统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT 7430

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广义线性模型(GLiM,或GLM)是John Nelder和Robert Wedderburn在1972年制定的一种高级统计建模技术。它是一个包含许多其他模型的总称,它允许响应变量y具有除正态分布以外的误差分布。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|STAT 7430

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Heart Disease Example

What might affect the chance of getting heart disease? One of the earliest studies addressing this issue started in 1960 and used 3154 healthy men, aged from 39 to 59 , from the San Francisco area. At the start of the study, all were free of heart disease. Eight and a half years later, the study recorded whether these men now suffered from heart disease along with many other variables that might be related to the chance of developing this disease. We load a subset of this data from the Western Collaborative Group Study described in Rosenman et al. (1975):
data (wcgs, package=”faraway”)
We start by focusing on just three of the variables in the dataset:
We see that only 257 men developed heart disease as given by the factor variable chd. The men vary in height (in inches) and the number of cigarettes (cigs) smoked per day. We can plot these data using $R$ base graphics:
plot (height chd, wcgs)
wcgs\$y <- ifelse (wogs\$chd = “no”, 0, 1)
plot (jitter $(y, 0.1) \sim$ jitter (height), wegs, $x l a b=$ “Height”, $y$ lab=”Heart
$\hookrightarrow$ Disease”, peh=”.”)
The first panel in Figure $2.1$ shows a boxplot. This shows the similarity in the distribution of heights of the two groups of men with and without heart disease. But the heart disease is the response variable so we might prefer a plot which treats it as such. We convert the absence/presence of disease into a numerical $0 / 1$ variable and plot this in the second panel of Figure 2.1. Because heights are reported as round numbers of inches and the response can only take two values, it is sensible to add a small amount of noise to each point, called jittering, so that we can distinguish them. Again we can see the similarity in the distributions. We might think about fitting a line to this plot.

More informative plots may be obtained using the ggplot2 package of Wickham (2009). In the first panel of Figure 2.2, we see two histograms showing the distribution of heights for both those with and without heart disease. The dodge option ensures that the two histograms are interleaved. We see that the two distributions are similar. We also had to set the bin width of the histogram. It was natural to use one inch as all the height measurements are rounded to the nearest inch. In the second panel of Figure $2.2$, we see the corresponding histograms for smoking. In this case, we have shown the frequency rather than the count version of the histogram. We see that smokers are more likely to get heart disease.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Logistic Regression

Suppose we have a response variable $Y_{i}$ for $i=1, \ldots, n$ which takes the values zero or one with $P\left(Y_{i}=1\right)=p_{i}$. This response may be related to a set of $q$ predictors $\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i q}\right)$. We need a model that describes the relationship of $x_{1}, \ldots, x_{q}$ to the probability $p$. Following the linear model approach, we construct a linear predictor:
$$
\eta_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i 1}+\cdots+\beta_{q} x_{i q}
$$
Since the linear predictor can accommodate quantitative and qualitative predictors with the use of dummy variables and also allows for transformations and combinations of the original predictors, it is very flexible and yet retains interpretability. The idea that we can express the effect of the predictors on the response solely through the linear predictor is important. The idea can be extended to models for other types of response and is one of the defining features of the wider class of generalized linear models (GLMs) discussed later in Chapter 8 .

We have seen previously that the linear relation $\eta_{i}=p_{i}$ is not workable because we require $0 \leq p_{i} \leq 1$. Instead we shall use a link function $g$ such that $\eta_{i}=g\left(p_{i}\right)$. We need $g$ to be monotone and be such that $0 \leq g^{-1}(\eta) \leq 1$ for any $\eta$. The most popular choice of link function in this situation is the logit. It is defined so that:
$$
\eta=\log (p /(1-p))
$$
or equivalently:
$$
p=\frac{e^{\eta}}{1+e^{\eta}}
$$
Combining the use of the logit link with a linear predictor gives us the term logistic regression. Other choices of link function are possible but we will defer discussion of these until later. The logit and its inverse are defined as logit and ilogit in the faraway package. The relationship between $p$ and the linear predictor $\eta$ is shown in Figure 2.4.

