalised Hyperbolic Distribution

The generalised hyperbolic distribution was introduced by Barndorff-Nielsen and at first applied to model grain size distributions of wind blown sands. Today one of its most important uses is in stock price modelling and market risk measurement. The name of the distribution is derived from the fact that its log-density forms a hyperbola, while the log-density of the normal distribution is a parabola (Fig. 4.7).

The density of a one-dimensional generalised hyperbolic (GH) distribution for $x \in \mathbb{R}$ is
$$
\begin{aligned}
&f_{\mathrm{GH}}(x ; \lambda, \alpha, \beta, \delta, \mu) \
&\quad=\frac{\left(\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} / \delta\right)^{\lambda}}{\sqrt{2 \pi} K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)} \frac{K_{\lambda-1 / 2}\left{\alpha \sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}\right}}{\left.\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}} / \alpha\right)^{1 / 2-\lambda}} e^{\beta(x-\mu)}
\end{aligned}
$$
where $K_{\lambda}$ is a modified Bessel function of the third kind with index $\lambda$
$$
K_{\lambda}(x)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} y^{\lambda-1} e^{-\frac{1}{2}\left(y+y^{-1}\right)} d y
$$
The domain of variation of the parameters is $\mu \in \mathbb{R}$ and
$$
\begin{array}{lll}
\delta \geq 0,|\beta|<\alpha, & \text { if } \quad \lambda>0 \
\delta>0,|\beta|<\alpha, & \text { if } \quad \lambda=0 \ \delta>0,|\beta| \leq \alpha, & \text { if } \quad \lambda<0
\end{array}
$$
The generalised hyperbolic distribution has the following mean and variance
$$
\begin{aligned}
\mathrm{E}[X]=& \mu+\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}} \frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)} \
\operatorname{Var}[X]=& \delta^{2}\left[\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}+\frac{\beta^{2}}{\alpha^{2}-\beta^{2}}\left[\frac{K_{\lambda+2}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}\right.\right.\
&\left.\left.-\left{\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}\right}^{2}\right]\right]
\end{aligned}
$$
Where $\mu$ and $\delta$ play important roles in the density’s location and scale respectively. With specific values of $\lambda$, we obtain different sub-classes of GH such as hyperbolic (HYP) or normal-inverse Gaussian (NIG) distribution.
For $\lambda=1$ we obtain the hyperbolic distributions (HYP)
$$
f_{\mathrm{HYP}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}}{2 \alpha \delta K_{1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)} e^{\left{-\alpha \sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}
$$
where $x, \mu \in \mathbb{R}, \delta \geq 0$ and $|\beta|<\alpha$. For $\lambda=-1 / 2$ we obtain the NIG distribution
$$
f_{\mathrm{NIG}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\alpha \delta}{\pi} \frac{K_{1}\left(\alpha \sqrt{\left.\left(\delta^{2}+(x-\mu)^{2}\right)\right)}\right.}{\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}} e^{\left{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}
$$

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|STATS7062

多元统计分析代考

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Transformation of Statistics

通常在实际问题中,人们对具有渐近正态统计量的参数函数感兴趣。例如,假设我们对取决于均值的成本函数感兴趣μ过程:F(μ)= μ⊤一个μ在哪里一个>0给出。估计μ我们使用渐近正态统计量X¯. 问题是:如何F(X¯)表现?更一般地说,统计数据会发生什么吨当我们通过函数对其进行转换时,这是渐近正常的F(吨)? 答案由以下定理给出。

定理4.11如果n(吨−μ)⟶大号ñp(0,Σ)而如果F=(F1,…,Fq)⊤:Rp→ Rq是可微分的实值函数μ∈Rp, 然后F(吨)均值渐近正态F(μ)和协方差D⊤ΣD, IE

nF(吨)−F(μ)⟶大号ñq(0,D⊤ΣD) 为了 n⟶∞
在哪里

D=(∂Fj∂吨一世)(吨)|吨=μ是个(p×q)所有偏导数的矩阵。例子4.20我们有兴趣看看如何F(X¯)=X¯⊤一个X¯关于二次成本函数的行为渐近μ,F(μ)=μ⊤一个μ, 在哪里一个>0

D=∂F(X¯)∂X¯|X¯=μ=2一个μ
按定理4.11我们有

n(X¯⊤一个X¯−μ⊤一个μ)⟶大号ñ1(0,4μ⊤一个Σ一个μ)
例 4.21 假设

X一世∼(μ,Σ);μ=(0 0),Σ=(10.5 0.51),p=2
我们有由 CLT(定理4.10) 为了n→∞那

n(X¯−μ)⟶大号ñ(0,Σ).

