统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|“Student’s” t-Distribution

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统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|“Student’s” t-Distribution

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|“Student’s” t-Distribution

W. S. Gossett, publishing his work under the pseudonym “Student,” developed the $t$-distribution. The statistic would become the basis for the $t$-test so widely used for the evaluation of engineering data.

The $t$-statistic is very similar to the standard normal $z$-statistic, but instead of using the true population mean and standard deviation, it uses the sample standard deviation.
$$
T=\frac{X-\mu}{s}
$$
Because it is based on sample data, not the entire population, the degrees of freedom $\nu$ is one less than the number of data used to calculate the sample average and $s$
$$
v=n-1
$$
Relative to the $z$-statistic, the $t$-statistic includes the uncertainty on both the sample average and sample standard deviation. Both the $z$ – and t-statistics are dimensionless regardless of the units on the variable $X$.
The random variable $t$ has the probability density function below:
$$
\begin{gathered}
f(t)=\frac{1}{\sqrt{v \pi}} \frac{\Gamma((v+1) / 2)}{\Gamma(v / 2)}\left(1+\frac{t^{2}}{v}\right)^{-(v+1) / 2} \text { for }-\infty<t<\infty \
C D F(t)=F(t)=\frac{1}{\sqrt{v \pi}} \frac{\Gamma((v+1) / 2)}{\Gamma\left(\frac{v}{2}\right)} \int_{-\infty}^{t}\left(1+\frac{x^{2}}{v}\right)^{-(v+1) / 2} d x
\end{gathered}
$$

Note that $\Gamma(v / 2)$ is the gamma function. The gamma function is related to the factorial and is not the gamma probability density distribution. Like the $z$-distribution, the distribution of $t$ is bilaterally symmetric about $t=0$. The $t$-distribution is illustrated in Figure $3.11$ for two values of $v$, the degrees of freedom. The resulting bell-shaped distribution resembles that of the standard normal. However, more of the area under the $t$-distribution is in the “tails” of the distribution. In the limit of large $n$ (effectively $\nu$ greater than about 150) the $t$ – and standard normal distributions differ in the tenths of a percent.

The use of the $t$-distribution will be described in subsequent chapters in the sections discussing confidence intervals and tests of hypotheses for the mean of experimental distributions.

The cumulative $t$-distribution, $F(t)$ from Equation (3.60) can be calculated by the Excel function T.DIST $(t, v, 1)$ where $t$ is calculated from the sample data. Alternately, if you wanted to know the $t$-value that represents a probability limit then use the Excel function T.INV $(C D F, v)$ to return a $t$-value that would represent that $C D F$ value. Alternately, calculate $\alpha$, the level of significance, the extreme right-hand area, as $\alpha=1-F(t)=1-C D F$, then use the Excel function T.INV $(1-\alpha, v)$.

That represented a one-sided evaluation, which considered the area under the $t$-distribution from $-\infty$ up to a particular $t$-value. But often, we desire to know either the positive or negative extreme values for $t$, the ” $t$ ” or “- ” deviations from the central “0” value. You may want to know the range of $t$-values that includes the central $95 \%$ (or some confidence fraction C) of all expected values from sampling the population.
$$
P\left(t_{\text {negative limit }} \leq T \leq t_{\text {positive limit }}\right)=C
$$
Here, the level of significance is again the extreme area. If the $95 \%$ interval is desired $(C=$ $0.95$ ) then $\alpha=1-0.95=1-C$. Splitting the two tail areas equally, to define the central limits, use $\alpha / 2$ to represent both the far right and far left areas in the tails. Then we seek the $t$-value calculated with $F(t)=1-\alpha / 2$. The Excel function T.INV $(1-\alpha / 2, v)$ will return the $t$-value representing the positive extreme expected value, and $-T$.INV $(1-\alpha / 2, v)$ will return the negative extreme. This is termed a two-sided (historically a two-tailed) test, because we are seeking the limits of the central area. Alternately, $T$.INV.2T $(1-\alpha, v)$ returns the same value.

