统计代写|应用时间序列分析代写applied time series analysis代考|Moments of a Random Variable

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时间序列分析applied time series analysis是分析在一个时间间隔内收集的一系列数据点的具体方式。在时间序列分析applied time series analysis中,分析人员在设定的时间段内以一致的时间间隔记录数据点,而不仅仅是间歇性或随机地记录数据点。

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统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考|Moments of a Random Variable

The $\ell$-th moment of a continuous random variable $X$ is defined as
$$
m_{\ell}^{\prime}=E\left(X^{\ell}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{\ell} f(x) d x
$$
where ” $E “$ stands for expectation and $f(x)$ is the probability density function of $X$. The first moment is called the mean or expectation of $X$. It measures the central location of the distribution. We denote the mean of $X$ by $\mu_{x}$. The $\ell$-th central moment of $X$ is defined as
$$
m_{\ell}=E\left[\left(X-\mu_{x}\right)^{\ell}\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\mu_{x}\right)^{\ell} f(x) d x
$$
provided that the integral exists. The second central moment, denoted by $\sigma_{x}^{2}$, measures the variability of $X$ and is called the variance of $X$. The positive square root, $\sigma_{x}$, of variance is the standard deviation of $X$. The first two moments of a random variable uniquely determine a normal distribution. For other distributions, higher order moments are also of interest.

The third central moment measures the symmetry of $X$ with respect to its mean, whereas the 4th central moment measures the tail behavior of $X$. In statistics, skew ness and kurtosis, which are normalized 3 rd and 4 th central moments of $X$, are often used to summarize the extent of asymmetry and tail thickness. Specifically, the skewness and kurtosis of $X$ are defined as
$$
S(x)=E\left[\frac{\left(X-\mu_{x}\right)^{3}}{\sigma_{x}^{3}}\right], \quad K(x)=E\left[\frac{\left(X-\mu_{x}\right)^{4}}{\sigma_{x}^{4}}\right]
$$

The quantity $K(x)-3$ is called the excess kurtosis because $K(x)=3$ for a normal distribution. Thus, the excess kurtosis of a normal random variable is zero. A distribution with positive excess kurtosis is said to have heavy tails, implying that the distribution puts more mass on the tails of its support than a normal distribution does. In practice, this means that a random sample from such a distribution tends to contain more extreme values.

In application, skewness and kurtosis can be estimated by their sample counterparts. Let $\left{x_{1}, \ldots, x_{T}\right}$ be a random sample of $X$ with $T$ observations. The sample mean is
$$
\hat{\mu}{x}=\frac{1}{T} \sum{t=1}^{T} x_{t}
$$
the sample variance is
$$
\hat{\sigma}{x}^{2}=\frac{1}{T-1} \sum{t=1}^{T}\left(x_{t}-\hat{\mu}{x}\right)^{2}, $$ the sample skewness is $$ \hat{S}(x)=\frac{1}{(T-1) \hat{\sigma}{x}^{3}} \sum_{t=1}^{T}\left(x_{t}-\hat{\mu}{x}\right)^{3}, $$ and the sample kurtosis is $$ \hat{K}(x)=\frac{1}{(T-1) \hat{\sigma}{x}^{4}} \sum_{t=1}^{T}\left(x_{t}-\hat{\mu}_{x}\right)^{4} .
$$
Under normality assumption, $\hat{S}(x)$ and $\hat{K}(x)$ are distributed asymptotically as normal with zero mean and variances $6 / T$ and $24 / T$, respectively; see Snedecor and Cochran (1980, p. 78).

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考| Distributions of Returns

The most general model for the log returns $\left{r_{i t} ; i=1, \ldots, N ; t=1, \ldots, T\right}$ is its joint distribution function:
$$
F_{r}\left(r_{11}, \ldots, r_{N 1} ; r_{12}, \ldots, r_{N 2} ; \ldots ; r_{1 T}, \ldots, r_{N T} ; \boldsymbol{Y} ; \boldsymbol{\theta}\right)
$$
where $\boldsymbol{Y}$ is a state vector consisting of variables that summarize the environment in which asset returns are determined and $\boldsymbol{\theta}$ is a vector of parameters that uniquely determine the distribution function $F_{r}(.)$. The probability distribution $F_{r}(.)$ governs the stochastic behavior of the returns $r_{i t}$ and $Y$. In many financial studies, the state

vector $\boldsymbol{Y}$ is treated as given and the main concern is the conditional distribution of $\left{r_{i t}\right}$ given $Y$. Empirical analysis of asset returns is then to estimate the unknown parameter $\boldsymbol{\theta}$ and to draw statistical inference about behavior of $\left{r_{i t}\right}$ given some past log returns.