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Heavy-Tailed Distributions

重尾分布首先由出生于意大利的瑞士经济学家帕累托提出,并由保罗·莱维广泛研究。虽然一开始这些分布主要是在理论上进行研究,但现在它们已在金融、医学、地震学、结构工程等不同领域找到了许多应用。更具体地说,它们已被用于模拟金融市场中的资产回报、水文中的水流、气象中的降水和飓风破坏、地震学中的地震预测、污染、材料强度、远程交通等。

如果与具有相同均值的正态分布相比,该分布在其尾部区域具有更高的概率密度,则称为重尾分布μ和方差σ2. 数字4.6演示标准高斯分布和带位置参数的柯西分布的 pdf 曲线的差异μ=0和尺度参数σ=1. 从图中可以看出,尾部的柯西分布的概率密度远高于高斯分布,而在中心附近的区域,柯西分布的概率密度要低得多。

就峰态而言,重尾分布的峰态大于 3(参见第 4 章,公式 (4.40)),称为细峰态,与中峰态分布(峰态=3) 和 platykurtic 分布 (kurtosis<3)。由于单变量重尾分布是其多元对应物的基础,并且即使在多变量情况下,它们的密度特性也已被证明是有用的,我们将从介绍一些单变量重尾分布开始。然后我们将继续分析它们的多元对应物及其尾部行为。

统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Generalised Hyperbolic Distribution

广义双曲线分布由 Barndorff-Nielsen 引入,并首先应用于模拟风吹砂的粒度分布。今天,它最重要的用途之一是股票价格建模和市场风险测量。分布的名称来源于它的对数密度形成双曲线,而正态分布的对数密度是抛物线(图 4.7)。

一维广义双曲线 (GH) 分布的密度X∈R是

\begin{对齐} &f_{\mathrm{GH}}(x ; \lambda, \alpha, \beta, \delta, \mu) \&\quad=\frac{\left(\sqrt{\alpha^{2 }-\beta^{2}}/\delta\right)^{\lambda}}{\sqrt{2\pi} K_{\lambda}\left(\delta\sqrt{\alpha^{2}-\ beta^{2}}\right)}\frac{K_{\lambda-1/2}\left{\alpha\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}\right }}{\left.\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}/\alpha\right)^{1/2-\lambda}} e^{\beta(x -\mu)} \end{对齐}\begin{对齐} &f_{\mathrm{GH}}(x ; \lambda, \alpha, \beta, \delta, \mu) \&\quad=\frac{\left(\sqrt{\alpha^{2 }-\beta^{2}}/\delta\right)^{\lambda}}{\sqrt{2\pi} K_{\lambda}\left(\delta\sqrt{\alpha^{2}-\ beta^{2}}\right)}\frac{K_{\lambda-1/2}\left{\alpha\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}\right }}{\left.\sqrt{\delta^{2}+(x-\mu)^{2}}/\alpha\right)^{1/2-\lambda}} e^{\beta(x -\mu)} \end{对齐}
在哪里ķλ是具有索引的第三类修正贝塞尔函数λ

ķλ(X)=12∫0∞是λ−1和−12(是+是−1)d是
参数的变化域是μ∈R和

d≥0,|b|<一个, 如果 λ>0 d>0,|b|<一个, 如果 λ=0 d>0,|b|≤一个, 如果 λ<0
广义双曲线分布具有以下均值和方差

\begin{对齐} \mathrm{E}[X]=& \mu+\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}} \frac{K_{\ lambda+1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2} -\beta^{2}}\right)} \ \operatorname{Var}[X]=& \delta^{2}\left[\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \sqrt{ \alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} K_{\lambda}\left(\delta \sqrt {\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}+\frac{\beta^{2}}{\alpha^{2}-\beta^{2}}\left[\frac {K_{\lambda+2}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha ^{2}-\beta^{2}}\right)}\right.\right.\ &\left.\left.-\left{\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \ sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right )}\right}^{2}\right]\right] \end{对齐}\begin{对齐} \mathrm{E}[X]=& \mu+\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}} \frac{K_{\ lambda+1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2} -\beta^{2}}\right)} \ \operatorname{Var}[X]=& \delta^{2}\left[\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \sqrt{ \alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}} K_{\lambda}\left(\delta \sqrt {\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}+\frac{\beta^{2}}{\alpha^{2}-\beta^{2}}\left[\frac {K_{\lambda+2}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha ^{2}-\beta^{2}}\right)}\right.\right.\ &\left.\left.-\left{\frac{K_{\lambda+1}\left(\delta \ sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)}{K_{\lambda}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right )}\right}^{2}\right]\right] \end{对齐}
在哪里μ和d分别在密度的位置和尺度上起重要作用。具有特定值λ,我们获得了 GH 的不同子类,例如双曲线 (HYP) 或正反高斯 (NIG) 分布。
为了λ=1我们获得双曲线分布(HYP)

f_{\mathrm{HYP}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}}{2 \alpha \ delta K_{1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)} e^{\left{-\alpha \sqrt{\delta^{2}+ (x-\mu)^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}f_{\mathrm{HYP}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}}{2 \alpha \ delta K_{1}\left(\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}\right)} e^{\left{-\alpha \sqrt{\delta^{2}+ (x-\mu)^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}
在哪里X,μ∈R,d≥0和|b|<一个. 为了λ=−1/2我们得到 NIG 分布

f_{\mathrm{NIG}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\alpha \delta}{\pi} \frac{K_{1}\left(\alpha \sqrt {\left.\left(\delta^{2}+(x-\mu)^{2}\right)\right)}\right.}{\sqrt{\delta^{2}+(x-\ mu)^{2}}} e^{\left{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}f_{\mathrm{NIG}}(x ; \alpha, \beta, \delta, \mu)=\frac{\alpha \delta}{\pi} \frac{K_{1}\left(\alpha \sqrt {\left.\left(\delta^{2}+(x-\mu)^{2}\right)\right)}\right.}{\sqrt{\delta^{2}+(x-\ mu)^{2}}} e^{\left{\delta \sqrt{\alpha^{2}-\beta^{2}}+\beta(x-\mu)\right}}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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