统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|STAT 2201

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|STAT 2201

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|RELATION TO OTHER DISTRIBUTIONS

It is a special case of gamma distribution with $m=1$ (Chapter 6), and Weibull distribution. The Rosin-Rammler-Bennett (RRB) distribution used in mineral engineering is a special case of one-parameter exponential distribution. If $X \sim \operatorname{EXP}(\lambda)$, and $b$ is a constant, then $Y=X^{1 / b} \sim \operatorname{WEIB}(\lambda, b)$. The sum of $n$ IID exponential variates with the same parameter is gamma (also called Erlang) distributed, and with different parameters has a hyper-exponential distribution. Similarly, if $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ are IID $\operatorname{EXP}(\lambda)$ and $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}$, then $\operatorname{Pr}\left[S_{n}<t<S_{n+1}\right]$ has a Poisson distribution with parameter $\lambda t$. It is also related to the $\mathrm{U}(0,1)$ distribution, and power-law distribution, which is another discrete analogue of this distribution [34]. The extreme value distribution can be considered as a nonlinear generalization of $\operatorname{EXP}(\lambda)$. Its relationship with zero-truncated Poisson (ZTP) distribution is used to generate random numbers [98]. If $X_{1}$ and $X_{2}$ are IID $\operatorname{EXP}(\lambda)$, then $Y=X_{1} /\left(X_{1}+X_{2}\right) \sim \mathrm{U}(0,1)$. This has the implication that “if two random numbers between 0 and 1 are chosen from $\mathrm{U}(0,1)$, the ratio of one of them to their sum is more likely to be close to half; but when the two numbers are chosen from an exponential distribution, the same ratio is uniform between 0 and 1 .” Putting $Y=1 / X$ results in the inverse exponential distribution (Figure 3.2) with PDF
$$
f(y ; \lambda)=\left(\lambda / y^{2}\right) \exp (-\lambda / y)
$$
If $X_{1}$ and $X_{2}$ are IID EXP(1) random variables, $Y=X_{1}-X_{2}$ has standard Laplace distribution. A mixture of exponential distributions with gamma mixing weights gives rise to Lomax distribution.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|PROPERTIES OF EXPONENTIAL DISTRIBUTION

This distribution has a single parameter, which is positive. It is a reverse-J shaped distribution which is always positively skewed (see Figure 3.1; page 28). Variance of this distribution is the square of the mean, as shown below. This means that when $\lambda \rightarrow 0$, the variance and kurtosis increases without limit (see Figure 3.1; page 28). The CDF is given by
$$
F(x ; \lambda)=\left{\begin{array}{cl}
1-\exp (-\lambda x), x \geq 0 & \
0 & \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
The SF is $S(x ; \lambda)=1-\mathrm{CDF}=\exp (-\lambda x)$, so that $f(x ; \lambda)=\lambda S(x ; \lambda)$. From this the hazard function is obtained as
$$
h(x)=f(x) /[1-F(x)]=f(x) / S(x)=\lambda,
$$

which is constant. When a device or an equipment approximately exhibits constant hazard rate, it is an indication that the $\operatorname{EXP}(\lambda)$ may be a good choice to model the lifetime. If $x_{\alpha}$ is the $\alpha^{\text {th }}$ percentage point, $\alpha=1-\exp \left(-\lambda x_{\alpha}\right)$ from which $x_{\alpha}=-\log (1-\alpha) / \lambda$

Problem 3.1 A left-truncated exponential distribution with truncation point $c$ has PDF $f(x ; \lambda)=\lambda e^{-\lambda x} /\left[1-e^{-c \lambda}\right]$ for $x>c$. Obtain the mean and variance.

Problem 3.2 Prove that the exponential distribution is the continuous-time analog of the geometric distribution.

Solution 3.3 Let $T$ denote the lifetime of a non-repairable item (like light-bulbs, transistors, micro-batteries used in watches, etc.) that wears out over time. Divide $T$ into discrete time units of equal duration $($ say $c)$. This duration may be counted in hours for light bulbs, days for transistors, and so on. Thus, the time-clicks are counted in unit multiples of $c$ (say 1200 hours for light bulbs). Let $N$ denote the number of time-clicks until the item fails, so that $T=N c$. This equation connects the continuous lifetime with discrete time-clicks. Assume that $N$ has a geometric distribution $\mathrm{GEO}(c \lambda)$ where $c \lambda$ denotes the failure probability for each time-click. Then $\operatorname{Pr}[N=n]=(1-c \lambda)^{n-1}(c \lambda)$, where $(1-c \lambda)^{n-1}$ denotes the probability that the unit did not fail during the first $(n-1)$ time-clicks. As the $\mathrm{SF}$ of $T$ is $\operatorname{Pr}[T>k]=\operatorname{Pr}[N c>k]=$ $\operatorname{Pr}[N>\lfloor k / c\rfloor]=(1-c \lambda)^{\lfloor k / c\rfloor}$, where the integer part is taken because $N$ is discrete. This is of the form $(1-\lambda / m)^{m}$, which as $m \rightarrow \infty$ tends to $\exp (-\lambda)$ with $m=1 / c$. As $c \rightarrow 0$, the SF approaches $\exp (-k \lambda)$, which is the SF of exponential distribution.