The model in Eq. (1.14) is too general to be of practical value. However, it provides a general framework with respect to which an econometric model for asset returns $r_{i t}$ can be put in a proper perspective.

Some financial theories such as the Capital Asset Pricing Model (CAPM) of Sharpe (1964) focus on the joint distribution of $N$ returns at a single time index $t$ (i.e., the distribution of $\left{r_{1} t, \ldots, r_{N t}\right}$ ). Other theories emphasize the dynamic structure of individual asset returns (i.e., the distribution of $\left{r_{i 1}, \ldots, r_{i T}\right}$ for a given asset i). In this book, we focus on both. In the univariate analysis of Chapters 2 to 7 , our main concern is the joint distribution of $\left{r_{i t}\right}_{t=1}^{T}$ for asset $i$. To this end, it is useful to partition the joint distribution as
$$
\begin{aligned}
F\left(r_{i 1}, \ldots, r_{i T} ; \boldsymbol{\theta}\right) &=F\left(r_{i 1}\right) F\left(r_{i 2} \mid r_{1 t}\right) \cdots F\left(r_{i T} \mid r_{i, T-1}, \ldots, r_{i 1}\right) \
&=F\left(r_{i 1}\right) \prod_{t=2}^{T} F\left(r_{i t} \mid r_{i, t-1}, \ldots, r_{i 1}\right)
\end{aligned}
$$
This partition highlights the temporal dependencies of the log return $r_{i t}$. The main issue then is the specification of the conditional distribution $F\left(r_{i t} \mid r_{i, t-1,}\right)$-in particular, how the conditional distribution evolves over time. In finance, different distributional specifications lead to different theories. For instance, one version of the random-walk hypothesis is that the conditional distribution $F\left(r_{i t} \mid r_{i, t-1}, \ldots, r_{i 1}\right)$ is equal to the marginal distribution $F\left(r_{i t}\right)$. In this case, returns are temporally independent and, hence, not predictable.

It is customary to treat asset returns as continuous random variables, especially for index returns or stock returns calculated at a low frequency, and use their probability density functions. In this case, using the identity in Eq. (1.9), we can write the partition in Eq. (1.15) as
$$
f\left(r_{i 1}, \ldots, r_{i T} ; \boldsymbol{\theta}\right)=f\left(r_{i 1} ; \boldsymbol{\theta}\right) \prod_{t=2}^{T} f\left(r_{i t} \mid r_{i, t-1}, \ldots, r_{i 1}, \boldsymbol{\theta}\right)
$$
For high-frequency asset returns, discreteness becomes an issue. For example, stock prices change in multiples of a tick size in the New York Stock Exchange (NYSE). The tick size was one eighth of a dollar before July 1997 and was one sixteenth of a dollar from July 1997 to January 2001. Therefore, the tick-by-tick return of an individual stock listed on NYSE is not continuous. We discuss high-frequency stock price changes and time durations between price changes later in Chapter $5 .

