统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|OLET5608

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广义线性模型(GLiM,或GLM)是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称,它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|OLET5608

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Pearson’s χ 2 Statistic

The deviance is one measure of how well the model fits the data, but there are alternatives. The Pearson’s $X^{2}$ statistic takes the general form:
$$
X^{2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}
$$

where $O_{i}$ is the observed count and $E_{i}$ is the expected count for case $i$. For a binomial response, we count the number of successes for which $O_{i}=y_{i}$ while $E_{i}=n_{i} \hat{p}{i}$ and failures for which $O{i}=n_{i}-y_{i}$ and $E_{i}=n_{i}\left(1-\hat{p}{i}\right)$, which results in: $$ X^{2}=\sum{i=1}^{n} \frac{\left(y_{i}-n_{i} \hat{p}{i}\right)^{2}}{n{i} \hat{p}{i}\left(1-\hat{p}{i}\right)}
$$
If we define Pearson residuals as:
$$
r_{i}^{P}=\left(y_{i}-n_{i} \hat{p}{i}\right) / \sqrt{\operatorname{var} \hat{y}{i}}
$$
which can be viewed as a type of standardized residual, then $X^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(r_{i}^{P}\right)^{2}$. So the Pearson’s $X^{2}$ is analogous to the residual sum of squares used in normal linear models.

The Pearson $X^{2}$ will typically be close in size to the deviance and can be used in the same manner. Alternative versions of the hypothesis tests described above might use the $X^{2}$ in place of the deviance with the same approximate null distributions. However, some care is necessary because the model is fit to minimize the deviance and not the Pearson’s $X^{2}$. This means that it is possible, although unlikely, that the $X^{2}$ could increase as a predictor is added to the model. $X^{2}$ can be computed like this:
[1] $28.067$
Compare this to:
deviance (lmod)
[1] $16.912$
In this case there is more than the typical small difference between $X^{2}$ and the deviance. However, a test for model fit:
1 -pchisq $(28.067,21)$
[1] $0.13826$
results in a moderate sized $p$-value which would not reject this model which agrees with decision based on the deviance statistic.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Overdispersion

If the binomial model specification is correct, we expect that the residual deviance will be approximately distributed $\chi^{2}$ with the appropriate degrees of freedom. Sometimes, we observe a deviance that is much larger than would be expected if the model were correct. We must then determine which aspect of the model specification is incorrect.

The most common explanation is that we have the wrong structural form for the model. We have not included the right predictors or we have not transformed or combined them in the correct way. We have a number of ways of determining the importance of potential additional predictors and diagnostics for determining better transformations – see Section 8.4. Suppose, however, that we are able to exclude this explanation. This is difficult to achieve, but when we have only one or two predictors, it is feasible to explore the model space quite thoroughly and be sure that there is not a plausible superior model formula.

Another common explanation for a large deviance is the presence of a small

number of outliers. Fortunately, these are easily checked using diagnostic methods. When larger numbers of points are identified as outliers, they become unexceptional, and we might more reasonably conclude that there is something amiss with the error distribution.

Sparse data can also lead to large deviances. In the extreme case of a binary response, the deviance is not even approximately $\chi^{2}$. In situations where the group sizes are simply small, the approximation is poor. Because we cannot judge the fit using the deviance, we shall exclude this case from further consideration in this section.
Having excluded these other possibilities, we might explain a large deviance by deficiencies in the random part of the model. A binomial distribution for $Y$ arises when the probability of success $p$ is independent and identical for each trial within the group. If the group size is $m$, then var $Y=m p(1-p)$ if the binomial assumptions are correct. However, if the assumptions are broken, the variance may be greater. This is overdispersion. In rarer cases, the variance is less and underdispersion results.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Quasi-Binomial

In the previous section, we have demonstrated ways to model data where the supposedly binomial response is more variable than should be expected. A quasi-binomial model is another way to allow for extra-binomial variation. We will explain the method in greater generality than immediately necessary because the idea can be used across a wider range of response types.

The idea is to specify only how the mean and variance of the response are connected to the linear predictor. The method of weighted least squares, as used for standard linear models, would be a simple example of this. An examination of the fitting of the binomial model reveals that this only requires the mean and variance information and does not use any additional information about the binomial distribution. Hence, we can obtain the parameter estimates $\hat{\beta}$ and standard errors without making the full binomial assumption.

The problem arises when we attempt to do inference. To construct a confidence interval or perform an hypothesis test, we need some distributional assumptions. Previously we have used the deviance, but for this we need a likelihood and to compute a likelihood we need a distribution. Now we need a suitable substitute for a likelihood that can be computed without assuming a distribution.