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Consider two models

Consider two models, a larger model with $l$ parameters and likelihood $L_{L}$ and a smaller model with $s$ parameters and likelihood $L_{S}$ where the smaller model represents a subset (or more generally a linear subspace) of the larger model. Likelihood

methods suggest the likelihood ratio statistic:
$$
2 \log \frac{L_{L}}{L_{S}}
$$
as an appropriate test statistic for comparing the two models. Now suppose we choose a saturated larger model – such a model typically has as many parameters as cases and has fitted values $\hat{p}{i}=y{i}$. The test statistic becomes:
$$
D=-2 \sum_{i=1}^{n} \hat{p}{i} \operatorname{logit}\left(\hat{p}{i}\right)+\log \left(1-\hat{p}{i}\right) $$ where $\hat{p}{i}$ are the fitted values from the smaller model. $D$ is called the deviance and is useful in making hypothesis tests to compare models.

In other examples of GLMs, the deviance is a measure of how well the model fit the data but in this case, $D$ is just a function of the fitted values $\hat{p}$ so it cannot be used for that purpose. Other methods must be used to judge goodness of fit for binary data – for example, the Hosmer-Lemeshow test described in Section 2.6.
In the summary output previously, we had:
Deviance – 1749.049 Nu11 Deviance $=1781.244$ (Difference – 32.195)
The Deviance is the deviance for the current model while the Nu1l Deviance is the deviance for a model with no predictors and just an intercept term.

We can use the deviance to compare two nested models. The test statistic in (2.1) becomes $D_{S}-D_{L}$. This test statistic is asymptotically distributed $\chi_{l-s}^{2}$, assuming that the smaller model is correct and the distributional assumptions hold. For example, we can compare the fitted model to the null model (which has no predictors) by considering the difference between the residual and null deviances. For the heart disease example, this difference is $32.2$ on two degrees of freedom (one for each predictor). Hence, the $p$-value for the test of the hypothesis that at least one of the predictors is related to the response is:
1-pchisq $(32,2,2)$
(1) $1.0183 \mathrm{e}-07$
Since this value is so small, we are confident that there is some relationship between the predictors and the response. Note that the expected value of a $\chi^{2}$-variate with $d$ degrees of freedom is simply $d$ so we knew the $p$-value would be small before even calculating it.

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广义线性模型代考

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Heart Disease Example

哪些因素会影响患心脏病的几率?最早解决这一问题的研究之一始于 1960 年,使用了来自旧金山地区的 3154 名年龄在 39 至 59 岁之间的健康男性。在研究开始时,所有人都没有心脏病。八年半后,该研究记录了这些男性现在是否患有心脏病以及许多其他可能与患这种疾病的机会有关的变量。我们从 Rosenman 等人描述的西方合作小组研究中加载了这些数据的一个子集。(1975):
data (wcgs, package=”faraway”)
我们首先只关注数据集中的三个变量:
我们看到只有 257 名男性患上了由因子变量 chd 给出的心脏病。男性的身高(英寸)和每天抽的香烟(cigs)的数量各不相同。我们可以使用绘制这些数据R基本图形:
plot (height chd, wcgs)
wcgs $ y <- ifelse (wogs $ chd = “no”, 0, 1)
plot (jitter(是,0.1)∼抖动(高度),wegs,Xl一个b=“高度”,是实验室=”心脏
↪疾病”, peh=”.”)
图中的第一个面板2.1显示箱线图。这显示了有和没有心脏病的两组男性的身高分布相似。但是心脏病是响应变量,所以我们可能更喜欢这样对待它的情节。我们将疾病的缺席/存在转换为数字0/1变量并将其绘制在图 2.1 的第二个面板中。因为高度以英寸为整数,并且响应只能取两个值,所以在每个点上添加少量噪声(称为抖动)是明智的,这样我们就可以区分它们。我们再次可以看到分布的相似性。我们可能会考虑为该图拟合一条线。