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考| Lognormal Distribution

Another commonly used assumption is that the log returns $r_{t}$ of an asset is independent and identically distributed (iid) as normal with mean $\mu$ and variance $\sigma^{2}$. The simple returns are then iid lognormal random variables with mean and variance given by
$$
E\left(R_{t}\right)=\exp \left(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)-1, \quad \operatorname{Var}\left(R_{t}\right)=\exp \left(2 \mu+\sigma^{2}\right)\left[\exp \left(\sigma^{2}\right)-1\right]
$$
These two equations are useful in studying asset returns (e.g., in forecasting using models built for log returns). Alternatively, let $m_{1}$ and $m_{2}$ be the mean and variance of the simple return $R_{t}$, which is lognormally distributed. Then the mean and variance of the corresponding $\log$ return $r_{t}$ are
$$
E\left(r_{t}\right)=\ln \left[\frac{m_{1}+1}{\sqrt{1+\frac{m_{2}}{\left(1+m_{1}\right)^{2}}}}\right], \quad \operatorname{Var}\left(r_{t}\right)=\ln \left[1+\frac{m_{2}}{\left(1+m_{1}\right)^{2}}\right]
$$
Because the sum of a finite number of iid normal random variables is normal, $r_{t}[k]$ is also normally distributed under the normal assumption for $\left{r_{t}\right}$. In addition,there is no lower bound for $r_{t}$, and the lower bound for $R_{t}$ is satisfied using $1+R_{t}=$ $\exp \left(r_{t}\right)$. However, the lognormal assumption is not consistent with all the properties of historical stock returns. In particular, many stock returns exhibit a positive excess kurtosis.

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series analysis代考|Moments of a Random Variable

时间序列分析代写

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考|Moments of a Random Variable

这ℓ- 连续随机变量的矩X定义为
米ℓ′=和(Xℓ)=∫−∞∞XℓF(X)dX
在哪里 ”和“代表期望和F(X)是概率密度函数X. 第一个时刻称为均值或期望X. 它测量分布的中心位置。我们表示平均值X经过μX. 这ℓ- 第中心矩X定义为
米ℓ=和[(X−μX)ℓ]=∫−∞∞(X−μX)ℓF(X)dX
前提是积分存在。第二个中心矩,记为σX2, 测量的可变性X并且被称为方差X. 正平方根,σX,方差是标准差X. 随机变量的前两个矩唯一地确定正态分布。对于其他分布,高阶矩也很重要。

第三个中心矩测量对称性X就其均值而言,而第四个中心矩衡量的是尾部行为X. 在统计中,偏度和峰度是归一化的 3 rd 和 4 th 中心矩X, 常用于概括不对称程度和尾部粗细程度。具体来说,偏度和峰度X被定义为
小号(X)=和[(X−μX)3σX3],ķ(X)=和[(X−μX)4σX4]

数量ķ(X)−3被称为超峰态,因为ķ(X)=3为正态分布。因此,正态随机变量的超峰度为零。具有正超峰度的分布被称为具有重尾,这意味着该分布在其支持的尾部上施加了比正态分布更多的质量。实际上,这意味着来自这种分布的随机样本往往包含更多的极值。

在应用中,偏度和峰度可以通过它们的样本对应物来估计。让\left{x_{1}, \ldots, x_{T}\right}\left{x_{1}, \ldots, x_{T}\right}是一个随机样本X和吨观察。样本均值为
μ^X=1吨∑吨=1吨X吨
样本方差为
σ^X2=1吨−1∑吨=1吨(X吨−μ^X)2,样本偏度为小号^(X)=1(吨−1)σ^X3∑吨=1吨(X吨−μ^X)3,样本峰度为ķ^(X)=1(吨−1)σ^X4∑吨=1吨(X吨−μ^X)4.
在正态假设下,小号^(X)和ķ^(X)正态渐近分布,均值和方差为零6/吨和24/吨, 分别; 参见 Snedecor 和 Cochran (1980, p. 78)。

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考| Distributions of Returns

对数返回的最通用模型\left{r_{i t} ; i=1, \ldots, N ; t=1, \ldots, T\right}\left{r_{i t} ; i=1, \ldots, N ; t=1, \ldots, T\right}是它的联合分布函数:
Fr(r11,…,rñ1;r12,…,rñ2;…;r1吨,…,rñ吨;是;θ)
在哪里是是一个状态向量,由变量组成,这些变量总结了确定资产回报的环境,并且θ是唯一确定分布函数的参数向量Fr(.). 概率分布Fr(.)控制收益的随机行为r一世吨和是. 在许多金融研究中,国家

向量是被视为给定的,主要关注的是条件分布\left{r_{it}\right}\left{r_{it}\right}给定是. 资产收益的实证分析是估计未知参数θ并得出关于行为的统计推断\left{r_{it}\right}\left{r_{it}\right}给定一些过去的日志返回。