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|Chi-Squared Distribution

Let $Y_{\nu} Y_{2}, Y_{3}, \ldots, Y_{n}$ be independent random variables each distributed with mean 0 and variance 1 . The random variable chi-squared:
$$
\chi^{2}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}
$$
has the chi-squared probability density function with $v=n-1$ degrees of freedom
$$
f\left(\chi^{2}\right)=\frac{1}{2^{v / 2} \Gamma(v / 2)}\left[e^{-\chi^{2} / 2}\right]\left[\chi^{2}\right]^{(v / 2)-1} \text { for } 0 \leq \chi^{2} \leq \infty
$$
and cumulative distribution
$$
F\left(\chi^{2}\right)=\frac{1}{2^{v / 2} \Gamma(v / 2)} \int_{0}^{\chi^{2}} e^{-Y / 2}(Y)^{(v / 2)-1} d Y
$$
If $Y$ in Equation (3.62) is defined as $(X-\bar{X}) / \sigma$ then
$$
\chi^{2}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}
$$
Figure $3.12$ illustrates the probability density and cumulative chi-squared distributions, respectively. Values of the cumulative chi-squared $\left(\chi^{2}\right)$ distribution can be obtained from the Excel function $F\left(\chi^{2}\right)=\operatorname{CHISQ.DIST}\left(\chi^{2}, v, 1\right)$, and the $p d f$ by using $f\left(\chi^{2}\right)=$ CHISQ.DIST $\left(\chi^{2}, v, 0\right) .$

The inverse of the calculation, the value of $\chi^{2}$ given $F\left(x^{2}\right)$ and $v$ can be obtained by the Excel function $\chi^{2}=\mathrm{CHISQ} \cdot \mathrm{INV}(F, v)$.

Note: Some tables or procedures use $\chi^{2} / v$. Since Equation (3.62) indicates that $\chi^{2}$ increases linearly with $n$, and since degrees of freedom is often $v=n-1$, the scaling makes

sense. Mostly, this book will not scale $\chi^{2}$ by the degrees of freedom. But be aware that the use of either $\chi^{2} / v$ or $\chi^{2}$ is common.
The mean and variance of the chi-squared distribution are $v$ and $2 v$, respectively.
$$
\begin{gathered}
\mu=v \
\sigma=2 v
\end{gathered}
$$
So, if degrees of freedom is 10 , an average-like value of the $\chi^{2}$ statistic would be about 10 . $x^{2}=1$ would be an unexpectedly low value, and $\chi^{2}=20$ would be unexpectedly high.
This distribution has several applications, one of which is in calculating and evaluating probability intervals for single variances from normally distributed populations as shown in Chapters 5 and 6. The chi-squared distribution is also used as a nonparametric method of determining whether or not, based on sample data, a population has a particular distribution, as described in Chapter 7 . The chi-squared distribution goes from 0 to infinity, or $P\left(0 \leq \chi^{2} \leq \infty\right)=1 .$
The interval
$$
P\left(\chi_{v, \alpha / 2}^{2} \leq \chi^{2} \leq \chi_{v, 1-\alpha / 2}^{2}\right)=1-\alpha
$$
defines the values for the $\chi^{2}$-distribution such that equal areas are in each tail. The $x^{2}$-distribution is not symmetric about the mean as are the $Z$ – and $t$-distributions.

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|F-Distribution

The F-distribution (named in honor of Sir Ronald Fisher, who developed it) is the distribution of the random variable $F$, defined as
$$
F=\frac{U / v_{1}}{V / v_{2}}=\frac{\chi_{1}^{2} / v_{1}}{\chi_{2}^{2} / v_{2}}
$$
Using Equation (3.65) $\chi^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{v s^{2}}{\sigma^{2}}$
$$
F=\frac{s_{1}^{2} / \sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2} / \sigma_{2}^{2}}
$$
where $U$ and $V$ are independent variables distributed following the chi-squared distribution with $v_{1}$ and $v_{2}$ degrees of freedom, respectively. The symbol $F$ in Equation (3.69) does not represent any cumulative distribution but is a statistic, specifically, the ratio of two $\chi^{2}$ statistics, each scaled by their degrees of freedom. The probability density function of $F$ is
$$
f(F)=\frac{\Gamma\left(\left(v_{1}+v_{2}\right) / 2\right)}{\Gamma\left(v_{1} / 2\right) \Gamma\left(v_{2} / 2\right)}\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{v_{1} / 2} \frac{F^{\left(v_{1}-2\right) / 2}}{\left(1+\left(v_{1} / v_{2}\right) F\right)^{\left(v_{1}+v_{2}\right) / 2}}
$$
and the cumulative distribution of $F$ is
$$
C D F(F)=\int_{0}^{F} f(F) d F
$$

