统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|ENGG 202

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|ENGG 202

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|TYPE-II BETA DISTRIBUTION

Beta distribution of the second kind (also called type-II beta distribution, beta-prime distribution, or inverted beta distribution (IBD)) is obtained from the above by the transformation $Y=X /(1-X)$ or equivalently $X=Y /(1+Y)$. When $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$, and when $x \rightarrow 1$, $y \rightarrow \infty$. Hence, the range of $Y$ is from 0 to $\infty$. The PDF is given by
$$
f(y ; a, b)=y^{a-1} /\left[B(a, b)(1+y)^{a+b}\right], \quad y>0, a, b>0 .
$$
The Beta-I distribution is used to model random experiments or occurrences that vary between two finite limits, that are mapped to the $(0,1)$ range, while Beta-II is used when upper limit is infinite. It is also used in risk analysis in finance and marketing, etc.

Put $a=b=1$ to get Beta( $(1,1)$, which is identical to $\mathrm{U}(0,1)$ distribution. If $X$ is Beta$\mathrm{I}(a, b)$ then $(1-X) / X$ is $\operatorname{Beta}-\mathrm{II}(b, a)$, and $X /(1-X)$ is $\operatorname{Beta-II}(a, b)$. If $X$ and $Y$ are independent gamma random variables GAMMA $(a, \lambda)$ and GAMMA $(b, \lambda)$, then $X /(X+Y)$ is $\operatorname{Beta}(a, b)$. As gamma and $\chi^{2}$ are related, this result can also be stated in terms of normal variates as follows. If $X$ and $Y$ are independent normal variates, then $Z=X^{2} /\left(X^{2}+Y^{2}\right)$ is Beta-I distributed. In addition, if $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{k}$ are IID $N(0,1)$ and $Z_{1}=X_{1}^{2} /\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}\right)$, $Z_{2}=\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}\right) /\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\right)$, and so on, $Z_{j}=\sum_{i=1}^{j} X_{i}^{2} / \sum_{i=1}^{j+1} X_{i}^{2}$, then each of them are Beta-I distributed, as also the product of any consecutive set of $Z_{j}^{\prime}$ s are beta distributed. The logistic distribution and type II beta distribution are related as $Y=-\ln (\mathrm{X})$. If $X$ is $\mathrm{Beta}-\mathrm{I}(a, b)$ then $Y=\ln (X /(1-X))$ has a generalized logistic distribution. Dirichlet distribution is a gencralization of beta distribution. Order statistic from uniform distribution is beta distributed. In general, $j^{t h}$ highest order statistic from a uniform distribution is $\operatorname{Beta}-\mathrm{I}(j, n-j+1)$.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|MOMENTS AND GENERATING FUNCTIONS OF TYPE-II BETA

The mean and variance are $\mu=a /(b-1)$ and $\sigma^{2}=a(a+b-1) /\left[(b-1)^{2}(b-2)\right]$ for $b>2$. Consider $\mathrm{E}\left(Y^{k}\right)$
$$
\int_{0}^{\infty} y^{k} f_{y}(a, b) d y=\int_{0}^{\infty} y^{a+k-1} /\left[B(a, b)(1+y)^{a+b}\right] d y
$$
Put $x=y /(1+y)$ so that $y=x /(1-x),(1+y)=1 /(1-x)$ and $d y / d x=[(1-x)-$ $x(-1)] /(1-x)^{2}$. This simplifies to $1 /(1-x)^{2}$. The range of $X$ is $[0,1]$. Hence, $(4.22)$ becomes
$$
(1 / B(a, b)) \int_{0}^{\infty} y^{a+k-1} /(1+y)^{a+b} d y=(1 / B(a, b)) \int_{0}^{1} x^{a+k-1}(1-x)^{b-k-1} d x .
$$
This is $B(a+k, b-k) / B(a, b)$. Put $k=1$ to get the mean as $\Gamma(a+1) \Gamma(b-1) \Gamma(a+$ b) $/[\Gamma(a) \Gamma(b) \Gamma(a+b)]$. Write $\Gamma(a+1)=a \Gamma(a)$ in the numerator, and $\Gamma(b)=(b-1) \Gamma(b-$ 1) in the denominator and cancel out common factors to get $\mu=a /(b-1)$. Put $k=2$ to get the second moment as $B(a+2, b-2) / B(a, b)=\Gamma(a+2) \Gamma(b-2) \Gamma(a+b) /[\Gamma(a) \Gamma(b) \Gamma(a+$ $b)]=a(a+1) /[(b-1)(b-2)]$. From this the variance is obtained as $a(a+1) /[(b-1)(b-$ 2)] $-a^{2} /(b-1)^{2}$. Take $\mu=a /(b-1)$ as a common factor. This can now be written as $\mu\left(\frac{a+1}{b-2}-\mu\right)$. Substitute for $\mu$ inside the bracket and take $(b-1)(b-2)$ as common denominator. The numerator simplifies to $b-a+2 a-1=(a+b-1)$. Hence, the variance becomes $\sigma^{2}=a(a+b-1) /\left[(b-1)^{2}(b-2)\right]$. As $(a+1) /(b-2)-\mu=(a+b) /[(b-1)(b-2)]$, this expression is valid for $b>2$. Unlike the Beta-I distribution whose variance is always bounded, the variance of Beta-II can be increased arbitrarily by keeping b constant (say near $\left.2^{+}\right)$and letting $a \rightarrow \infty$. It can also be decreased arbitrarily when $(a+1) /(b-2)$ tends to $\mu=a /(b-1)$. The expectation of $[X /(1-X)]^{k}$ is easy to compute in terms of complete gamma function as $\mathrm{E}[X /(1-X)]^{k}=\frac{\Gamma(a+k) \Gamma(b-k)}{\Gamma(a) \Gamma(b)}$. See Table $4.2$ for further properties.