使用 Wickham (2009) 的 ggplot2 包可以获得更多信息图。在图 2.2 的第一幅图中,我们看到了两个直方图,显示了患有和不患有心脏病的人的身高分布。闪避选项确保两个直方图交错。我们看到这两个分布是相似的。我们还必须设置直方图的 bin 宽度。使用一英寸是很自然的,因为所有高度测量值都四舍五入到最接近的英寸。在图的第二个面板中2.2,我们看到吸烟的相应直方图。在这种情况下,我们显示了直方图的频率而不是计数版本。我们看到吸烟者更容易患心脏病。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Logistic Regression

假设我们有一个响应变量是一世为了一世=1,…,n它采用零或一的值磷(是一世=1)=p一世. 该响应可能与一组q预测因子(X一世1,…,X一世q). 我们需要一个模型来描述X1,…,Xq到概率p. 遵循线性模型方法,我们构建了一个线性预测器:

这一世=b0+b1X一世1+⋯+bqX一世q
由于线性预测器可以通过使用虚拟变量来适应定量和定性预测器,并且还允许原始预测器的转换和组合,因此它非常灵活并且保留了可解释性。我们可以仅通过线性预测器来表达预测器对响应的影响的想法很重要。这个想法可以扩展到其他类型响应的模型,并且是第 8 章后面讨论的更广泛类别的广义线性模型 (GLM) 的定义特征之一。

我们之前已经看到线性关系这一世=p一世不可行,因为我们需要0≤p一世≤1. 相反,我们将使用链接功能G这样这一世=G(p一世). 我们需要G是单调的并且是这样的0≤G−1(这)≤1对于任何这. 在这种情况下,最流行的链接函数选择是 logit。它被定义为:

这=日志⁡(p/(1−p))
或等效地:

p=和这1+和这
将 logit 链接的使用与线性预测器相结合,我们得到了术语逻辑回归。链接功能的其他选择是可能的,但我们将推迟讨论这些直到稍后。logit 及其倒数在 faraway 包中定义为 logit 和 igit。之间的关系p和线性预测器这如图 2.4 所示。

统计代写|广义线性模型代写generalized linear model代考|Consider two models

考虑两个模型,一个更大的模型l参数和可能性大号大号和一个较小的模型s参数和可能性大号小号其中较小的模型表示较大模型的子集(或更一般地说是线性子空间)。可能性

方法建议似然比统计:

2日志⁡大号大号大号小号
作为比较两个模型的适当检验统计量。现在假设我们选择一个饱和的更大模型——这样的模型通常具有与案例一样多的参数,并且具有拟合值 $\hat{p} {i}=y {i}.吨H和吨和s吨s吨一个吨一世s吨一世Cb和C○米和s:D=−2∑一世=1np^一世罗吉特⁡(p^一世)+日志⁡(1−p^一世)在H和r和\帽子{p}{i}一个r和吨H和F一世吨吨和d在一个l在和sFr○米吨H和s米一个ll和r米○d和l.D$ 称为偏差,可用于进行假设检验以比较模型。

在 GLM 的其他示例中,偏差是衡量模型与数据拟合程度的指标,但在这种情况下,D只是拟合值的函数p^所以它不能用于那个目的。必须使用其他方法来判断二进制数据的拟合优度——例如,第 2.6 节中描述的 Hosmer-Lemeshow 检验。
在之前的摘要输出中,我们有:
Deviance – 1749.049 Nu11 Deviance=1781.244(差值 – 32.195)
偏差是当前模型的偏差,而 Nu1l 偏差是没有预测变量且只有截距项的模型的偏差。

我们可以使用偏差来比较两个嵌套模型。(2.1) 中的检验统计量变为D小号−D大号. 该检验统计量是渐近分布的χl−s2,假设较小的模型是正确的并且分布假设成立。例如,我们可以通过考虑残差和空偏差之间的差异来将拟合模型与空模型(没有预测变量)进行比较。对于心脏病示例,这种差异是32.2在两个自由度上(每个预测变量一个)。因此,p- 至少有一个预测变量与响应相关的假设检验的值为:
1-pchisq(32,2,2)
(1) 1.0183和−07
由于这个值非常小,我们确信预测变量和响应之间存在某种关系。注意 a 的期望值χ2- 与d自由度很简单d所以我们知道p-value 在计算之前会很小。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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