The family of F-distributions is a two-parameter family in $v_{1}$ and $v_{2}$. The shape of the F-distribution is skewed (more of the area under the curve to the left side of the nominal value, a longer tail to the right), as illustrated in Figure 3.13. The range of all members is from 0 to $\infty$. This distribution is used to evaluate equality of variances. The $F$-distribution is termed “robust” by statisticians, meaning that the results of such statistical comparisons are likely to be valid even if the underlying populations are not normally distributed. The uses of the F-distribution are explained in Chapters 5, 6, and $12 .$

Values of the $p d f(F)$ can be returned by the Excel function $p d f(F)=F$.DIST $\left(\chi_{1}^{2} / \chi_{2}^{2}, v_{1}, v_{2}, 0\right)$, and of the cumulative $F$-distribution by $\operatorname{CDF}(F)=F$.DIST $\left(\chi_{1}^{2} / \chi_{2}^{2}, v_{1}, v_{2}, 1\right)$. The inverse of the distribution returns the chi-squared ratio for a given $C D F$ value $\frac{\chi_{1}^{2}}{\chi_{2}^{2}}=F$ INV $\left(C D F, v_{1}, v_{2}\right)$.
If the chi-squared ratio is $3.58058$ and the numerator and denominator degrees of freedom are 6 and 8 , then the CDF value is $0.95$. If, however, you choose to call #1 as #2, then the chi-squared ratio would be $0.279284$, and the degrees of freedom would be 8 then 6 . With these reversed values the $C D F$ value is $0.05$ the complement to the first.

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工程统计代写

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|“Student’s” t-Distribution

WS Gossett 以笔名“学生”出版了他的作品,开发了吨-分配。该统计数据将成为吨-test 如此广泛地用于评估工程数据。

这吨-statistic 与标准正态非常相似和-statistic,但不是使用真实的总体均值和标准差,而是使用样本标准差。
吨=X−μs
因为它是基于样本数据,而不是整个人口,所以自由度ν比用于计算样本平均值的数据数量少 1,并且s
在=n−1
相对于和-统计,吨-statistic 包括样本平均值和样本标准偏差的不确定性。这俩和– 并且 t 统计量是无量纲的,与变量上的单位无关X.
随机变量吨具有以下概率密度函数:
F(吨)=1在圆周率Γ((在+1)/2)Γ(在/2)(1+吨2在)−(在+1)/2 为了 −∞<吨<∞ CDF(吨)=F(吨)=1在圆周率Γ((在+1)/2)Γ(在2)∫−∞吨(1+X2在)−(在+1)/2dX

注意Γ(在/2)是伽马函数。伽马函数与阶乘有关,而不是伽马概率密度分布。像和-分布,分布吨左右对称吨=0. 这吨-分布如图3.11对于两个值在,自由度。产生的钟形分布类似于标准正态分布。然而,更多的区域在吨-分布在分布的“尾部”。在大的限度内n(有效地ν大于约 150)的吨– 和标准正态分布相差百分之一。

的使用吨-分布将在后续章节中讨论置信区间和实验分布均值的假设检验的章节中进行描述。

累积的吨-分配,F(吨)由公式 (3.60) 可以通过 Excel 函数 T.DIST 计算(吨,在,1)在哪里吨由样本数据计算得出。或者,如果您想知道吨- 表示概率限制的值,然后使用 Excel 函数 T.INV(CDF,在)返回一个吨-代表那个的值CDF价值。或者,计算一种,显着性水平,最右侧区域,如一种=1−F(吨)=1−CDF,然后使用 Excel 函数 T.INV(1−一种,在).

这代表了一种片面的评价,它考虑了吨-分布自−∞直至特定吨-价值。但通常,我们希望知道正极端值或负极端值吨, 这 ”吨”或“-”偏离中心“0”值。你可能想知道范围吨- 包括中央的价值观95%(或某个置信度 C)来自抽样总体的所有期望值。
磷(吨负限制 ≤吨≤吨正限制 )=C
在这里,显着性水平又是极端区域。如果95%需要间隔(C= 0.95) 然后一种=1−0.95=1−C. 平均分割两个尾部区域,以定义中心限制,使用一种/2代表尾部的最右边和最左边的区域。然后我们寻求吨-值计算与F(吨)=1−一种/2. Excel 函数 T.INV(1−一种/2,在)将返回吨-代表正极端期望值的值,和−吨.INV(1−一种/2,在)将返回负极端。这被称为双边(历史上是双尾)测试,因为我们正在寻找中心区域的限制。交替,吨.INV.2T(1−一种,在)返回相同的值。