Let $Y_{i}$ have mean $\mu_{i}$ and variance $\phi V\left(\mu_{i}\right)$. We assume that $Y_{i}$ are independent. We

define a score, $U_{i}$ :
$$
U_{i}=\frac{Y_{i}-\mu_{i}}{\phi V\left(\mu_{i}\right)}
$$
Now:
$$
\begin{gathered}
E U_{i}=0 \
\operatorname{var} U_{i}=\frac{1}{\phi V\left(\mu_{i}\right)} \
-E \frac{\partial U_{i}}{\partial \mu_{i}}=-E \frac{-\phi V\left(\mu_{i}\right)-\left(Y_{i}-\mu_{i}\right) \phi V^{\prime}\left(\mu_{i}\right)}{\left[\phi V\left(\mu_{i}\right)\right]^{2}}=\frac{1}{\phi V\left(\mu_{i}\right)}
\end{gathered}
$$
These properties are shared by the derivative of the log-likelihood, $l^{\prime}$. This suggests that we can use $U$ in place of $l^{\prime}$. So we define:
$$
Q_{i}=\int_{y_{i}}^{\mu_{i}} \frac{y_{i}-t}{\phi V(t)} d t
$$
The intent is that $Q$ should behave like the log-likelihood. We then define the log quasi-likelihood for all $n$ observations as:
$$
Q=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}
$$

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广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Pearson’s χ 2 Statistic

偏差是衡量模型与数据拟合程度的一种衡量标准,但还有其他选择。皮尔逊的X2统计量采用一般形式:

X2=∑一世=1n(○一世−和一世)2和一世

在哪里○一世是观察到的计数和和一世是案例的预期计数一世. 对于二项式响应,我们计算成功的次数○一世=是一世尽管和一世=n一世p^一世和失败的原因○一世=n一世−是一世和和一世=n一世(1−p^一世),这导致:

X2=∑一世=1n(是一世−n一世p^一世)2n一世p^一世(1−p^一世)
如果我们将 Pearson 残差定义为:

r一世磷=(是一世−n一世p^一世)/曾是⁡是^一世
可以看作是一种标准化残差,那么X2=∑一世=1n(r一世磷)2. 所以皮尔逊X2类似于正常线性模型中使用的残差平方和。

皮尔逊X2通常会在大小上接近偏差,并且可以以相同的方式使用。上述假设检验的替代版本可能使用X2代替具有相同近似零分布的偏差。但是,需要注意一些,因为该模型适合最小化偏差,而不是 Pearson’sX2. 这意味着尽管不太可能,但有可能X2可能会随着向模型中添加预测变量而增加。X2可以这样计算:
[1]28.067
将此与:
偏差 (lmod)
[1]进行比较16.912
在这种情况下,两者之间的差异不仅仅是典型的小差异X2和偏差。但是,模型拟合测试:
1 -pchisq(28.067,21)
[1] 0.13826
导致中等大小p- 不会拒绝该模型的值,该模型与基于偏差统计的决策一致。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Overdispersion

如果二项式模型规范是正确的,我们预计残差将近似分布χ2具有适当的自由度。有时,如果模型正确,我们会观察到比预期大得多的偏差。然后我们必须确定模型规范的哪个方面是不正确的。

最常见的解释是我们的模型结构形式错误。我们没有包含正确的预测变量,或者我们没有以正确的方式转换或组合它们。我们有多种方法来确定潜在的附加预测变量和诊断对确定更好的转换的重要性——参见第 8.4 节。然而,假设我们能够排除这种解释。这很难实现,但是当我们只有一两个预测变量时,可以相当彻底地探索模型空间并确保没有一个看似合理的优越模型公式。

对大偏差的另一个常见解释是存在小偏差

异常值的数量。幸运的是,这些都可以使用诊断方法轻松检查。当大量点被识别为异常值时,它们就变得不例外,我们可能会更合理地得出错误分布存在问题的结论。

稀疏数据也可能导致较大的偏差。在二元响应的极端情况下,偏差甚至不是近似的χ2. 在组大小很小的情况下,近似值很差。因为我们不能使用偏差来判断拟合,我们将在本节进一步考虑这个案例。
排除了这些其他可能性后,我们可能会通过模型随机部分的缺陷来解释大偏差。二项分布是当成功的概率出现时p对于组内的每个试验是独立且相同的。如果组大小是米, 然后 var是=米p(1−p)如果二项式假设是正确的。但是,如果假设被打破,方差可能会更大。这是过度分散。在极少数情况下,方差较小且分散不足。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Quasi-Binomial

在上一节中,我们已经展示了对假设二项式响应比预期的变化更大的数据进行建模的方法。准二项式模型是允许额外二项式变化的另一种方式。我们将比立即必要的更广泛地解释该方法,因为该想法可以用于更广泛的响应类型。

这个想法是仅指定响应的均值和方差如何连接到线性预测变量。用于标准线性模型的加权最小二乘法就是一个简单的例子。对二项式模型拟合的检查表明,这仅需要均值和方差信息,而无需使用有关二项式分布的任何附加信息。因此,我们可以得到参数估计b^和标准误差,而不做完整的二项式假设。

当我们尝试进行推理时,问题就出现了。为了构建置信区间或执行假设检验,我们需要一些分布假设。以前我们使用过偏差,但为此我们需要一个可能性,并且为了计算一个可能性,我们需要一个分布。现在我们需要一个合适的替代品来代替可以在不假设分布的情况下计算的可能性。

让是一世有意思μ一世和方差φ在(μ一世). 我们假设是一世是独立的。我们

定义分数,在一世 :

在一世=是一世−μ一世φ在(μ一世)
现在:

和在一世=0 曾是⁡在一世=1φ在(μ一世) −和∂在一世∂μ一世=−和−φ在(μ一世)−(是一世−μ一世)φ在′(μ一世)[φ在(μ一世)]2=1φ在(μ一世)
这些属性由对数似然的导数共享,l′. 这表明我们可以使用在代替l′. 所以我们定义:

问一世=∫是一世μ一世是一世−吨φ在(吨)d吨
意图是问应该表现得像对数似然。然后我们定义所有的对数准似然n观察结果为:

问=∑一世=1n问一世

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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