Example 4.14 The mode of Beta-II distribution Prove that the mode of Beta-II distribution is $(a-1) /(b+1)$.
Solution 4.15 Differentiate the PDF (without constant multiplier) w.r.t. $y$ to get
$$
f^{\prime}(y)=\left[(1+y)^{a+b}(a-1) y^{a-2}-y^{a-1}(a+b)(1+y)^{a+b-1}\right] /(1+y)^{2(a+b)}
$$

Equate the numerator to zero and solve for $y$ to get $y[a+b-a+1]=(a-1)$, or $y=(a-$ 1) $/(b+1)$As the Beta-I random variable takes values in $[0,1]$, any CDF can be substituted for $x$ to get a variety of new distributions (Chattamvelli (2012) [36]). For instance, put $x=\Phi(x)$, the CDF of a normal variate to get the beta-normal distribution with PDF
$$
f(x ; a, b)=(1 / B[a, b]) \phi(x)[\Phi(x)]^{a-1}[1-\Phi(x)]^{b-1}
$$

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|TAIL AREAS USING IBF

Tail areas of several statistical distributions are related to the beta CDF, as discussed below. The survival function of a binomial distribution $\operatorname{BINO}(n, p)$ is related to the left tail areas of Beta-I distribution as:
$$
\sum_{x=a}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \
x
\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}=\mathrm{I}{p}(a, n-a+1) $$ Using the symmetry relationship, the CDF becomes $$ \sum{x=0}^{a-1}\left(\begin{array}{l}
n \
x
\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}=\mathrm{I}_{q}(n-a+1, a) .
$$

When both $a$ and $b$ are integers, this has a compact representation as
$$
\mathrm{I}{x}(a, b)=1-\sum{k=0}^{a-1}\left(\begin{array}{c}
a+b-1 \
k
\end{array}\right) x^{k}(1-x)^{a+b-1-k} .
$$
The survival function of negative binomial distribution is related as follows:
$$
\sum_{x=a}^{n}\left(\begin{array}{c}
n+x-1 \
x
\end{array}\right) p^{n} q^{x}=\mathrm{I}{q}(a, n)=1-\mathrm{I}{p}(n, a)
$$
The relationship between the CDF of central $F$ distribution and the IBF is
$$
\mathrm{F}{m, n}(x)=\mathrm{I}{y}(m / 2, n / 2),
$$
where $(m, n)$ are the numerator and denominator $\mathrm{DoF}$ and $y=m x /(n+m x)$. Similarly, Student’s $t$ CDF is evaluated as
$$
\mathrm{T}{n}(t)=(1 / 2)\left(1+\operatorname{sign}(\mathrm{t}) \mathrm{I}{x}(1 / 2, n / 2)\right)=(1 / 2)\left(1+\operatorname{sign}(\mathrm{t})\left[1-\mathrm{I}_{y}(n / 2,1 / 2)\right]\right),
$$
where $x=t^{2} /\left(n+t^{2}\right), y=1-x=n /\left(n+t^{2}\right), \operatorname{sign}(\mathrm{t})=+1$ if $\mathrm{t}>0,-1$ if $\mathrm{t}<0$ and is zero for $t=0$.