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|Chi-Squared Distribution

让是ν是2,是3,…,是n是独立的随机变量,每个变量均以均值 0 和方差 1 分布。随机变量卡方:
χ2=∑一世=1n是一世2
具有卡方概率密度函数在=n−1自由程度
F(χ2)=12在/2Γ(在/2)[和−χ2/2][χ2](在/2)−1 为了 0≤χ2≤∞
和累积分布
F(χ2)=12在/2Γ(在/2)∫0χ2和−是/2(是)(在/2)−1d是
如果是等式 (3.62) 中的定义为(X−X¯)/σ然后
χ2=∑一世=1n是一世2=∑一世=1n(X一世−X¯)2σ2=(n−1)s2σ2
数字3.12分别说明了概率密度和累积卡方分布。累积卡方值(χ2)分布可以从Excel函数中获得F(χ2)=CH一世小号问.D一世小号吨⁡(χ2,在,1), 和pdF通过使用F(χ2)=CHISQ.DIST(χ2,在,0).

计算的倒数,值χ2给定F(X2)和在可以通过Excel函数得到χ2=CH一世小号问⋅一世ñ在(F,在).

注意:某些表或过程使用χ2/在. 由于等式 (3.62) 表明χ2随着线性增加n,并且由于自由度通常是在=n−1, 缩放使

感觉。大多数情况下,这本书不会扩展χ2由自由度。但请注意,使用χ2/在或者χ2常见。
卡方分布的均值和方差为在和2在, 分别。
μ=在 σ=2在
因此,如果自由度为 10 ,则χ2统计数据约为 10 。X2=1将是一个出乎意料的低值,并且χ2=20会出乎意料的高。
该分布有多种应用,其中之一是计算和评估来自正态分布总体的单个方差的概率区间,如第 5 章和第 6 章所示。卡方分布也用作确定是否基于在样本数据上,总体具有特定的分布,如第 7 章所述。卡方分布从 0 到无穷大,或磷(0≤χ2≤∞)=1.
间隔
磷(χ在,一种/22≤χ2≤χ在,1−一种/22)=1−一种
定义的值χ2-分布使得每个尾部的面积相等。这X2-分布与均值不对称从- 和吨-分布。

统计代写|工程统计作业代写Engineering Statistics代考|F-Distribution

F 分布(以开发它的 Ronald Fisher 爵士的名字命名)是随机变量的分布F, 定义为
F=在/在1在/在2=χ12/在1χ22/在2
使用公式 (3.65)χ2=(n−1)s2σ2=在s2σ2
F=s12/σ12s22/σ22
在哪里在和在是按照卡方分布分布的自变量在1和在2自由度,分别。符号F等式(3.69)中的不代表任何累积分布,而是一个统计量,具体来说,两个的比率χ2统计数据,每个都按其自由度进行缩放。的概率密度函数F是
F(F)=Γ((在1+在2)/2)Γ(在1/2)Γ(在2/2)(在1在2)在1/2F(在1−2)/2(1+(在1/在2)F)(在1+在2)/2
和累积分布F是
CDF(F)=∫0FF(F)dF

F 分布族是一个二参数族在1和在2. 如图 3.13 所示,F 分布的形状是倾斜的(曲线下面积在标称值左侧的更多,在右侧的尾部较长)。所有成员的范围是从0到∞. 此分布用于评估方差的相等性。这F-分布被统计学家称为“稳健”,这意味着即使基础人口不是正态分布的,这种统计比较的结果也可能是有效的。第 5、6 章和第 5 章解释了 F 分布的使用。12.

的价值观pdF(F)可以由 Excel 函数返回pdF(F)=F.DIST(χ12/χ22,在1,在2,0), 和累积的F-分布由CDF⁡(F)=F.DIST(χ12/χ22,在1,在2,1). 分布的倒数返回给定的卡方比CDF价值χ12χ22=F投资(CDF,在1,在2).
如果卡方比是3.58058分子和分母自由度分别为 6 和 8 ,则 CDF 值为0.95. 但是,如果您选择将 #1 称为 #2,则卡方比将为0.279284, 自由度为 8 和 6 。有了这些颠倒的价值观CDF值为0.05第一个的补充。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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