Problem 3.4 If $X \sim E X P(\lambda)$, find (i) $\operatorname{Pr}[1 \leq X \leq 2]$ and (ii) $\operatorname{Pr}[X \geq x]$ when $\lambda=\ln (2)$.
Problem 3.5 If $\mathrm{X} \sim \mathrm{EXP}(\lambda)$ and $\mathrm{Y} \sim \operatorname{EXP}(\mu)$ prove that $\operatorname{Pr}(X<Y)=\lambda /(\lambda+\mu)$.
This distribution represents the time for a continuous process to change state (from working to non-working, from infected to recovery, detected to non-detected or vice versa). For example, the time between detection of radioactivity by a Geiger counter (absence to presence) is approximately exponentially distributed.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|RANDOM NUMBERS

The easiest way to generate random numbers is using the inverse CDF method. As the quantiles of the distribution are given by $u=F(x)=1-\exp (-\lambda x)$, we get $x=F^{-1}(u)=-\log (1-$ $u) / \lambda$. This becomes $-\theta \log (1-u)$ for the alternate form $f(x, \theta)=(1 / \theta) \exp (-x / \theta)$. As $U(0,1)$ and $1-U$ are identically distributed (page 20 ), we could generate a random number in $[0,1$ ) and obtain $u=-\log (u) / \lambda$ as the required random number (Marsaglia (1961) [98]).

Problem $3.41$ If $X, Y$ are IID $\operatorname{EXP}(1 / 2)$, prove that $Z=(X-Y) / 2$ is Laplace distributed.
Problem 3.42 Find $k$ for the PDF $f(x)=k x^{-p} \exp (-c / x), \quad 00, p>1$.
Show that the $r^{t h}$ moment is $E\left(x^{r}\right)=c^{r} \Gamma(p-r+1) / \Gamma(p-1)$ for $r \leq(p+1)$.
Example 3.43 Mean deviation of exponential distribution Find the mean deviation of the exponential distribution $\mathrm{f}(\mathrm{x}, \lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$.
Solution 3.44 We know that the CDF is $1-e^{-\lambda x}$. Thus, the MD is given by
$$
\mathrm{MD}=2 \int_{0}^{1 / \lambda}\left(1-e^{-\lambda x}\right) d x
$$
Split this into two integrals and evaluate each to get
$$
\mathrm{MD}=2[1 / \lambda+(1 / \lambda) \exp (-1)-(1 / \lambda)]=2 /(e \lambda)=2 \mu_{2} * f_{m}
$$
where $f_{m}=\lambda e^{-1}=\lambda / e$. Alternatively, use the $\mathrm{SF}()$ version as the exponential distribution tails off to the upper limit.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|STAT 2201

工程统计代考

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|RELATION TO OTHER DISTRIBUTIONS

这是伽马分布的一个特例米=1(第 6 章)和 Weibull 分布。矿物工程中使用的 Rosin-Rammler-Bennett (RRB) 分布是单参数指数分布的一种特殊情况。如果X∼经验值⁡(λ), 和b是一个常数,那么是=X1/b∼女士⁡(λ,b). 总数是n具有相同参数的 IID 指数变量是 gamma(也称为 Erlang)分布,而具有不同参数的 IID 指数变量具有超指数分布。同样,如果X1,X2,…,Xn是 IID经验值⁡(λ)和小号n=X1+X2+⋯+Xn, 然后公关⁡[小号n<吨<小号n+1]具有带参数的泊松分布λ吨. 这也与在(0,1)分布和幂律分布,这是该分布的另一个离散模拟[34]。极值分布可以看作是经验值⁡(λ). 它与零截断泊松 (ZTP) 分布的关系用于生成随机数 [98]。如果X1和X2是 IID经验值⁡(λ), 然后是=X1/(X1+X2)∼在(0,1). 这意味着“如果从 0 和 1 之间选择两个随机数在(0,1),其中一个与其总和的比率更可能接近一半;但是当这两个数字是从指数分布中选择时,相同的比率在 0 和 1 之间是一致的。” 推杆是=1/X导致反指数分布(图 3.2)与 PDF

F(是;λ)=(λ/是2)经验⁡(−λ/是)
如果X1和X2是 IID EXP(1) 随机变量,是=X1−X2具有标准的拉普拉斯分布。指数分布与 gamma 混合权重的混合产生 Lomax 分布。