The IBF is related to the tail areas of binomial, negative binomial, Student’s $t$, central $F$ distributions. It is also related to the confluent hypergeometric function, generalized logistic distribution, the distribution of order statistics from uniform populations, and the Hotelling’s $\mathrm{T}^{2}$ statistic. The hypergeometric function can be approximated using the IBF also [145]. The Dirichlet (and its inverse) distribution can be expressed in terms of IBF [140]. It is related to the CDF of noncentral distributions. For instance, the CDF of singly noncentral beta (Seber (1963) [121]), singly type-II noncentral beta, and doubly noncentral beta (Chattamvelli (1995) [31]), noncentral T (Chattamvelli (2012) [36], Craig (1941) [48]), noncentral F (Chattamvelli (1996) [33], Patnaik (1949) [107]), and the sample multiple correlation coefficient (Ding and Bargmann (1991) [53], Ding (1996) [52]) could all be evaluated as infinite mixtures of IBF. It is used in string theory to calculate and reproduce the scattering amplitude in terms of Regge trajectories, and to model properties of strong nuclear force.

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工程统计代考

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|TYPE-II BETA DISTRIBUTION

第二类 Beta 分布(也称为 II 型 beta 分布、beta-prime 分布或倒置 beta 分布 (IBD))由上述变换得到是=X/(1−X)或等效地X=是/(1+是). 什么时候X→0,是→0, 什么时候X→1, 是→∞. 因此,范围是是从 0 到∞. PDF由下给出

F(是;一个,b)=是一个−1/[乙(一个,b)(1+是)一个+b],是>0,一个,b>0.
Beta-I 分布用于模拟在两个有限限制之间变化的随机实验或事件,这些限制映射到(0,1)范围,而 Beta-II 用于上限为无限时。它还用于金融和营销等领域的风险分析。

放一个=b=1获得 Beta((1,1), 这等同于在(0,1)分配。如果X是贝塔我(一个,b)然后(1−X)/X是贝塔−我我(b,一个), 和X/(1−X)是乙和吨一个-我我⁡(一个,b). 如果X和是是独立的伽马随机变量 GAMMA(一个,λ)和伽玛(b,λ), 然后X/(X+是)是贝塔⁡(一个,b). 作为伽马和χ2是相关的,这个结果也可以用正态变量表示如下。如果X和是是独立的正态变量,那么从=X2/(X2+是2)是 Beta-I 分布的。此外,如果X1,X2,…,Xķ是 IIDñ(0,1)和从1=X12/(X12+X22), 从2=(X12+X22)/(X12+X22+X32), 等等,从j=∑一世=1jX一世2/∑一世=1j+1X一世2,那么它们中的每一个都是 Beta-I 分布的,也是任何连续集合的乘积从j′s 是 beta 分布的。Logistic 分布和 II 型 beta 分布相关为是=−ln⁡(X). 如果X是乙和吨一个−我(一个,b)然后是=ln⁡(X/(1−X))具有广义的逻辑分布。Dirichlet 分布是 beta 分布的一般化。来自均匀分布的订单统计量是 beta 分布的。一般来说,j吨H来自均匀分布的最高阶统计量是贝塔−我(j,n−j+1).

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|MOMENTS AND GENERATING FUNCTIONS OF TYPE-II BETA

均值和方差是μ=一个/(b−1)和σ2=一个(一个+b−1)/[(b−1)2(b−2)]为了b>2. 考虑和(是ķ)

∫0∞是ķF是(一个,b)d是=∫0∞是一个+ķ−1/[乙(一个,b)(1+是)一个+b]d是
放X=是/(1+是)以便是=X/(1−X),(1+是)=1/(1−X)和d是/dX=[(1−X)− X(−1)]/(1−X)2. 这简化为1/(1−X)2. 的范围X是[0,1]. 因此,(4.22)变成