方程式中的模型。(1.14)太笼统,没有实用价值。然而,它提供了一个通用框架,资产回报的计量经济学模型r一世吨可以放在正确的角度。

一些金融理论,例如 Sharpe (1964) 的资本资产定价模型 (CAPM) 侧重于ñ在单个时间索引处返回吨(即,分布\left{r_{1} t, \ldots, r_{N t}\right}\left{r_{1} t, \ldots, r_{N t}\right})。其他理论强调单个资产收益的动态结构(即,\left{r_{i 1}, \ldots, r_{i T}\right}\left{r_{i 1}, \ldots, r_{i T}\right}对于给定的资产 i)。在本书中,我们同时关注两者。在第 2 到 7 章的单变量分析中,我们主要关注的是联合分布\left{r_{it}\right}_{t=1}^{T}\left{r_{it}\right}_{t=1}^{T}对于资产一世. 为此,将联合分布划分为
F(r一世1,…,r一世吨;θ)=F(r一世1)F(r一世2∣r1吨)⋯F(r一世吨∣r一世,吨−1,…,r一世1) =F(r一世1)∏吨=2吨F(r一世吨∣r一世,吨−1,…,r一世1)
此分区突出显示日志返回的时间依赖性r一世吨. 那么主要问题是条件分布的规范F(r一世吨∣r一世,吨−1,)- 特别是条件分布如何随时间演变。在金融领域,不同的分配规范导致不同的理论。例如,随机游走假设的一个版本是条件分布F(r一世吨∣r一世,吨−1,…,r一世1)等于边际分布F(r一世吨). 在这种情况下,回报在时间上是独立的,因此是不可预测的。

习惯上将资产收益视为连续的随机变量,特别是对于以低频计算的指数收益或股票收益,并使用它们的概率密度函数。在这种情况下,使用方程式中的身份。(1.9),我们可以将分区写在等式中。(1.15) 为
F(r一世1,…,r一世吨;θ)=F(r一世1;θ)∏吨=2吨F(r一世吨∣r一世,吨−1,…,r一世1,θ)
对于高频资产回报,离散性成为一个问题。例如,纽约证券交易所 (NYSE) 的股票价格以刻度大小的倍数变化。在 1997 年 7 月之前,滴答大小是 1 美元的八分之一,从 1997 年 7 月到 2001 年 1 月是 16 美元。因此,在纽约证券交易所上市的个股的逐个滴答回报不是连续的。我们将在第 5 章后面讨论高频股价变化和价格变化之间的持续时间。

统计代写|应用时间序列分析代写applied time series anakysis代考| Lognormal Distribution

另一个常用的假设是日志返回r吨资产的独立同分布 (iid) 与正常情况一样,均值μ和方差σ2. 然后,简单回报是 iid 对数正态随机变量,其均值和方差由下式给出
和(R吨)=经验⁡(μ+σ22)−1,曾是⁡(R吨)=经验⁡(2μ+σ2)[经验⁡(σ2)−1]
这两个方程在研究资产回报时很有用(例如,在使用为对数回报建立的模型进行预测时)。或者,让米1和米2是简单回报的均值和方差R吨,它是对数正态分布的。那么对应的均值和方差日志返回r吨是
和(r吨)=ln⁡[米1+11+米2(1+米1)2],曾是⁡(r吨)=ln⁡[1+米2(1+米1)2]
因为有限数量的 iid 正态随机变量之和是正态的,r吨[ķ]在正态假设下也是正态分布的\左{r_{t}\右}\左{r_{t}\右}. 此外,没有下限r吨, 和下界R吨满意使用1+R吨= 经验⁡(r吨). 然而,对数正态假设与历史股票收益的所有属性并不一致。特别是,许多股票收益表现出正的超峰态。

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随机过程代考

在概率论概念中,随机过程随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数,则称此函数为样本函数,这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中,样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化,随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布,和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型,后验分布可以解析或近似,例如,马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要,包括点估计,如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外,所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考


基础数据: $N$ 个样本, $P$ 个变量数的单样本,组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序;变量定量:数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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