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|PROPERTIES OF EXPONENTIAL DISTRIBUTION

这个分布有一个参数,它是正的。它是一个反向 J 形分布,始终呈正偏态(参见图 3.1;第 28 页)。该分布的方差是均值的平方,如下所示。这意味着当λ→0,方差和峰度无限增加(参见图 3.1;第 28 页)。CDF 由
$$
F(x ; \lambda)=\left{给出

1−经验⁡(−λX),X≥0 0 否则。 \正确的。

吨H和小号F一世s$小号(X;λ)=1−CDF=经验⁡(−λX)$,s○吨H一个吨$F(X;λ)=λ小号(X;λ)$.Fr○米吨H一世s吨H和H一个和一个rdF在nC吨一世○n一世s○b吨一个一世n和d一个s
h(x)=f(x) /[1-F(x)]=f(x) / S(x)=\lambda,
$$

这是恒定的。当一个装置或设备大致表现出恒定的危险率时,它表明经验值⁡(λ)可能是一个很好的选择来模拟寿命。如果X一个是个一个th 百分点,一个=1−经验⁡(−λX一个)从中X一个=−日志⁡(1−一个)/λ

问题 3.1 具有截断点的左截断指数分布C有PDFF(X;λ)=λ和−λX/[1−和−Cλ]为了X>C. 获得均值和方差。

问题 3.2 证明指数分布是几何分布的连续时间模拟。

解决方案 3.3 让吨表示随着时间的推移而磨损的不可修复物品(如灯泡、晶体管、手表中使用的微型电池等)的使用寿命。划分吨成等长的离散时间单位(说C). 对于灯泡,这个持续时间可以用小时来计算,对于晶体管来说,可以用天来计算,等等。因此,点击次数以单位倍数计算C(比如灯泡需要 1200 小时)。让ñ表示直到项目失败的时间点击次数,因此吨=ñC. 该方程将连续寿命与离散时间点击联系起来。假使,假设ñ有几何分布G和○(Cλ)在哪里Cλ表示每次点击的失败概率。然后公关⁡[ñ=n]=(1−Cλ)n−1(Cλ), 在哪里(1−Cλ)n−1表示该单元在第一次失败的概率(n−1)时间点击。作为小号F的吨是公关⁡[吨>ķ]=公关⁡[ñC>ķ]= 公关⁡[ñ>⌊ķ/C⌋]=(1−Cλ)⌊ķ/C⌋, 取整数部分是因为ñ是离散的。这是形式(1−λ/米)米,它作为米→∞倾向于经验⁡(−λ)和米=1/C. 作为C→0, SF 方法经验⁡(−ķλ),即指数分布的 SF。

问题 3.4 如果X∼和X磷(λ), 找到 (i)公关⁡[1≤X≤2](ii)公关⁡[X≥X]什么时候λ=ln⁡(2).
问题 3.5 如果X∼和X磷(λ)和是∼经验值⁡(μ)证明公关⁡(X<是)=λ/(λ+μ).
此分布表示连续过程更改状态的时间(从工作到非工作,从感染到恢复,检测到未检测到,反之亦然)。例如,盖革计数器检测到放射性之间的时间(从不存在到存在)大致呈指数分布。

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|RANDOM NUMBERS

生成随机数的最简单方法是使用逆 CDF 方法。由于分布的分位数由下式给出在=F(X)=1−经验⁡(−λX),我们得到X=F−1(在)=−日志⁡(1− 在)/λ. 这变成−θ日志⁡(1−在)对于替代形式F(X,θ)=(1/θ)经验⁡(−X/θ). 作为在(0,1)和1−在同分布(第 20 页),我们可以在[0,1) 并获得在=−日志⁡(在)/λ作为所需的随机数(Marsaglia (1961) [98])。

问题3.41如果X,是是 IID经验值⁡(1/2), 证明从=(X−是)/2是拉普拉斯分布。
问题 3.42 查找ķ对于 PDFF(X)=ķX−p经验⁡(−C/X),00,p>1.
表明r吨H时刻是和(Xr)=CrΓ(p−r+1)/Γ(p−1)为了r≤(p+1).
示例 3.43 指数分布的平均偏差 求指数分布的平均偏差F(X,λ)=λ和−λX.
解 3.44 我们知道 CDF 是1−和−λX. 因此,MD 由下式给出

米D=2∫01/λ(1−和−λX)dX
将其分成两个积分并评估每个积分以获得

米D=2[1/λ+(1/λ)经验⁡(−1)−(1/λ)]=2/(和λ)=2μ2∗F米
在哪里F米=λ和−1=λ/和. 或者,使用小号F()版本随着指数分布逐渐接近上限。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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