(1/乙(一个,b))∫0∞是一个+ķ−1/(1+是)一个+bd是=(1/乙(一个,b))∫01X一个+ķ−1(1−X)b−ķ−1dX.
这是乙(一个+ķ,b−ķ)/乙(一个,b). 放ķ=1得到平均值Γ(一个+1)Γ(b−1)Γ(一个+b)/[Γ(一个)Γ(b)Γ(一个+b)]. 写Γ(一个+1)=一个Γ(一个)在分子中,和Γ(b)=(b−1)Γ(b−1)在分母中消去公因数得到μ=一个/(b−1). 放ķ=2得到第二个时刻乙(一个+2,b−2)/乙(一个,b)=Γ(一个+2)Γ(b−2)Γ(一个+b)/[Γ(一个)Γ(b)Γ(一个+ b)]=一个(一个+1)/[(b−1)(b−2)]. 由此得出方差为一个(一个+1)/[(b−1)(b− 2)] −一个2/(b−1)2. 拿μ=一个/(b−1)作为一个共同因素。现在可以写成μ(一个+1b−2−μ). 替代品μ在括号内并采取(b−1)(b−2)作为共同点。分子简化为b−一个+2一个−1=(一个+b−1). 因此,方差变为σ2=一个(一个+b−1)/[(b−1)2(b−2)]. 作为(一个+1)/(b−2)−μ=(一个+b)/[(b−1)(b−2)], 这个表达式适用于b>2. 与方差总是有界的 Beta-I 分布不同,Beta-II 的方差可以通过保持 b 恒定(比如在2+)并让一个→∞. 也可以任意减少(一个+1)/(b−2)倾向于μ=一个/(b−1). 的期望[X/(1−X)]ķ很容易根据完整的伽马函数计算为和[X/(1−X)]ķ=Γ(一个+ķ)Γ(b−ķ)Γ(一个)Γ(b). 见表4.2进一步的属性。

例 4.14 Beta-II 分布的模式 证明 Beta-II 分布的模式是(一个−1)/(b+1).
解决方案 4.15 区分 PDF(没有常数乘数)wrt是要得到

F′(是)=[(1+是)一个+b(一个−1)是一个−2−是一个−1(一个+b)(1+是)一个+b−1]/(1+是)2(一个+b)

使分子等于零并求解是要得到是[一个+b−一个+1]=(一个−1), 或者是=(一个− 1) /(b+1)由于 Beta-I 随机变量取值[0,1], 任何 CDF 都可以代替X获得各种新的分布(Chattamvelli (2012) [36])。例如,放X=披(X), 正态变量的 CDF 以获得具有 PDF 的 beta 正态分布

F(X;一个,b)=(1/乙[一个,b])φ(X)[披(X)]一个−1[1−披(X)]b−1

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|TAIL AREAS USING IBF

几个统计分布的尾部区域与 beta CDF 相关,如下所述。二项分布的生存函数这个⁡(n,p)与 Beta-I 分布的左尾区域相关为:

∑X=一个n(n X)pXqn−X=我p(一个,n−一个+1)使用对称关系,CDF 变为

∑X=0一个−1(n X)pXqn−X=我q(n−一个+1,一个).

当两个一个和b是整数,这有一个紧凑的表示为

我X(一个,b)=1−∑ķ=0一个−1(一个+b−1 ķ)Xķ(1−X)一个+b−1−ķ.
负二项分布的生存函数关系如下:

∑X=一个n(n+X−1 X)pnqX=我q(一个,n)=1−我p(n,一个)
中央CDF之间的关系F分布和 IBF 是

F米,n(X)=我是(米/2,n/2),
在哪里(米,n)是分子和分母D○F和是=米X/(n+米X). 同样,学生吨CDF 被评估为

吨n(吨)=(1/2)(1+符号⁡(吨)我X(1/2,n/2))=(1/2)(1+符号⁡(吨)[1−我是(n/2,1/2)]),
在哪里X=吨2/(n+吨2),是=1−X=n/(n+吨2),符号⁡(吨)=+1如果吨>0,−1如果吨<0并且为零吨=0.

IBF 与二项式、负二项式、Student’s 的尾部区域有关吨, 中央F分布。它还与汇合的超几何函数、广义逻辑分布、均匀总体的顺序统计分布以及 Hotelling 的吨2统计。超几何函数也可以使用 IBF 来近似 [145]。Dirichlet(及其逆)分布可以用 IBF [140] 来表示。它与非中心分布的 CDF 有关。例如,单非中心 beta (Seber (1963) [121])、单 II 型非中心 beta 和双重非中心 beta (Chattamveli (1995) [31])、非中心 T (Chattamveli (2012) [36] 的 CDF , Craig (1941) [48]), noncentral F (Chattamveli (1996) [33], Patnaik (1949) [107]) 和样本多重相关系数 (Ding and Bargmann (1991) [53], Ding (1996) ) [52]) 都可以被评估为 IBF 的无限混合。它在弦理论中用于根据雷格轨迹计算和再现散射幅度,并模拟强核力的特性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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